复数中的方程问题

1、精品资料欢迎下载复数中的方程问题（教师版）【知识梳理】1.一元二次方程 ax2bx c 0( a, b, cR, a0)(1)0方程有两个不相等的实数根x1,2bb24ac2a;(2)0方程有两个不相等的实数根x1,2b;2a(3)0方程有两个共轭虚根 x1,2b4acb2 i.2a注: 实系数一元二次方程的跟只可能是两个都是实数根或两个共轭虚根;解实系数一元二次方程,首先要判断的符号 ,以确定跟的情况 .2.实系数一元二次方程跟与系数的关系: 方程 ax2bx c0(a,b,cR, a0) 的两根为x1x2bax1, x2C ,则()cx1 x2a注: x1, x2R 时 ()式成立 , x

2、1 , x2为虚数时 ()式也成立 ;若 x1 为虚数 , 则 x2x1 ,且 x1x22Re x1b ; x1x2| x1 |2caa【基础练习】1.在复数集内 ,方程 x22x30 的解集为 _12i ,12i _.2. 32i是方程2x2bxc0( b, cR)的一个根,_26_.若则 c 等于2.2x28x t10( tR)的一个虚根的模为5 ,=_9_.方程则 t3.方程 3x26( m1)xm210 的两个根均为虚数,且两个根的模之和为2,则实数 m 的值为 _2 _.4.若实系数一元二次方程的根为x113i, x213i ,则这个方程为 (B )A. x22x 2 0 B. x2

3、2x 4 0 C. x22x 2 0 D. x22x 4 0精品资料欢迎下载5.方程 x45x260 在复数集内的根的个数为 (C)A.2B.3C. 4D.56.在复数集内分解因式: 2x2x 3123i123i_._ 2( x4)( x)4【例题解析】例 1. 在复数集中解方程：(1)2x23x40;(2) x2mx40 ( mR)分析解实系数一元二次方程要首先计算判别式，以确定根的情况解 (1)b24ac230 ，所以该方程有一对共轭虚根，所以方程的根为：x1323 i , x2323 i 4444(2)m216 ，当0时，即 m4 或 m4 时， x1,2mm2162；当0时，即 m4，

4、若 m4, x2 ；若 m4, x 2 ；当0时，即 4m4时， x1,2m16m2i 22例 2. 已知,是实系数一元二次方程ax2bxc0 的两个虚根，且分析实系数一元二次方程的两个虚根共轭，又zRzz 解,是实系数一元二次方程ax 2bxc0 的两个虚根，2222233 ,)3又因为R, (),(1,所以 () 是 1的立方根，又13,i 222R，求, 例 3. 已知方程x2px10 （ pR ）的两根为x1， x2 ，若 | x1x2 | 1，求实数p 的值.解：（1）当p 24 0 ，即 p2或 p2 时， x1pp 24, x2pp2422则 | x1 x2 |p24 ，由 p

5、24 1p5精品资料欢迎下载（2）当p24 0 ，即 2 p2 时， x1p 4 p 2 i , x2p4 p 2 i22则 | x1 x2 |4 p 2 ，由 4 p 21 p3综上 p5或3 。例 4.已知 tR 且关于 x 的方程 x22xt0 的两个根分别为,，求|分析在求| |的表达式时，方程的根,是实数还是虚数，在变形时方法完全不同所以很有必要区分,是实根还是虚根，即对t 分类讨论解44t,2,t 当0即t时，,R ，| | |(| |)2222 |1()222 |4 2t 2 | t |2(0t1),2 1t(t0).当0即t1,为一对共轭虚根，,| |时，|2，则 |t ,|

6、| 2 t 2(0t1),综上可知：| |21 t(t0),2t(t1).例 5. 已知关于 x 的方程 x2(12i )x(3m1)i0 有实根，求纯虚数m 的值分析 关于虚系数一元二次方程求实根，我们所掌握的工具只有方程根的概念。即方程的根满足该方程，所以可将实数根代入方程，用复数相等来解题解 设实数根为 x0 ，又设 mbi (b 0, b R) ，代入原方程整理，得：( x02x03b)(2 x01)i0, x0 ,bR ，由复数相等的定义，得x02x03b0,解方程组，得1,b112 x010.x0， mi 。21212【变式】有关于x 的一元二次方程x2(tani ) x(i2)0

7、 (R, xC )（ 1） 若此方程有一实数根，求锐角的值；（ 2） 求证：对任意的实数，原方程不可能有纯虚数根 .精品资料欢迎下载解：（ 1）设原方程的实数根为x ，则 x 2(tani )x(i2)0 ，即x 2xtan20x10，解得 x1, tan1；4（ 2）假设0 （0R ）时，原方程有纯虚数根bi （ b0 ），代入原方程，得b22b(b tanb 22 b001)i 0 ，从而有，该方程组无解，得证。b tan 010【巩固练习】1. kR ,方程 x2(k3i ) x4k0 一定有实数根的充要条件是(D)A. | k | 4 B. k 2 2 5 或 k 2 2 5 C. k

8、3 2 D. k42.的方程x2pxq0 ,下列说法正确的是(C )对关于 xA. 若方程有实根 ,则 p24q 为非负实数 ;B.若虚数 z0 为方程的一个根 ,则 z0 为方程的另一个根 ;C.若方程有两个实数根,则 p, q都不是虚数 ;D.若 p, q 为虚数 ,则方程两根均为虚数;3.方程 (2i ) x2(5i ) x (22i )0 的实数解为 _2_.4.已知,为方程 x2x 1 0 的解 ,则20002000_-1_.5x 的方程x2ax40( aR)。解关于解：当 a4 或 a4 时 x1 (aa216) ；当4a4时 x1 (a16 a2 i)226.3x221 02,m

9、 的值.设关于 x的方程的两根的模的和为求实数解：当0时，即 m35 或 m35 时，方程有二实根，2221x1 x2m0 ， | x1 | | x2 | | x1x2 |2 ；3即 | 2( m1) |2m0 或 m2 （舍去）；当0时，即 325m35 时，方程有两共轭虚根，221| x1 | x2 |2 | x1 |221mm2 或 m2（舍去）；| x1 | 1 ， x1 x2 | x1 |3精品资料欢迎下载综上所述， m0 或2 。7.已知复数za (a 1)i, i 为虚数单位且 aR ,求 | z |的取值范围 .解： | z |a2a 1,a R ，a a1 4,) ，23|

10、z | 3) 。,28.已知 c2 ,设 P : 方程 x26xc0 有虚数根; Q : 不等式| x2 | xc |2 对一切x R 恒 成 立 . 如 果 两 个 命 题 P,Q 中 有 且 只 有 一 个 是 正 确 的 , 求 c 的 范 围 .(4,99. 设 a0 ，在复数集中解方程z22 z a 。解一：设 zxyi ，（ x, yR ）x2y 22 x 2y 22xyiax0或y0，x 2y 22 x 2y2x2y 22 x 2y 2aa解得x0或y0。y(11 a )x( 11 a )所以方程解为z(11a) 或 z(11a )i解二： z 22 zaR ，z 为实数或纯虚数。（1）若 zR ，则原方程化为| z |22 z a 0 ，z( 11 a )（2）若 z 为纯虚数，设zyi ( yR, y0) ，22 ya0