单自由度系统的自由振动(研)

1、第第1 1章章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动机械与结构振动机械与结构振动Mechanical and Structural VibrationMechanical and Structural Vibration机械与结构振动机械与结构振动Mechanical and Structural Vibration机械与结构振动机械与结构振动 振动系统一般可分为振动系统一般可分为连续系统和离散系统连续系统和离散系统。 具有连续分布的质量与弹性的系统，称为具有连续分布的质量与弹性的系统，称为连续弹性连续弹性体系统体系统。弹性体是具有无限多自由度的系统，它的振。弹性体是具有无限多自由度的

2、系统，它的振动规律要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方动规律要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程是偏微分方程。程是偏微分方程。 在一般情况下，要对连续系统进行简化，用适当的在一般情况下，要对连续系统进行简化，用适当的准则将分布参数准则将分布参数“凝缩凝缩”成有限个离散的参数，这样成有限个离散的参数，这样便得到离散系统。所建立的振动方程是常微分方程。便得到离散系统。所建立的振动方程是常微分方程。由于所具有的自由度数目上的区别，离散系统又称为由于所具有的自由度数目上的区别，离散系统又称为多自由度系统。多自由度系统。 机械与结构振动机械与结构振动Mechanical and Structu

3、ral Vibration机械与结构振动机械与结构振动Mechanical and Structural Vibration)sin(0eqeqtFkm 0 kyym 机械与结构振动机械与结构振动Mechanical and Structural Vibration 线性振动：相应的系统称为线性系统。线性振动：相应的系统称为线性系统。 线性振动的一个重要特性是线性叠加原理成立。线性振动的一个重要特性是线性叠加原理成立。 非线性振动：相应的系统称为非线性系统。非线性振动：相应的系统称为非线性系统。 非线性振动的叠加原理不成立。非线性振动的叠加原理不成立。 机械与结构振动机械与结构振动Mechan

4、ical and Structural Vibration机械与结构振动机械与结构振动Mechanical and Structural Vibration目录Mechanical and Structural Vibration Mechanical and Structural Vibration单自由度系统单自由度系统的的典型的单自由度系统典型的单自由度系统: :弹簧弹簧- -质量系统质量系统 梁上固定一台电动机，当电机沿铅直梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方向振动时，可视为集中质量。如不方向振动时，可视为集中质量。如不计梁的质量，则相当于一根无重弹簧，计梁的质量，则相当于一根无重弹簧，

5、系统简化成弹簧系统简化成弹簧- -质量系统质量系统 Mechanical and Structural Vibration1.1.1 自由振动方程自由振动方程)(ddst22xkmgtxm当物块偏离平衡位置为当物块偏离平衡位置为x距离时，物块的距离时，物块的运动微分方程为运动微分方程为 0dd222xptxn其中mkpn 取物块的静平衡位置为坐标原点取物块的静平衡位置为坐标原点O，x轴轴顺弹簧变形方向铅直向下为正。当物块顺弹簧变形方向铅直向下为正。当物块在静平衡位置时，由平衡条件，得到在静平衡位置时，由平衡条件，得到stkmg 无阻尼自由振动微分方程无阻尼自由振动微分方程 弹簧的静变形弹簧的静

6、变形固有圆频率固有圆频率Mechanical and Structural Vibration其通解其通解为：为：tpCtpCxnnsincos2101xC tppvtpxxnnnsincos00npvC02其中其中C1和和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设t=0时，时， 可解可解00vvxx，1.1.1 自由振动方程自由振动方程Mechanical and Structural Vibration)sin( tpAxn)(arctg)(002020vxppvxAnn两种形式描述的物两种形式描述的物块振动，称为无阻块振动，称为无阻尼自由振动，简

7、称尼自由振动，简称自由振动。自由振动。 无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的简谐振动简谐振动 初相位角 振 幅1.1.1 自由振动方程自由振动方程Mechanical and Structural Vibration1.1.2 振幅、初相位和频率振幅、初相位和频率系统振动的周期系统振动的周期kmpTn22 系统振动的频率系统振动的频率mkpTfn221 系统振动的圆频率为系统振动的圆频率为fpn2 圆频率圆频率pn 是物块在自由振动中每是物块在自由振动中每2 秒内振动的次数。秒内振动的次数。f、 pn只与振动系统的弹簧常量只与振动系统的弹簧常

