共同本征函数

1、量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 数数引入引入下面我们普遍地分析此问题下面我们普遍地分析此问题.当体系处于力学量当体系处于力学量 的本征态时的本征态时,对其测量对其测量,可得一可得一个确定值个确定值,而不会出现涨落而不会出现涨落.但在其本征态下去测量但在其本征态下去测量另一个力学量另一个力学量 时时,却不一定得到一个确定值却不一定得到一个确定值.AB分析下列积分不等式分析下列积分不等式 其中其中, 为体系的为体系的任意任意一个波函数一个波函数, 为为任意实任意实参数参数. 2id0IAB 3.3.1 不确定度关系的严格证明不确定度关系的严格证

2、明A,B设有两个任意的力学量设有两个任意的力学量 和和量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 数数,/iCA BC引进厄米算符引进厄米算符 222IACB222222/2/40ACABCA则则因为与为厄米算符，因为与为厄米算符， 所以所以 AB i,iIABAB 2,i,i,AAABBABB222 ,i,AA BB 222/40BCA2/2CA,则得则得C为实，不妨取为实，不妨取量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 数数2221,4ABC或表成2211 ,22ABCA B即即 1与与 为厄米算符为厄米

3、算符, 与与 又均为实数又均为实数, 与与 也是厄米的也是厄米的.ABABAAABBB在上式中，在上式中，让让,AA ,BB 则则(1)式仍成立式仍成立.再考虑到再考虑到 就可得出就可得出,ABA B221,2ABA B 量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 数数1,2ABA B 或简记为或简记为(2) 上式就是任意两个力学量上式就是任意两个力学量 与与 在任意量子在任意量子态下的涨落必须满足的关系式态下的涨落必须满足的关系式,即即Heisenberg的的不确不确定定度关系度关系(uncertainty relation)的普遍表达式的普遍表达式

4、.AB量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 数数能是例外能是例外), 或者说他们或者说他们不能有共同本征态不能有共同本征态.以以找出找出它们的它们的共同本征态共同本征态. 由由(2)式可以看出式可以看出, 若两个力学量若两个力学量 与与 不不AB对易对易, 则一般说来则一般说来 与与 不能同时为零不能同时为零, 即即AB 与与 不能同时测定不能同时测定. (但但 的的特殊态特殊态可可BA ,0A B反之反之,若两个厄米算符若两个厄米算符 与与 对易对易, 则可以则可以AB找出这样的态找出这样的态, 使使 与与 同时满足同时满足, 即可即可0B0A

5、量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 数数 坐标坐标 的共同本征态的共同本征态,即即 函数函数, ,x y zr 00 00 x y zrrr 000 xxyyzz000000,xyzxyz 实0r相应本征值为相应本征值为例如例如量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 数数采用球坐标采用球坐标, 角动量的平方算符表示为角动量的平方算符表示为2222211sinsinsin l2221sinsinsinzl 3.3.2 的共同本征态的共同本征态,球谐函数球谐函数2,zll由于角动量的三个分量不对易由于角

6、动量的三个分量不对易, 一般无共同本征态一般无共同本征态.分量分量(例如例如 )的共同本征态的共同本征态.zl2,0(, , )lx y z l2l,可以找出可以找出但由于但由于与任何一个与任何一个量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 数数 考虑到考虑到 的本征函数可以同时也取为的本征函数可以同时也取为的本征态的本征态2,0,zl l2lzl i1e,2mm0, 1, 2,m 22Y,Y, l其中其中, 是是 的本征值的本征值( 无量纲无量纲), 待定待定.22l并代入本征方程并代入本征方程 Ym, 的本征函数已分离变量的本征函数已分离变量, 即

7、令即令2l此时此时,量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 数数化简本征方程化简本征方程,得得221ddsin0,sinddsinm0cos (1), 令令则则222dd10dd1m22222dd120dd1m或或这就是这就是连带连带Legendre方程方程.量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 数数 在在 区域中区域中, 微分方程有两个正则奇点微分方程有两个正则奇点,其余各点均为常点其余各点均为常点.11, 时时,方程有一个多项式解方程有一个多项式解(另一解为无穷级数另一解为无穷级数), 即连带即连

