不等式典型题目归纳

1、教学内容:第三章：不等式1、ab 0= a b ； ab=0= a=b ； ab ：0= a . b.比较两个数的大小可以用相减法；相除法；平方法；开方法；倒数法等等。2、不等式的性质： a . b：= b . a : a b, b c= a c : a - b= a c b c ； a . b, c 0二 ac be， a . b, c ：. 0= ac ： be ； ® a . b, c . d 二 a c . b d ； a b . 0,c . d . 0= ac . bd : a b 0二 an bn nW ,n 1 ； a>b:>0n 皓> 畅(nN,n&

2、gt;1 ).3、 一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式.4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:判别式厶=b2 -4ac二次函数y = ax2 bx ca - 0的图象2一元二次方程axbx c = 0a - 0的根2ax bx c 0一元二次不a - 0等式的解集ax2 bx c： 0a 0有两个相异实数根有两个相等实数根-b 土伍x1,2 :'2aX2x X £ X1或x> x2 bXi = X2 =2a没有实数根:X为 x x2 /2a(1)-1x和y的取值构成有序数对x, y ,若三0，则"n

3、 C 0表示直线.-X BY 0上方的区域；.-.xC . 0表示直线x0下方的区域.若巳:0,则.-.x y C 0表示直线 二x0 C二0下方的区域；.-.x ：y C . 0表示直线x <iy0上方的区域.10、线性约束条件：由 x , y的不等式（或方程）组成的不等式组，是x , y的线性约束条件.目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x , y的解析式.线性目标函数：目标函数为 x , y的一次解析式.线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.可行解：满足线性约束条件的解x,y .可行域：所有可行解组成的集合. 最优解：使目标函数取得最大值或最小值的

4、可行解.b的几何11、设a、b是两个正数，则 -b称为正数a、b的算术平均数，.ab称为正数a2平均数.12、 均值不等式定理：若a 0 , b 0，则a b _ 2； ab，即-_ - . ab .213、常用的基本不等式： a2 b2 _2ab a,b R ；ab -a2 b2a,b R ;2a 0,b 0 :讥14、极值定理：设 x、y都为正数，则有a2 b2a b2a,b R .S2若x y = s （和为定值），则当x = y时，积xy取得最大值一.4 _若xy = p （积为定值），则当x = y时，和x y取得最小值 2 p .一、一元二次不等式解法1、直接按步骤解2-3x x

5、-20注意x前面系数为正2、分式不等式转化为整式不等式，右边不为0要移项通分,还要注意，最后取值分母不为 02x13x 1-0(2)2 x3、高次不等式用穿根法：奇穿偶不穿（奇次方穿过x轴，偶次方不穿过）解不等式： X 2X<0x +5x6二、解含参不等式：讨论根的大小，参数为 0等情况1、因式分解类讨论解不等式：x2 -(a a2)x a30(a R)2、直接讨论解不等式：(x -2)(ax -2) 0(a R)3、分式含参不等式：先转化为整式不等式，再讨论解不等式：心)-l(a 0)x -24、含参绝对值不等式：主要是零点分段题目解不等式：）x_3-x+1£1（ 2）（1）

6、x4+|3-x<a 的解集为 0，a 的取值范围（2）使得|x+1-2-xZa恒成立，a的取值范围三、一元二次不等式与韦达定理1、若一元二次不等式mx2+8mx+28<0,的解集为x -7<x<-1，求实数m的值2、(1)已知不等式 ax2+bx+c>0的解集为xa <x<B,( B >a >0),求cx2+bx+a<0的解集解：因为不等式ax24-bx+c>0 (aO)的鶴为口<：梵<“其中p>a>0.所以有口4沪亠一，aP=1且a<0 > c<0 »qa设方程cx?+b&#