8、量k和物块的质量和物块的质量 m 有关，有关，而与运动的初始条件无关。因此，通常将频率而与运动的初始条件无关。因此，通常将频率f 称为称为固有频率，圆频率固有频率，圆频率pn称为固有圆频率。称为固有圆频率。 Mechanical and Structural Vibration用弹簧静变形量用弹簧静变形量 st表示固有圆频率的计算公式表示固有圆频率的计算公式 物块静平衡位置时物块静平衡位置时stkmg mkpn 固有圆频率固有圆频率stgpn stmgk 1.1.2 振幅、初相位和频率振幅、初相位和频率Mechanical and Structural Vibration1.1.3 等效刚度系

9、数等效刚度系数0ddeq22eqqktqm0dd22kxtxm加加的的力力或或力力矩矩。需需要要在在这这一一坐坐标标方方向向施施位位移移，广广义义坐坐标标方方向向产产生生单单位位等等效效刚刚度度：使使系系统统在在eqk向向施施加加的的力力或或力力矩矩。度度，需需要要在在这这一一坐坐标标方方加加速速广广义义坐坐标标方方向向产产生生单单位位等等效效质质量量：使使系系统统在在eqmMechanical and Structural Vibration例例 在图中，已知物块的质量为在图中，已知物块的质量为m，弹簧的弹簧刚度系数分别为，弹簧的弹簧刚度系数分别为k1、k2，分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动

10、系统的固有频率。，分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。 解：（解：（1）并联情况。弹簧并联的特征是：）并联情况。弹簧并联的特征是：二弹簧变形相等二弹簧变形相等。 振动过程中，物块始终作平行移动。处振动过程中，物块始终作平行移动。处于平衡位置时，两根弹簧的静变形都是于平衡位置时，两根弹簧的静变形都是 st，而弹性力分别是，而弹性力分别是 st11kF st22kF 系统平衡方程是系统平衡方程是0 xFst2121)(kkFFmg1.1.3 等效刚度系数等效刚度系数Mechanical and Structural Vibration如果用一根弹簧刚度系数为如果用一根弹簧刚度系数为k的

11、弹簧来代替原来的两根弹簧，的弹簧来代替原来的两根弹簧，使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等，则使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等，则 stkmg 21kkkst2121)(kkFFmgk称为称为并联弹簧的等效并联弹簧的等效刚度系数。刚度系数。并联后的等效弹簧刚并联后的等效弹簧刚度系数是各并联弹簧度系数是各并联弹簧刚度系数的算术和。刚度系数的算术和。系统的固有频率系统的固有频率mkkmkf2121211.1.3 等效刚度系数等效刚度系数Mechanical and Structural Vibration（2）串联情况。串联弹簧的特征是：）串联情况。串联弹簧的特征是：二

12、二弹簧受力相等弹簧受力相等。 当物块在静平衡位置时，它的静位移st等于每根弹簧的静变形之和，即 st = 1st + 2st 由于每根弹簧所受的拉力都等于由于每根弹簧所受的拉力都等于重力重力mg，故它们的静变形分别为，故它们的静变形分别为1st1kmg2st2kmg如果用一根弹簧刚度系数为如果用一根弹簧刚度系数为 k 的弹的弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧的静变形等于的静变形等于kmgst1.1.3 等效刚度系数等效刚度系数Mechanical and Structural Vibration如果用一根弹簧刚度系数为如果用一根弹簧刚度系数为k 的弹簧来代替原来的的

13、弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧的静变形等于两根弹簧，此弹簧的静变形等于kmgst21111kkkkk kkk1212k称为串联弹簧的等效刚度系数称为串联弹簧的等效刚度系数1st1kmg2st2kmg串联后的弹簧刚度系数的倒数等于串联后的弹簧刚度系数的倒数等于各串联弹簧刚度系数倒数的算术和各串联弹簧刚度系数倒数的算术和)(21212121kkmkkmkf1.1.3 等效刚度系数等效刚度系数Mechanical and Structural Vibration例例 质量为质量为m的物块悬挂如图所示。设杆的物块悬挂如图所示。设杆AB的质量不计，两弹的质量不计，两弹簧的弹簧刚度系数分别为簧的弹簧刚度

