定积分的简单应用教案

1、教案1.7 定积分的简单应用课型：新授课总课时：课 题教师课时第1. 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；2. 让学生了解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；学习目标初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；3.4.体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。教学重难点重点曲边梯形面积的求法难点定积分求体积以及在物理中应用备课札记教学过程：1、复习1. 求曲边梯形的思想方法是什么？2. 定积分的几何意义是什么？3. 微积分基本定理是什么？2、定积分的应用（一）利用定积分求平面图形的面积例 1 计算由两条抛物线y2x 和 yx2 所

2、围成的图形的面积.【分析】 两条抛物线所围成的图形的面积， 可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。解：yx0及 x1，所以两曲线的交点为yxx2（ 0， 0）、（ 1， 1），面积 S=1xdx1yxx2dx ，所以B010S =122x23x31Cy x20 (x - x)dx3=330DA【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：O1. 作图象； 2. 求交点； 3. 用定积分表示所求的面积； 4.微积分基本定理求定积分。巩固练习计算由曲线 yx36x 和 yx2 所围成的图形的面积 .例 2 计算由直线 y x4 ，曲线 y2x 以及 x 轴所围图形的面积S.分析： 首先

3、画出草图（图1.7 一 2)，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题与例1不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S1 和S2为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线yx4 与曲线y2x的交点的横坐标，直线yx4与x轴的交点解：作出直线yx4 ，曲线 y2x 的草图，所求面积为图1. 7一 2 阴影部分的面积解方程组y2x ,yx4得直线 yx4 与曲线 y2x 的交点的坐标为（ 8,4) .直线 y x4与 x 轴的交点为（ 4,0).因此，所求图形的面积为S=S1+S2482xdx84) dx2xdx 4(x04331 ( x 4)2 |8440 .2 2 x 2 |

4、042 2 x 2 |483323由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限例 3. 求曲线 ysin xx 0, 2 与直线 x0, x2, x 轴所围成的图形面33积。223答案： S 3sin xdxcosx |o302练习1、求直线 y2 x3 与抛物线 yx 2 所围成的图形面积。3x3) |31 32答案： S （2 x3x 2 )dx （x 23x133y2、求由抛物线y x24x3 及其在点（ ，）M 03和 N（ 3， 0）处的两条切线所围成的图形的面积。略解：y /2 x4 ，切线方程分别为y4

5、 x3 、ox2y 2x6 ，则所求图形的面积为y=x +4x-333)( x 24x3)dx3 (2x6) ( x 24x 3)dx 9S 2 ( 4 x3024、求曲线ylog 2x 与曲线 ylog 2 (4 x)以及 x 轴所围成的图形面积。3略解： 所求图形的面积为1f ( y)dy1S 【g( y)(4 2 2 y )dy00（4y22 y log 2 e) |014 2log 2 e4、在曲线 yx 2 ( x0) 上的某点 A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为1. 试求：切点 A 的坐标以及切线方程 .x212y=x略解： 如图由题可设切点坐标为 （x0 , x02

6、 ) ，则切线方程A为 y2x0 xx02 ，切线与 x 轴的交点坐标为O B Cxx0x 02x02231,0) ，则由题可知有S2 xdx2 x0 xx0(x0 ( xx0)dx2021212x01 ，所以切点坐标与切线方程分别为A (1,1), y2x1总结： 1、定积分的几何意义是：在区间 a, b上的曲线 yf ( x)与直线 xa 、x bx轴所围成的图形的面积的代数和，即bxx以及f ( x) dx S轴上方 S 轴下方 .a因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要特别注意图形面积与定积分不一定相等，如函数 y sin xx ,2 的图像与 x 轴围成的图形的面积为4, 而其定积分为 0.2、求曲边梯形面积的方法与步骤：（ 1） 画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；（ 2） 对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；（ 3） 确定被积函数；（ 4） 求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。课堂小结本节课主要学习了利用定积分求一些曲