信号与系统课件6

1、2.3 2.3 卷积积分卷积积分2.3 2.3 卷积积分卷积积分一、信号的时域分解与卷积积分一、信号的时域分解与卷积积分1 . .信号的时域分解信号的时域分解(1) (1) 预备知识预备知识p(t)1t022(a)f1(t)At022(b)问问 f1(t) = ? p(t)直观看出直观看出)(A)(1A)(1tptptf面积为面积为12.3 2.3 卷积积分卷积积分(2) (2) 任意信号分解任意信号分解22f(t)t023-1 0 1 2)(tff(0)(f)( f“0”号脉冲高度号脉冲高度f(0) ,宽度为宽度为，用用p(t)表示为表示为：f(0) p(t)“1”号脉冲高度号脉冲高度f()

2、 ,宽度为宽度为，用，用p(t - - )表示为：表示为： f() p(t - - )“- -1”号脉冲高度号脉冲高度f(- -) 、宽度为、宽度为，用，用p(t + +)表示为表示为： f ( - - ) p(t + + )nntpnftf)()()(d)()()()(lim0tftftf2.3 2.3 卷积积分卷积积分2 . .任意任意信号作用下的零状态响应信号作用下的零状态响应LTI系统LTI系统零状态零状态yf(t)f (t)根据根据h(t)的定义：的定义：(t) h(t) 由时不变性：由时不变性：(t - -)h(t - -)f ()(t - -)由齐次性：由齐次性：f () h(t

3、 - -)由叠加性：由叠加性：d)()(tfd)()(thff (t)yf(t)d)()()(thftyf卷积积分卷积积分2.3 2.3 卷积积分卷积积分3 . .卷积积分的定义卷积积分的定义已知定义在区间（已知定义在区间（ ，）上的两个函数）上的两个函数f1(t)和和f2(t)，则定义积分则定义积分 dtfftf)()()(21为为f1(t)与与f2(t)的的卷积积分卷积积分，简称，简称卷积卷积；记为；记为 f(t)= f1(t)*f2(t)注意注意：积分是在虚设的变量：积分是在虚设的变量下进行的，下进行的，为积分变量，为积分变量，t为参变量。结果仍为为参变量。结果仍为t 的函数。的函数。

4、)(*)(d)()()(thtfthftyf积分限问题积分限问题2.3 2.3 卷积积分卷积积分例例1：f (t) = e t,（- -t)，h(t) = (6e- -2t 1)(t)，求求yf(t)。解解： yf(t) = f (t) * h(t)d)( 1e6e)(2tt当当t t时，时，(t -) = 0ttttftyd)eee6(d 1e6e)(32)(2tttttttttteeee2ee2eded)e6(e3232322.3 2.3 卷积积分卷积积分二、卷积的图解法二、卷积的图解法dtfftftf)()()(*)(2121卷积过程可分解为卷积过程可分解为四步四步：（1）换元换元： t

5、换为换为得得 f1()， f2()（2）反转平移反转平移：由：由f2()反转反转 f2()右移右移t f2(t-)（3）乘积乘积： f1() f2(t-) （4）积分积分： 从从 到到对乘积项积分。对乘积项积分。注意：注意：t为参变量。为参变量。下面举例说明。下面举例说明。演示演示2.3 2.3 卷积积分卷积积分th( )f (t - )201321例2 f (t) ,h(t) 如图所示，求yf(t)= h(t) * f (t) 。解 采用图解法求卷积 。 f ( t - -)f ()反折反折f (- -)平移平移t t 0时时 , f ( t - -)向左移向左移f ( t - -) h()

6、 = 0，故故 yf(t) = 0 0t 1 时时, f ( t - -)向右移向右移2041d21)(ttytf 0t 1时时4121d21)(1ttyttf 2t 3时时f ( t - -) h() = 0，故故 yf(t) = 0f ( t )t0211th ( t )22h(t)函数形式复杂函数形式复杂 换元为换元为h()。 f (t)换元换元 f ()f (- )f (t - )t-1 tt-1 t t-1 ttyf (t )20134143tt-1 tt-1 1t 2 时时432141d21)(221tttytf02.3 2.3 卷积积分卷积积分图解法图解法一般比较繁琐，但一般比较