14、系数分别为k1和和k2,又又AC=a，AB=b，求物块的自，求物块的自由振动频率。由振动频率。 解解：将各弹簧的刚度系数按：将各弹簧的刚度系数按静力等效的原则，折算到质静力等效的原则，折算到质量所在处。量所在处。 先将刚度系数先将刚度系数k2换算至质换算至质量量m所在处所在处C的等效刚度系的等效刚度系数数k 。C1.1.3 等效刚度系数等效刚度系数Mechanical and Structural Vibration先将刚度系数先将刚度系数k2换算至质量换算至质量m所在处所在处C的等效刚度系数的等效刚度系数k 。C设在设在C处作用一力处作用一力F，按静力平衡的，按静力平衡的关系，作用在关系，作

15、用在B处的力为处的力为bFa此力使此力使B B 弹簧弹簧 k2 产生产生 变形，变形，222bkFabac而此变形使而此变形使C点发生的变形为点发生的变形为 得到作用在得到作用在C处而与处而与k2弹簧等效的刚度系数弹簧等效的刚度系数 222abkFkc1.1.3 等效刚度系数等效刚度系数Mechanical and Structural VibrationC222abkFkc物块的自由振动频率为物块的自由振动频率为)(221221kbkamkkbmkpn 与弹簧k1串联221222122212221kbkabkkabkkabkkk得系统的等效刚度系数得系统的等效刚度系数1.1.3 等效刚度系数

16、等效刚度系数Mechanical and Structural Vibration例例 一个质量为一个质量为m的物块从的物块从 h 的高的高处自由落下，与一根抗弯刚度为处自由落下，与一根抗弯刚度为EI、长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁的质量，求该系统自由振动的频率。的质量，求该系统自由振动的频率。 st21gf 1.1.3 等效刚度系数等效刚度系数解解：当梁的质量可以略去不计时，梁可以用一根弹簧：当梁的质量可以略去不计时，梁可以用一根弹簧来代替，于是这个系统简化成弹簧来代替，于是这个系统简化成弹簧质量系统。如果质量系统。如果知道系统的静变形知道系统的静变形 则求出系

17、统的固有频率则求出系统的固有频率 stMechanical and Structural Vibration由材料力学可知，简支梁受集由材料力学可知，简支梁受集中载荷作用，其中点静挠度为中载荷作用，其中点静挠度为EImgl483st求出系统的固有频率为求出系统的固有频率为34821mlEIf 中央受集中载荷的简支梁的等效弹簧刚度系数为中央受集中载荷的简支梁的等效弹簧刚度系数为348lEIk 1.1.3 等效刚度系数等效刚度系数Mechanical and Structural Vibration1.1.4 扭转振动扭转振动内燃机的曲轴、轮船的传动轴等，在运内燃机的曲轴、轮船的传动轴等，在运转中

18、常常产生扭转振动，简称扭振。转中常常产生扭转振动，简称扭振。 扭振系统称为扭振系统称为扭摆扭摆。OA 为一铅直圆轴，圆盘对其转动惯量为为一铅直圆轴，圆盘对其转动惯量为IO。在研究扭摆的运动规律时，假定在研究扭摆的运动规律时，假定OA的质量略的质量略去不计，圆盘的位置可由圆盘上任一根半径去不计，圆盘的位置可由圆盘上任一根半径线和该线的静止位置之间的夹角线和该线的静止位置之间的夹角 来决定，来决定，称称扭角扭角。圆轴的抗扭刚度系数为圆轴的抗扭刚度系数为kn，表示使，表示使圆盘产生单位扭角所需的力矩。圆盘产生单位扭角所需的力矩。Mechanical and Structural Vibration根

19、据刚体转动微分方程建立该系统的运动微分方程根据刚体转动微分方程建立该系统的运动微分方程nOktI22dd扭振的运动规律扭振的运动规律tpptpnnnsincos00对于单自由度振动系统来说，尽管前述直线振动和对于单自由度振动系统来说，尽管前述直线振动和当前扭振的结构形式和振动形式均不一样，但其振当前扭振的结构形式和振动形式均不一样，但其振动规律、特征是完全相同的。动规律、特征是完全相同的。 0dd222nptOnnIkp 固有圆频率固有圆频率1.1.4 扭转振动扭转振动Mechanical and Structural Vibration图图 (a)所示为扭振系统两个轴并联的情况；图所示为扭振