7、187;+a=O的两根芮z 2且-d!liL+n=b a_a*P_11 r=_r=_=irpa - I 1 1Jnn=<? =-0=-'0 -c ap ct p a以可得“=匕 a P又因c <0 p不等Scx':+bx+a<0的解k >或工 P(2)已知不等式ax2+bx+c > 0的x的取值范围是xv 1或x > 3,则满足不等式 cx2+bx+a > 0的x的取值范围是斛：丫不等式ax;+bx4-c >0的x的取值范圉是x<l或x>3，、不等式axz+bx+c >0可变形为不等式(x- 1 ) (x-3 )

8、 >Ch即”-4孟"不等式K：+bx+a>0可妄形为3k2-4z + 1 >0 * 即(3x- 1 ) ( z-1 > >0 * 解得idg或k >1 *二蔚足不等式cx+bs+a>0的x的取值范龜为飢弋舟或s>l -针对练习：若不等式ax2-bx+c > 0的解集是x|-2 v x v 3，求不等式cx2+bx+a > 0的解集四、恒成立问题1、当a为何值时候，不等式(a2-1)x2 -(a-1)x-1 ： 0的解集为R变式练习：x2+x + 1y- 2士 0恒成立，求y的取值氾围X +12、x2-8x+202mx +2(

9、m+1)+9m+4>0对任意实数x恒成立，求m的取值范围3、二次函数恒成立已知函数y=x2+ax+3 当xR,y_a恒成立，求a范围当x -2,2 , y_a恒成立，求a范围4、分离变量法求恒成立问题：不等式mx2-2x+m-2<0 （1）若对x R,恒成立求m范围,（2）对m込2切m都成立，求x范围均值不等式a2 b2 二ab 二 口2I 2丿< a b a,b R+只要注意和为定值用积，积为定值用和，注意条件：一正、二定、三相等（一定验算相等取值） 首先遇到均值不等式题目，把上面公式列在草稿纸上1、积为定值若 y =x(9 -3x)(0 : x < 3)求y的最值a

10、+b2、有根号的和为定值一般用到公式2(1)、已知 a+b=1 (a,bR+)，求 J0+4+Jb+4的最值(2)已知 a+b=1 ( a,b R+),求2a+1+、2b+1 的最值3、利用1,或变为1(1)已知 a+b+c=1 (a,b,c R+)，求丄+丄+丄_9a b c(2)已知 a+b+c=1 (a,b,c R+)，求+ + a+b b+c c+a1 1(3)已知x+y, + 其中一个求另一个类型题目x y+14已知x,y R ,且 + =1，求x+y最小值x yy 4x5114 x+y x y+ _) =x y 1010、1414变式：（1） x+y=10，求+一，二 一+ 二x

11、yx y(2)x+y =x(x+y) 1= (x+y)14 十+=10，求 x+y =x y14y 4x、+(5+ +)y =x y10104、构造完全平方类型大于等于2 2a b_ 2ab a,b R ,2 2 2a +b +c >ab+bc+ca(2) a,b,c R ,求证 bc +-ac + -a _ a+b+c a b c5、均值定理边形222+ 22 aa b _ 2ab a,b R = a - 2ab-b : 一 2a-b b2 2 2 2同理可得：-2a-c, _2c-b, _2b-a,b _ 2b-ccbac2 2 2(1) 设 a,b,c R ,求证+ + 一 a+b

12、+c a b c1(2013 新课标 1)设 a,b,c R，且 a+b+c=1。证明ab+bc+ca <； (n)2 2 c a + - a b+ -16、分离变量法、换元法与不等式求最值(1) x>-1,求y二x 3x+1的最小值 x+1（2）求y=竺的最大值2x+57、双勾函数求函数最值（1）求y=_x2：5的最小值Jx2+4线性规划线性规划（1）求目标函数最大最小值：方法直接联立成方程组解方程带入，但是一定注意考到区域里面的整数解时候，要有不等号里有没有等号即可不可以取边 界1、求线性目标函数的取值范围x乞2例1、 若x、y满足约束条件 y二2，则z=x+2y 的取值范围是