7、繁琐，但若只求某一时刻卷积值时若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。还是比较方便的。确定积确定积分的上下限是关键。分的上下限是关键。例例3：f1(t)、 f2(t)如图所示，已如图所示，已知知f(t) = f2(t)* f1(t)，求，求f(2) =？tf 2( t )-1131-1f 1( t )t2-22f1(- -)f1(2- -)f 1(2- - ) f 2( )22-2解解：d)2()()2(12fff（1）换元）换元（2） f1()得得f1()（3） f1()右移右移2得得f1(2)（4） f1(2)乘乘f2()（5）积分，得）积分，得f(2) = 0（面积为（面积为0）2.4 2

8、.4 卷积积分的性质卷积积分的性质2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质 卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。 一、卷积代数一、卷积代数1 1 满足乘法的三律：满足乘法的三律：（1） 交换律交换律： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t)（2） 分配律分配律： f1(t)* f2(t)+ f3(t) =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t)

9、（3） 结合律结合律： f1(t)* f2(t)* f3(t) =f1(t)* f2(t) * f3(t)2. 2. 复合系统的冲激响应复合系统的冲激响应2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质二、奇异函数的卷积特性二、奇异函数的卷积特性1. f(t)*(t)=(t)*f(t) = f(t) 证：证：)(d)()()(*)(tftftftf(t)*(t t0) = f(t t0)2. f(t)*(t) = f(t) 证：证：)( d)()( )(*)( tftftftf(t)*(n)(t) = f (n)(t)3. f(t)*(t)tftfd)(

10、d)()(t) *(t) = t(t)2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质三、卷积的微积分性质三、卷积的微积分性质1.nnnnnnttftftfttftftftd)(d*)()(*d)(d)(*)(dd212121证：上式证：上式= (n)(t) *f1(t)* f2(t) = (n)(t) *f1(t) * f2(t) = f1(n)(t) * f2(t) 2.d)(*)()(*d)(d)(*)(212121tttftftffff证：上式证：上式= (t) *f1(t)* f2(t) = (t) *f1(t) * f2(t) = f1(1)(t) * f2(t) 3. 在在f1( )

11、 = 0或或f2(1)() = 0的前提下，的前提下， f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) 2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质例例1： f1(t) = 1， f2(t) = et(t)，求求f1(t)* f2(t) 解解：通常复杂函数放前面，代入定义式得：通常复杂函数放前面，代入定义式得 f2(t)* f1(t)=1eded)(e00注意：套用注意：套用 f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) = 0* f2(1)(t) = 0 显然是错误的显然是错误的。例例2：f1(t) 如图如图, f2(t) = et(t)，求，求f1(t)* f

12、2(t) )()e1 ()(e)(ded)(e)(00)1(2ttttfttttf 1(t)t201解法一解法一： f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t)f1(t) = (t) (t 2) f1(t)* f2(t)=(1- et)(t) 1- e(t-2)(t-2) 2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质解解： f1(t) = (t) (t 2) f1(t)* f2(t)= (t) * f2(t) (t 2) * f2(t) (t) * f2(t)= f2 (-1)(t)四、卷积的时移特性四、卷积的时移特性若若 f(t) = f1(t)* f2(t)，则则 f1(t

13、 t1)* f2(t t2) = f1(t t1 t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t t1 t2) = f(t t1 t2) 前例前例：f1(t) 如图如图, f2(t) = et(t)，求，求f1(t)* f2(t) f 1(t)t201利用时移特性，有利用时移特性，有 (t 2) * f2(t)= f2 (-1)(t 2)f1(t)* f2(t)=(1- et)(t) 1- e(t-2)(t-2) 2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质例例：f1(t), f2(t)如图，求如图，求f1(t)* f2(t) t11-1f 1(t)t102f 2(t)0解解： f1(t)

14、= 2 (t) 2 (t 1) f2(t) = (t+1) (t 1) f1(t)* f2(t) = 2 (t)* (t+1) 2 (t)* (t 1) 2 (t 1)* (t+1) 2 (t 1)* (t 1) 由于由于 (t)* (t) = t (t) 据时移特性，有据时移特性，有f1(t)* f2(t) = 2 (t+1) (t+1) - 2 (t 1) (t 1) 2 t (t) 2 (t 2) (t 2)常见的卷积公式常见的卷积公式1212( 1)( 1)( 1)1221( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )(