20、系统两个轴并联的情况；图(b)为两为两轴串联的情况；图轴串联的情况；图(c)则为进一步简化的等效系统。则为进一步简化的等效系统。2121nnnnnkkkkk并联轴系的等效刚度系数并联轴系的等效刚度系数21nnnkkk串联轴系的等效刚度系数串联轴系的等效刚度系数1.1.4 扭转振动扭转振动Mechanical and Structural Vibration Mechanical and Structural Vibration计算固有频率的能量法的理论基础是机械能守恒定律。计算固有频率的能量法的理论基础是机械能守恒定律。 无阻尼单自由振动系统中，势能与动能之和保持不变。无阻尼单自由振动系统中，

21、势能与动能之和保持不变。VT常量式中式中T是动能，是动能，V是势能。如果取平衡是势能。如果取平衡位置位置O为势能的零点，系统在任一位置为势能的零点，系统在任一位置2221dd21kxVtxmTMechanical and Structural Vibration当系统在平衡位置时，当系统在平衡位置时，x=0,速度为最大，势能为零，速度为最大，势能为零，动能具有最大值动能具有最大值Tmax；当系统在最大偏离位置时，速度为零，动能为零，而当系统在最大偏离位置时，速度为零，动能为零，而势能具有最大值势能具有最大值Vmax。由于系统的机械能守恒由于系统的机械能守恒 maxmaxVT用能量法计算固有频率

22、的公式用能量法计算固有频率的公式 Mechanical and Structural Vibration例例 船舶振动记录仪的原理图如图所示。重物船舶振动记录仪的原理图如图所示。重物P连同杆连同杆BD对于对于支点支点B的转动惯量为的转动惯量为IE ,求重物求重物P在铅直方向的振动频率。已知在铅直方向的振动频率。已知弹簧弹簧AC的弹簧刚度系数是的弹簧刚度系数是k。 解解： 这是单自由度的振动系统。这是单自由度的振动系统。系统的位置可由杆系统的位置可由杆BD自水平的平自水平的平衡位置量起的衡位置量起的 角来决定。角来决定。221BI系统的动能系统的动能设系统作简谐振动，则其运动方程设系统作简谐振动

23、，则其运动方程)sin( tpn角速度为角速度为)cos(ddtpptnn222maxmax2121nBBpIIT系统的最大动能为系统的最大动能为Mechanical and Structural Vibration如取平衡位置为系统的势能零点。设在平衡位置时，弹簧的伸如取平衡位置为系统的势能零点。设在平衡位置时，弹簧的伸长量为长量为dst 。此时，弹性力。此时，弹性力Fst=kdst ,方向向上。方向向上。 0)(FBm0s PlbFt0s Plbkt该系统的势能该系统的势能)(21)(21st222st2stPlkbkbPlbkV2221kbV 222max2max2121kbkbV222

24、22121kbpInB BIkbp2n Mechanical and Structural Vibration Mechanical and Structural Vibration利用能量法，将弹簧的分布质量的动能计入系统的总动能，仍利用能量法，将弹簧的分布质量的动能计入系统的总动能，仍按单自由度系统求固有频率的近似方法，称为按单自由度系统求固有频率的近似方法，称为瑞利法瑞利法。应用瑞利法，首先应假定系统的振动位形。应用瑞利法，首先应假定系统的振动位形。2eqsdd21txmT 等效质量等效质量 l对于图示系统，假设弹簧上各点在振动过程中任一瞬时的位对于图示系统，假设弹簧上各点在振动过程中任

25、一瞬时的位移与一根等直弹性杆在一端固定另一端受轴向力作用下各截移与一根等直弹性杆在一端固定另一端受轴向力作用下各截面的静变形一样。面的静变形一样。根据胡克定律，各截面的静变形与离固定端的距离成正比。根据胡克定律，各截面的静变形与离固定端的距离成正比。依据此假设计算弹簧的动能，并表示为集中质量的动能为依据此假设计算弹簧的动能，并表示为集中质量的动能为Mechanical and Structural Vibration例例 在图示系统中，弹簧长在图示系统中，弹簧长l，其质量，其质量ms。求弹簧的等效质量。求弹簧的等效质量及系统的固有频率。及系统的固有频率。左端距离为左端距离为 的截面的位移为的截