8、带Legendre 多项式多项式0,1,2,l 1 ,l l 可以证明可以证明, 只当只当 ,Pmlml1它在它在区域中是有界的区域中是有界的, 是物理上可接受的解是物理上可接受的解.量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 数数利用正交归一性公式利用正交归一性公式 11!2d21!PPmmlllllmllm 21!1cos2!Pmmlmlllmlm ,1,1,ml lll 0sin dlml mll 满足满足定义一个归一化的定义一个归一化的部分的波函数部分的波函数(实实)量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征

9、 函函 数数0,1,2,l ,1,1,ml lll 2*,00dsin d Y,Y, lml mllmm i!21Y,1cose4!Pmmmlmllmllm 所以所以, 的正交归一的共同本征函数表示为的正交归一的共同本征函数表示为 2,zllYY ,zlmlmlm22Y1Y ,lmlml llYlm为球谐函数为球谐函数, 它们满足它们满足量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 数数 在上面的式子中在上面的式子中, 和和 的本征值都是量子化的的本征值都是量子化的.2lzl对于给定对于给定 , 的本征函数是不确定的的本征函数是不确定的, 因为因为 共有

10、共有 个简并态个简并态. 就就是用是用 的本征值来确定这些简并态的本征值来确定这些简并态.,1,1,ml lll l21l Ylm2lzl 轨道角动量量子数轨道角动量量子数 磁量子数磁量子数ml量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 数数3.3.3 对易力学量完全集对易力学量完全集(CSCO)它们的共同本征态记为它们的共同本征态记为, 设有一组彼此独立而且互相对易的厄米算符设有一组彼此独立而且互相对易的厄米算符12 (,),A A A 表示一组完备的量子数表示一组完备的量子数. 设给定一组量子数设给定一组量子数之后之后, 就能够完全确定体系的唯一就

11、能够完全确定体系的唯一一个可能状态一个可能状态, 则我们称则我们称12(,)A A 构成体系的一组构成体系的一组对易可对易可观测量完全集观测量完全集 (complete set of commuting Observables, 简记简记为为CSCO), 在中文教材中在中文教材中,习惯称为对易力学量完全集习惯称为对易力学量完全集, 或简或简称为力学量完全集称为力学量完全集. 对易力学量完全集的概念与体系的一个对易力学量完全集的概念与体系的一个量子态的制备密切相关量子态的制备密切相关.量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 数数 按照态叠加原理按照态

12、叠加原理, 体系的任何一个状态体系的任何一个状态 均可用均可用 来展开来展开a利用利用的正交归一性的正交归一性, 上式中的展开系数上式中的展开系数(,)a可确切定出可确切定出.2a表示表示在在态下态下, 测量力学量测量力学量A得到得到A值的概率值的概率. 这是波函数的统计诠释的最一般的表述这是波函数的统计诠释的最一般的表述.(这里假定量子数这里假定量子数,或力学量或力学量,A不连续变化不连续变化.若若连续变化连续变化, 则则,d 而相应的展开系数的模方代表概而相应的展开系数的模方代表概率密度率密度. 例如例如, 坐标表象和动量表象的展开坐标表象和动量表象的展开, 即属此情况即属此情况.)量子力

13、学教程量子力学教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 数数如体系的如体系的 Hamilton 量不显含时间量不显含时间(/0),tHt 则则H 为守恒量为守恒量. 在此情况下在此情况下, 如对易力学量完全集中包含如对易力学量完全集中包含有体系的有体系的Hamilton量量, 则完全集中各力学量都是守恒量则完全集中各力学量都是守恒量,这种完全集又称为这种完全集又称为对易守恒量完全集对易守恒量完全集( a complete set ofcommuting conserved observables, 简记为简记为CSCCO.)包括包括 H 在内的守恒量完全集的共同本征态在