15、)( )( )( )( )1( )( )() ( )(atatata ta ta ta tKf tKf tf ttf tf ttf ttf tf ttf ttfttftttttetetteteteteetaaaa波形的净面积值)1( )( )(1) ( )( )( )( )()()atatTmmtetetaf ttf ttmTf tmT2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质五、相关函数五、相关函数 为比较某信号与另一延时为比较某信号与另一延时的信号之间的相似度，的信号之间的相似度，需要引入需要引入相关函数相关函数的概念。相关函数是鉴别信号的有力

16、的概念。相关函数是鉴别信号的有力工具，被广泛应用于雷达回波的识别，通信同步信号的工具，被广泛应用于雷达回波的识别，通信同步信号的识别等领域。识别等领域。相关函数相关函数也称为相关积分，它与卷积的运也称为相关积分，它与卷积的运算方法类似。算方法类似。 实函数实函数f1(t)和和f2(t)，如为能量有限信号，它们之间的，如为能量有限信号，它们之间的互相关函数定义为：互相关函数定义为：121212211212( )( )()()( )( )()( )( )()Rf t f tdtf tf t dtRf tf t dtf t f tdt 可见，互相关函数是两信号之间时间差可见，互相关函数是两信号之间时

17、间差的函数。需要的函数。需要注意，一般注意，一般R12() R21()。不难证明，它们之间的关系是。不难证明，它们之间的关系是12212112( )()( )()RRRR 如果如果f1(t)和和f2(t)是同一信号，即是同一信号，即f1(t)f2(t) f (t) ，这时，这时无需区分无需区分R12与与R21，用，用R()表示，称为表示，称为自相关函数自相关函数。即。即 ：( )( ) ()() ( )Rf t f tdtf tf t dt 容易看出，对自相关函数有：容易看出，对自相关函数有：( )()RR 可见，实函数可见，实函数f(t)的自相关函数是时移的自相关函数是时移 的偶函数。的偶函

18、数。2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质函数函数f1(t)和和f2(t)卷积的表达式为：卷积的表达式为：1212( )*( )( )()f tf tff td 为了便于与互相关函数进行比较，我们将互相关为了便于与互相关函数进行比较，我们将互相关函数定义式中的变量函数定义式中的变量t t和和进行互换，可将实进行互换，可将实函数函数f1(t)和和f2(t)的互相关函数写为：的互相关函数写为：1212( )( )()Rtfft d 比较以上两式可见，卷积积分和相关函数的运算比较以上两式可见，卷积积分和相关函数的运算方法有许多相似之处。两种运算的不同之处仅在于，方法有许多相似之处。两种运算的不

19、同之处仅在于，卷积运算开始时需要将卷积运算开始时需要将f2()进行反折为进行反折为f2(- )，而相关，而相关运算则不需反折，仍为运算则不需反折，仍为f2()。其他的移位、相乘和积分的运算。其他的移位、相乘和积分的运算方法相同。方法相同。2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质根据卷积的定义根据卷积的定义121212( )*()( ) ()( )()f tftfftdfft d可见可见1212( )( )*()Rtf tft 由上式可知，若由上式可知，若f1(t)和和f2(t)均为均为实偶函数，实偶函数，则则卷卷积与相关完全相同。积与相关完全相同

20、。2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质求卷积是本章的重点与难点。求卷积是本章的重点与难点。求解求解卷积的方法卷积的方法可归纳为：可归纳为：（1）利用定义式，直接进行积分利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。（2）图解法图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。特别适用于求某时刻点上的卷积值。（3）利用性质利用性质。比较灵活。比较灵活。三者常常结合起来使用。三者常常结合起来使用。2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质（1 1）)()()()

21、(),()(21221tftfttftetft。求卷积积分解法I(定义)：)()1 (21)()()()()(202221tetdedtetftftt例 求下列函数的卷积积分。2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质220121(1)0( )( )200ttedetf tf tt22( 1)122( 1)22( )( )( )*( )( )*( )1( )( )(1) ( )2tttttf tf ttettetetedet 解法II(图解)：解法IV(常用公式)：解法III(性质)：22121( )( )( )*( )(1) ( )2ttf tf ttetet2.4 2.4 卷积积分的性质