13、 （）x y _22、求非线性目标函数的最值2x y - 2 _0例5、已知x、y满足以下约束条件 x -2y 4 _ 0 ，贝U z=x 2+y2的最大值和最小3x - y -'3 一 0值分别是（)A、13， 1B、 13 ， 2C、13，-D、用，55解：如图，作出可行域,x 2+y2是点（x， y）到原点的距离的平方，故最大值为点A （ 2,3 ）到原点的距离的平方，即 |A0| 2 =13，最小值为原点到直线2x + y 2=0的距离的平、4方，即为一，选C53x -y -3 = O-2= 03、比值问题转化为两个点组成直线斜率问题当目标函数形如z=- a时，可把z看作是动点

14、P(x,y)与定点Q(b,a)连线的斜率，这样目x b标函数的最值就转化为 PQ连线斜率的最值。"x y+ 2 w o,v例 已知变量x, y满足约束条件x> 1,则X的取值范围是()、x+ y 7w 0,(B) ( m,| U 6 ,+R)9(A) 5, 6(C)(汽 3 U 6 ,+R)( D) 3 , 6解析y是可行域内的点 M( x, y)与原点Ox5 9y(0, 0)连线的斜率，当直线 OM过点(-,2)时，x取得2 2x最小值|;当直线OM过点(1, 6)时，*取得最大值6.答案A5、应用题课后作业：2 2.2 cab1、设 a,b,c R，且 a+b+c=1。证明

15、(1)+1a b c2、求证1 <2x2+x+1x2+1211 163、已知x,y R+,且一+ =4,求x+y最小值x y/ 一 I5.若0 v av 1,则不等式(x-a) (x-)>0的解集是() 一4、已知a+b=1 (a,bR+)，求 弋+三+卞+勺的最值2 25、解不等式 x +2x1-a0(a R)测试卷一、选择题1. a,b是任意实数，且 a b，则下列结论正确的是()b1A. aab2 B.1 C. Ig(a-b) lgD. 3：3 山aa -b2. 若点A(x, y)在第一象限且在2x 3y =6上移动，则log3 x log3 y ()2 2A、最大值为1 B

16、、最小值为1 C、最大值为2 D、没有最大、小值3. 已知集合 S=R, A 二X|X2-2x-3 乞 0, B 二t|t-2卜：2，那么集合 Cs(A_. B)等于A. x|0 ：x_3 B . R C . x|x 辽 0,或 x 3 D . x|x 1,或x _ 44下列各一元二次不等式中，解集为空集的是()2 2A . (x+3)(x 1)>0 B . (x+4)(x 1)<0 C. x - 2x+3<0 D . 2x - 3x- 2>08.不等式x 1的解集是（)x +2a(Q_2)U(0,B、（：，-3）U（-2,0）c(-3,0)D （-：，-3）U（

17、76;，：）A- (a,)aB.(-,a)a1 、D .c.(-8 a) U (-,+8 )ay沁6.设变量x、y满足约束条件 x y _ 2 ,y _ 3x6a.2B. 3C. 47.设x,y为正数,则(x+y)( x4+ y）的最小值为A.6B.9C.12(-m, -) U (a, +8)a则目标函数z=2x y的最小值为（）D . 9( )D.15二、填空题9.不等式 竺 v 1的解集为x| x v 1或x > 2,那么a的值为.x-110已知关于x的不等式亘戸 CO的解集为M,若5更M ,则实数a的取值范围是 .x -a1411.已知两个正实数x、y满足x+y=4,则使不等式+m恒成立的实数m的取值范围是x y三、解答题12.设全集为-1,R,集合 A=x I log1 (3- X) -2,B= x I2(1 )求 Cr(A - B).13.设 f(x)二 ax2 (b-8)x-a-ab,不等式 f(x) 0 的解集是(3, 2)(1)