14、内的守恒量完全集的共同本征态, 当然是定当然是定态态, 所相应的量子数都称为所相应的量子数都称为好量子数好量子数. 在这种展开中在这种展开中,(无论无论 是什么态是什么态, 定态或非定态定态或非定态), 2a是不随时间是不随时间改变的改变的.量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 数数关于关于CSCO, 再做几点说明再做几点说明:(1) CSCO是限于是限于最小集合最小集合, 即从集合中抽出任何一个可即从集合中抽出任何一个可观测量后观测量后, 就不再构成体系的就不再构成体系的CSCO. 所以要求所以要求CSCO中各观测量是中各观测量是函数独立的函数

15、独立的.(2) 一个给定体系的一个给定体系的CSCO中中, 可观测量的数目一般等于可观测量的数目一般等于体系自由度的数目体系自由度的数目, 但也可以大于体系自由度的数目但也可以大于体系自由度的数目.(3) 一个给定体系往往可以找到多个一个给定体系往往可以找到多个CSCO, 或或CSCCO.在处理具体问题时在处理具体问题时, 应视其侧重点来进行选择应视其侧重点来进行选择. 一个一个CSCCO的成员的选择的成员的选择, 涉及体系的对称性涉及体系的对称性.量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 数数 体系的量子态用一组彼此对易的力学量完全集的共同体系的量

16、子态用一组彼此对易的力学量完全集的共同本征函数来展开本征函数来展开, 在数学上涉及完备性问题在数学上涉及完备性问题. 这是一个颇这是一个颇为复杂的问题为复杂的问题.李政道曾经给出关于本征态的完备性的李政道曾经给出关于本征态的完备性的如如下重要的定理下重要的定理.定理定理: 设设H为体系的一个厄米算符为体系的一个厄米算符, 对于体系的任一态对于体系的任一态,( ,)/( ,)H 有下界有下界( 即总是大于某一个固定的数即总是大于某一个固定的数c),但无上界但无上界, 则则H的本征态的集合的本征态的集合, 构成体系的态空间中构成体系的态空间中的一个完备集的一个完备集, 即体系的任何一个量子态都可以

17、用这一即体系的任何一个量子态都可以用这一组本征态完全集来展开组本征态完全集来展开.量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 数数这里有两点值得提到这里有两点值得提到:(a) 自然界中真实存在的物理体系的自然界中真实存在的物理体系的Hamilton 算符算符H都应为厄米算符都应为厄米算符(保证所有能量本征值为实保证所有能量本征值为实), 并且应有并且应有下界下界( 能量无下界是不合理的能量无下界是不合理的, 在自然界中未发现这种在自然界中未发现这种情况情况). 因此因此, 体系的任一量子态总可以放心地用包含体系的任一量子态总可以放心地用包含H在内的一个

18、在内的一个CSCCO的共同本征态完全集来展开的共同本征态完全集来展开.(b) 在在H本征值有简并的情况下本征值有简并的情况下, 对于给定能量本征值对于给定能量本征值,本征态尚未完全确定本征态尚未完全确定, 此时需要用包含此时需要用包含Hamilton量在内量在内的一个的一个CSCCO, 根据他们的本征值把本征态完全确定下根据他们的本征值把本征态完全确定下来来, 以便于对任何量子态进行确切的展开以便于对任何量子态进行确切的展开.量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 数数3.3.4 量子力学中力学量用厄米算符表达量子力学中力学量用厄米算符表达 与与Schrdinger方程是量子力学的一个基本假定一样方程是量子力学的一个基本假定一样,量子体系的可观测量量子体系的可观测量 (力学量力学量) 用一个线性厄米算符来用一个线性厄米算符来描述描述, 也是量子力学的一个基本假定也是量子力学的一个基本假定, 它们的正确性应它们的正确性应该由实验来判定该由实验来判定.“量子力学中力学量