22、卷积积分的性质(2)(2)等于则的波形如图所示，设和信号)6(),()()()()(2121ytftftytftf(6)2 1 12 2 16y 解解: :2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法2.52.5* * P P算子分析法算子分析法一、微分算子及系统的描述一、微分算子及系统的描述y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t)LTI连续系统用连续系统用线性常系数微分方程线性常系数微分方程描述。描述。1 1、微分算子的定义、微分算子的

23、定义积分算子积分算子：1( . . )tdP dPdt微分算子微分算子：nnndPdt注意：这里的注意：这里的P只只是代表微分运算的是代表微分运算的一个算子（一个算子（1/P是是代表积分运算），代表积分运算），P 并 不 是 变 量 。并 不 是 变 量 。例例1 1： )()(tfdtdtPf)()(tfdtdtfPnnntdftfP)()(1例例2 2： ( )3 ( )2 ( )2( )5 ( )y ty ty tf tf t微分算子方程：微分算子方程：)(5)(2)(2)(3)(2tftPftytPytyP或：或：)()52()()23(2tfPtyPP 2.5 P2.5 P算子分析法

24、算子分析法2 2微分算子的性质（规定）：微分算子的性质（规定）：（1 1）P P的的正幂正幂多项式可以因式分解；多项式可以因式分解；)()2()()23(22tfPPtyPP可表示为：可表示为：)() 12()()2)(1(tfPPtyPP（2 2）设）设A(P)A(P)、B(P)B(P)为为P P的的正幂正幂多项式；多项式；（3 3）微分算子方程两边的公因子不能随意消去；）微分算子方程两边的公因子不能随意消去；)()()()(PAPBPBPA则：则：例：例：)()(tPftPy，不，不等于等于)()(tfty)()3)(2()()2)(1(tfPPtyPP, ,不不等于等于)()3()()

25、1(tfPtyP2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法例：例：(4) A(P)(4) A(P)、B(P)B(P)、D(P)D(P)为为P P的的正幂正幂多项式多项式：)()()()()()()()(tfPBPAtfPBPDPAPD)()()()()()()()(tfPBPAtfPDPDPBPA2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法但但例：例：)()(1tftfPP)()(1tftPfP但但二阶系统微分方程：二阶系统微分方程：)()()()()()(01201tfbtfbtfbtyatyaty二阶系统微分算子方程：二阶系统微分算子方程：)()()()(0122012tfbPbPbtyaPaP

26、系统传输算子：系统传输算子：则则 ( )( ) ( )( ) ( ),( )( )( ) ( )( )B PA P y tB P f ty tf tH P f tA P2210210( )( )( )b Pb PbB PH PA PPa PaH(P)H(P)称为称为系统的传输算子系统的传输算子。2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法3 3、系统的传输算子：、系统的传输算子：（1）微分算子方程：）微分算子方程：2210210( ),( )A PPa PaB Pb Pb Pb令令 演示演示对对n n阶系统阶系统的的微分方程：微分方程：)()()()()()(0)1(1)(0)1(1)(tfbtf

27、btfbtyatyatymmmmnnn2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法微分算子方程：微分算子方程： tfbpbpbtyapapmmmmnnn011011传输算子传输算子：110110( )( )( )mmmmnnnb PbPbB PH PA PPaPa 算子模型：算子模型：R R：( )( )U tRi t( )( )U tRi t 算子模型：算子模型：L：)()(tidtdLtU)()(tpLitU2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法4 4RLC微分算子方程的建立微分算子方程的建立：（1 1） R R、L L、C C元件的算子模型：元件的算子模型：C C：tdiCtU)(1)(1