26、面的位移为 ，则则d 弹簧的动能为弹簧的动能为xl2sddd21dtxllmTsl d 解解：令：令x表示弹簧右端的位移，也是质表示弹簧右端的位移，也是质量量m的位移。的位移。Mechanical and Structural Vibration弹簧的总动能弹簧的总动能2ss0sdd321dtxmTTl2s2s2dd321dd321dd21txmmtxmtxmT系统的总动能为系统的总动能为seq31mm系统的势能为系统的势能为221kxV 固有频率为固有频率为3snmmkp)cos(ntpAx设设maxmaxVTl d Mechanical and Structural Vibration M

27、echanical and Structural VibrationtxcFddc它与物体的形状、尺寸及介质的性质有关，单位是牛顿米/秒(Ns/m)。 Mechanical and Structural Vibration运动微分方程运动微分方程 图示为一有阻尼的弹簧图示为一有阻尼的弹簧-质量系统的简化模质量系统的简化模型。以静平衡位置型。以静平衡位置O为坐标原点，选为坐标原点，选x轴铅直轴铅直向下为正，有阻尼的自由振动微分方程向下为正，有阻尼的自由振动微分方程 kxtxctxmdddd220dd2dd222xptxntxn0222 npnrr 222221nnpnnrpnnrmkpn 22n

28、cm衰减系数，单位1/秒(1/s) rtex Mechanical and Structural Vibration1.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 22npnnr )ee(e222221tpntpnntnnCCx nrr21)(e21tCCxnt 222221nnpnnrpnnr运动微分方程运动微分方程 0dd2dd222xptxntxnMechanical and Structural Vibration1.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 临界情形是从衰减振动过渡到非周期运动的临界状临界情形是从衰减振动过渡到非周期运动的临界状态。这时系统的阻尼系数是表

29、征运动规律在性质上态。这时系统的阻尼系数是表征运动规律在性质上发生变化的重要临界值。发生变化的重要临界值。设设cc为为临界阻尼系数临界阻尼系数，由于，由于z z =n/pn =1，即，即kmmpnmcnc222 z z 阻尼系数与临界阻尼系数的比值，是阻尼系数与临界阻尼系数的比值，是z z 称为阻尼比的原因。称为阻尼比的原因。 z nncpnmpnmcc22cc只取决于系统本身的质量与弹性常量。由只取决于系统本身的质量与弹性常量。由Mechanical and Structural Vibration1.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 tntnCCx21-2-1ee1zznn

30、ppr npn zz1z1Otxnrr21)(e21tCCxntMechanical and Structural Vibration1.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 dnpprj z（npn） dndnpnnpnrpnnpnrjjjj222221。，221jnppnd )sincos(e21tpCtpCxddnt 其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设t = 0时， 可解00vvxx，dpvnxC002C1=x0 Mechanical and Structural Vibration1.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 000220020t

31、an)(nxvpxpnxvxAdd)sin(e tpAxdnt初相位角 振 幅阻尼振动振幅；ntAe 这种情形下，自由振动不是等幅简谐振动，是按负指数衰减的这种情形下，自由振动不是等幅简谐振动，是按负指数衰减的衰减运动。衰减运动的频率为衰减运动。衰减运动的频率为 p d，衰减速度取决于衰减速度取决于 zp n，二者分二者分别为本征值的虚部和实部。别为本征值的虚部和实部。Mechanical and Structural Vibration1.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 衰减振动:物块在平衡位置附近作具有振动性质的往复运动，但它的振幅不是常数，随时间的推延而衰减。有阻尼的自由振动视为准周期振动。 )sin(e tpAxdntMechanical and Structural Vibration2222111 ()ddnnTTppnpzT=2 /pn为无阻尼自由振动的周期。为无阻尼自由振动的周期。欠阻尼自由振动的周期欠阻尼自由振动的周期Td ：物体由最大偏离位置起经过物体由最大偏离位置起经过一次振动循环又到达另一最大偏离位置所经过的时间。一次振动循环又到达另一最大偏离位置所经过的时间。由于阻尼的存在，使衰减振动的周期加大。通常由于阻尼的存在，使衰减振动的周期加