导数在研究函数零点中的运用

1、导数在研究函数零点问题中的运用导数是研究函数图像和性质的有力工具，利用导数可以确定函数的单调性、极值，描绘出函数的图象，而借助函数的图象，则可判断函数的零点个数（方程的根）；把函数的“零点存在性定理”与函数的单调性有机的结合在一起，则可说明或证明函数零点的存在性和唯一性。下面就谈谈导数在研究函数零点问题中的一些运用。一、如何运用导数来判断函数的零点个数用导数来判断函数的零点个数，常通过研究函数的单调性、极值后，描绘出函数的图象，再借助图象加以判断。例1. 讨论函数()()零点的个数？解： 令,得当变化时，、的变化情况如下表：1 3 + 0 - 0 + 增函数极大值减函数极小值增函数 由上表知：

2、 下面讨论函数的零点个数情况（1）当时，函数有1个零点；（2）当时，函数有2个零点；（3）当 ，即时， 函数有3个零点；（4）当，即时，函数有2个零点；（5）当 ，即时， 函数有1个零点；综上得： 当或时，函数有1个零点；当或时，函数有2个零点；当时， 函数有3个零点；例2.设函数(=2.71828是自然对数的底数,).试讨论关于的方程根的个数.解：方程根的个数等价于方程根的个数令，则： （1）当时， 故时，函数为增函数。 （2）当时，故时，函数为减函数。综上述（1）（2）知：函数在区间上为减函数，在区间上为增函数。 下面讨论方程根的个数 由上述知：当时,方程根的个数为0; 当时,关于的方程根

3、的个数为1; 当时,关于的方程根的个数为2. 二、如何运用导数来判断复合函数的零点个数复合函数是由内层函数与外层函数复合而成的，在处理其零点个数问题时，应分清内层和外层函数与零点的关系。如：求的零点 如：求的零点 【解题技巧】函数的零点个数的判断方法可借助换元法解方程的思想分两步进行。即 令，则 第一步：先判断的零点个数情况 第二步：再判断的零点个数情况例：已知函数和在-的图象如下所示 给出下列四个命题：方程有且仅有6个根    方程有且仅有3个根 方程有且仅有5个根    方程有且仅有4个根 

4、 其中正确的命题是 。      解析：由图知：（1） 当 当当方程有且仅有6个根   （2）当当方程有且仅有4个根 （3） 当 当当方程有且仅有5个根  （4）当当方程有且仅有4个根 例：已知函数 设，其中，求函数的零点个数解析令，则： (1)先讨论关于 的方程即根的情况： 在区间上单调递增，在区间单调递减，在区间单调递增。 描绘出函数的草图，并据草图可得：方程根的情况如下表所示：C的取值范围根的个数根或根的范围2个根或3个根 、2个根或(2)

5、下面考虑方程即根的情况：据上述表格及图形和的根的情况如下表根的个数根的范围根的个数2个根、3个根5个根2个根3个根、3个根9个根3个根3个根2个根、3个根5个根2个根综上所述：当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点。二、如何运用导数求证函数“存在、有且只有一个”零点（1）要求证一个函数存在零点，只须要用“函数零点的存在性定理”即可证明。即：如果函数在区间上是一条连续不断曲线，并且，则函数在区间上至少有一个零点。即存在一点，使得，这个也就是方程的根. （2）要求证一个函数“有且只有一个”零点，先要证明函数为单调函数，即存在零点；再用“函数零点的存在性定理”求证函数零点的唯一性。其依据为：

6、如果函数在区间上是单调函数，并且，则函数在区间上至多有一个零点。例：已知函数求证: 在其定义域内有且只有一个零点.证明： 函数的定义域为(0,+).(i) 在区间内是增函数故知在(0,+)内至多有一个零点；(ii)又f(1)=-4<0,f(3)=ln3>0,由函数在闭区间1,3上的连续性及零点定理知, 在闭区间1,3上至少有一个零点.由(i),(ii)知在(0,+)内有且只有一个零点.例：证明函数只有一个零点 证明：定义域为，   令，得当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减。当时，取得最大值，其值为当时，只有一个零点。三、如何运用导数来判断与求证含参函数的零点例：若，设函数,试求的零点个数,并证明你的结论.解：（1）当时, f(x)在上为单调增函数 又 f(x)存在唯一零点 （2）当<0时,f(x)在上为单调增函数 又 f(x)存在唯一零点 (3)当时,令 得 时,; 时, 在区间上为单调增函数，在上为单调减函数。为最大值点且最大值为 当即时 有唯一零点 当即时,有两个零点 （i）当时，在上单调增且， 在只有一个零点 （ii）当时，在上是单调减函数.因为当时，所以而设 ,则, 再设 则： 令得：令