28、( )( )U ti tpC算子模型：算子模型：例1： 12( )( )( )( )ssi tU ti tU t求与和与的关系。解：解：建立系统微分算子方程的方法建立系统微分算子方程的方法： 把把R,PL,1/PCR,PL,1/PC看成阻抗，用正弦稳电路分析法中所采用看成阻抗，用正弦稳电路分析法中所采用的网孔分析法，节点分析法，阻抗分析法，戴维南定理等的网孔分析法，节点分析法，阻抗分析法，戴维南定理等建立系统微分算子方程。建立系统微分算子方程。以下以下用网孔分析法建立方程：用网孔分析法建立方程： 2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法（2 2）系统微分算子方程的建立：）系统微分算子方程的建立

29、：0)() 112()(1)()(1)()11 (2121tiPPtiPtUtiPtiPPs)() 2432 (12)(12321tUPPPPPPtiPs)() 2432 (1)(1232tUPPPPtiPs)(243212)(2321tUPPPPPtis243212)(2321PPPPPPH)(24321)(232tUPPPtis2321( )2342H PPPP)() 12()() 2432(2123tUPPtiPPPs)()()2432(223tUtiPPPs0)(1)12()(1)()(1)(1)1(221212tiPPPtiPtUtiPtiPPPs)(1),(121tiPtiP令变量

30、为令变量为得得: :用克莱姆法则解得：用克莱姆法则解得：，2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法，2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法二、二、零输入响应的求解零输入响应的求解设二阶系统的方程为设二阶系统的方程为: :算子方程为算子方程为: :)()()()()(0101tfbtfbtyatyaty)()()()(01012tfbPbtyaPaP01201)()()(aPaPbPbPAPBPH1 1、零输入响应的方程、零输入响应的方程传输算子传输算子：0)()(012tyaPaPx)(tyx零输入响应零输入响应满足的算子方程：满足的算子方程：0)()(tyPAx 或或( )xyt 的 方

31、程 ：0)()(tyPx0)()(tytyxx)(tyx2 2、零输入响应、零输入响应的计算：的计算： （1 1）简单情况）简单情况 1 1： PPA)( (为常数）为常数）2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法00t设初始时刻设初始时刻te上式两边乘以得：0)()(tyetyextxt0)(txetydtd 即：即：2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法00( )( )0ttttxxdyt edtd yt edt( )(0 )0txxyt eyt0( )(0 )ttxxy tyeC e上式两边积分：上式两边积分：0( )|0ttxy t e得：得：所以：所以：2)()(PPA（2 2）简

32、单情况）简单情况2 2：2( )()( )0 xxy tPy t的方程：0)()(tyPPx即：即： txxeCtyty1)()(即：即：)()()(1tyPtyxxtxeCty11)(，则，则令令 txeCtyP1)()(得：得：te1)(Ctyedtdxt上式两边乘以上式两边乘以，得得：2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法101( ) (0 )()0ttxxy tyCt eCCt et，01( )|ttxey tCt1( )(0 )txxey tyC t对上式积分：对上式积分：，所以：所以：210121( )(),0rtxrytCC tC tCtet221)()(PPPA0)()(22

33、1tyPPx推论推论：（3 3）一般情况：）一般情况：0)()(1tyPAx即即：0)()(2221tyPPx0)()(2tyPAx则则即即：0)()(22tyPxtxetCCty2212)()( 解为解为设设2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法rPPA)()(0)()(tyPxr即即 01txyp txeCty101设设 解为解为例：例：1212012( )( )( )(),0ttxxxy ty tytCeCCt et所以：所以：)(tyx求零输入响应求零输入响应 的一般方法：的一般方法：第一步第一步 对对A(P)A(P)进行因式分解；进行因式分解；第三步第三步 yx(t) 等于各因式对

34、应的零输入响应之和；等于各因式对应的零输入响应之和；)(tyx0)()(tyPAx的微分算子方程为：的微分算子方程为：设设第二步第二步 求每个因式对应的零输入响应；求每个因式对应的零输入响应；第四步第四步 用初始条件确定系数。用初始条件确定系数。的系数：的系数：n)(tyx110,nCCCn)(tyx(1)(0 ),(0 ),(0 )nxxxyyy阶系统阶系统阶系统阶系统的初始条件：的初始条件：)()()(tytytyfx( )( )( )(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )xfjjjxfyyyyyy( )( )( )(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )xfjjjxfy

35、yyyyy三、三、 LTI 连续系统的初始条件连续系统的初始条件 初始时刻t0=0 ，2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法()()(0 )(0 )(0 )(0 )xxjjxxyyyy对因果系统，因果输入对因果系统，因果输入: :当当t0t0时，时，f(t) =0.( )( )(0 )(0 )(0 )(0 )xjjxyyyy所以：所以：()(0 )0(0 )0fjfyy有：有：注意：注意：零输入响应只与零输入响应只与A（P）有关，与）有关，与B（P）无关，）无关，故故H(P)中分子与分母的公共因式不能相约。中分子与分母的公共因式不能相约。2.5 P2.

36、5 P算子分析法算子分析法1 1、任意信号作用下的零状态响应、任意信号作用下的零状态响应LTI系统LTI系统零状态零状态yf(t)f (t)根据根据h(t)的定义：的定义： (t) h(t) 由时不变性：由时不变性：(t - -)h(t - -)f ()(t - -)由齐次性：由齐次性：f () h(t - -)由叠加性：由叠加性：d)()(tfd)()(thff (t)yf (t)四、零状态响应的求解四、零状态响应的求解)(*)(d)()()(thtfthftyf卷积积分卷积积分2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法2 2、零态响应的另一种计算公式、零态响应的另一种计算公式（1 1）信号的

37、时域分解）信号的时域分解(1) ()( )()()nnnf nf nf tft nt n 把激励分解把激励分解为一系列阶为一系列阶跃响函数跃响函数2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法0( )( )( ) ()dlimf tf tft )(*)( d)()( )(ttftftf( )()()nf tf ntn （2 2）任意信号作用下的零状态响应）任意信号作用下的零状态响应LTI系统LTI系统零状态零状态yf(t)f (t)杜阿密尔积分杜阿密尔积分2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法根据根据g(t)的定义：的定义： g(t) 由时不变性：由时不变性：g(t - -)由齐次性：由齐次性：f

38、 () g(t - -)由叠加性：由叠加性：f (t)yf (t)(t)(td)()( tf)()( tf( )( ) ()d( )*( )fytfg tftg td)()( tgf杜阿密尔积分杜阿密尔积分五、由五、由H(P)H(P)求求h(t)h(t) )(tyf的方程的方程：) () () () () () (01201tfbtfbtfbtyatyatyfffh(t)h(t)的方程的方程：)()()()()()(01201tbtbtbthathath设二阶系统的方程为设二阶系统的方程为)()()()()()(01201tfbtfbtfbtyatyaty对对n n阶因果系统阶因果系统：( 1

39、)(0 )(0 )(0 ) 0nhhh系统的传输算子系统的传输算子：2210210()()()b Pb PbB PHPA PPa Pa，)()()()(0120122tPHtaPaPbPbPbth2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法1 1、h(th(t) )的方程的方程2 2 由由H(P)H(P)求求h(t)h(t) ( )( ),Kh ttP)()()(tKthP)()()(tKthth即：即： )()(tKthetddt即即：0( )|( ),tteh tKt(0 )0,h)()(tKthet)()(tKethtPKPH)()()(tKethtPKPH)(，K，为常数为常数简单情况简单

40、情况1：te，得：，得：)()()()(tKtkethethettt上式乘以上式乘以)()()(00tKdttKdtthedtdttt上式两边积分：上式两边积分：2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法即即：)()()(tKthPP1() ( )( )Ph tKt1( )( )th tKet( )( )ttdeeh tKtdt上式两边乘以得：2)()(PKPH 简单情况简单情况2 2：则则设设1( )() ( )( )th tPh tKet得得2)()(PKPH)()(tKtethtrPKPH)()()()!1()(1tetrKthtr0( ) |( )tteh tKtt，)()(tKtthet上上式积分得：式积分得：推论：推论：，2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法nKPPH)( )( )() ( )( )( )nnh tH PtKPtKt)()()(tKthn 简单情况简单情况3 3：，2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法)()()()()()()()()(2122211ththtPKtPKtPHth1212212( )( )( )( )()KKh tth ttPP，121122( )( )( )( )tth tK eth tK tet，一般情况：一般情况：由情况由情况1 1，情况，情况2 2得：得：12212( )()()KKH PPP设例例：)()()(