北师大版九年级下第一章直角三角形的边角关系同步复习

1、第一章直角三角形边的关系v 知识点一：锐角三角函数一、正切定义：在RtABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA，即;tanA是一个完整的符号，它表示A的正切，记号里习惯省去角的符号“”；tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中A的对边与邻边的比；tanA不表示“tan”乘以“A”；初中阶段，我们只学习直角三角形中，A是锐角的正切；tanA的值越大，梯子越陡，A越大； A越大，梯子越陡，tanA的值越大。二、正弦定义：在RtABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即；三、余弦定义：在RtABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA，即；

2、四、余切定义：在RtABC中，锐角A的邻边与对边的比叫做A的余切，记作cotA，即；注意：一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。例1在中，求，的值。变式练习：在中，求的值。例2如图，在中，是边上的高，。（1）求证：；（2）若，求的长。变式练习：（1）（2014·重庆）如图，中，垂足是，若，求的值。（2）（2014·宁夏）如图，在中，是边上的高，求的长。能力提高：（1）已知，且为锐角，则的值为。（2）如图，已知菱形的边长为10，则这个菱形的面积是。（3）如图，小明将一张矩形纸片沿折叠，点恰好落在边上，设此点为。若，则的值为。（4）在中，过边

3、上一点作于，于，、是垂足，则的最小值等于。（5）如图在中，已知为边上一点，则=。（6）（2014·上海）如图，已知中，是斜边上的中线，过点作，分别与、相交于点、，。（1）求的值；（2）如果，求的值。（7）（2013·深圳）如图，已知，相邻两条平行线间的距离相等，若等腰直角的三个顶点分别在这三条平行线上，求的值。（8）（2009·重庆）如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别与轴交于点，与反比例函数的图象分别交于点，轴于点。，。（1）求该反比例函数的解析式；（2）求直线的解析式。探究拓展：在中，若、的对边分别是。（1）若，根据三角函数的定义证明：；（2）证明：；（3）

4、根据上面的两个结论解答：若，求的值；若，求的值。v 知识点二：30°，45°，60°角的三角函数值及计算题一、三角函数值参照表0º30 º45 º60 º90 º01100110二、余函数通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数，用等式表达：若A为锐角，则：； ； 三、三角函数值的变化规律（1）当（为锐角）时，（或）随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）。（2）当（为锐角）时，（或）随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。例1计算下列各题

5、：（1）（2）已知，求：变式练习：计算下列各题：（1）（2）例2在中，若（，均为锐角），判断的形状。变式练习：（2014·攀枝花）在中，如果，满足，那么=。能力提高：（1）已知，且，以、为边组成的三角形面积等于。（2）如图，在直角坐标平面内，为原点，点的坐标为（10，0），点在第一象限内，求：点的坐标；的值。（3）某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用给生命探测仪在地面两个探测点测到处有生命迹象。如图，已知两点相距4幂，探测线与地面的夹角分别为30°和45°，试确定生命所在点的深度（精确到0.1米，参考数据：，）。（4）（2013·

6、;南京）已知不等臂跷跷板长4，如图，当的一端碰到地面时，与地面的夹角为；如图当的另一端碰到地面时，与地面的夹角为，求跷跷板的支撑点到地面的高度（用含的式子表示）。（5）如图，在山脚测得山顶的仰角为45°，沿着倾斜角为30°的斜坡前进300米到达处，在处测得山顶的仰角为60°，求山高（结果保留根号）。（6）（2014·内江）“马航事件”的发生引起了我国政府的高度重视，迅速派出了舰船和飞机到相关海域进行搜寻。如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机观测到在点俯角为30°方向的点处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止）。为了便于观察，飞机继续向前飞行了

7、800米到达点，此时测得点在点俯角为45°的方向上，请你计算当飞机飞临点的正上方点时（点在同一直线上），竖直高度约为多少米？（结果保留整数，参考数值：）（7）计算下列各式的值：（2013·黄石）（2015·成都）探究拓展：如图所示，已知边长为2的正三角形沿直线滚动，当滚动一周时，到的位置。设滚定240°时，点的位置为，滚动480°时，点的位置为，请你利用三角函数中正切的两角和公式，求出的度数。v 知识点三：解直角三角形及三角函数的应用1、在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知

8、元素的过程，叫做解直角三角形。2、利用特殊角的三角函数值表，可以看出：（1） 当角度在0°90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。（2） ，。3、同角的三角函数间的关系：倒数关系：商的关系：，平方关系：4、在ABC中，C为直角，A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有（1）三边之间的关系：；（2）两锐角的关系：；（3）边与角之间的关系：（4）面积公式:(为C边上的高)；（5）直角三角形的内切圆半径（6）直角三角形的外接圆半径解直角三角形的几种基本类型已知条件解法两条边两条直角边和，两条直

9、角边和斜边，一条边和一个锐角两条直角边和锐角，斜边和锐角，有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，化斜为直。例1在中，为直角，的平分线，试解此三角形。变式练习：在中，求的长和的值。例2（2015·湖北）如图，AD是ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=求：（1）BC的长；（2）sinADC的值变式练习：（2014·重庆）如图，在ABC中，CDAB，垂足为D若AB=12，CD=6，tanA=，求sinB+cosB的值例3（2005·烟台）如图，ABC中，ACB=90°，B=30°，AC=1，过点C作CD1AB于D1，过点D1作D1D2BC于D2，过点

10、D2作D2D3AB于D3，这样继续作下去，线段DnDn+1（n为正整数）等于（）ABCD变式练习：（2009·乐山）如图，AOB=30°，过OA上到点O的距离为1，3，5，7，的点作OA的垂线，分别与OB相交，得到如图所示的阴影梯形，它们的面积依次记为S1，S2，S3，则：（1）S1=；（2）通过计算可得S2009=图25、方位角与方向角图3从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图2，OA、OB、OC的方位角分别为45°、135°、225°。指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4

11、，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。例4如图，海岛四周30海里内是暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在处见岛在北偏西60°，航行20海里后到处，见岛在北偏西45°，货轮继续向西航行，有无触礁危险？变式练习：（2014·十堰）如图，轮船在处观测灯塔位于北偏西70°方向上，轮船从处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头处，此时，观测灯塔位于北偏西25°方向上，则灯塔与码头的距离是海里。（结果精确到个位，

12、参考数据：，）6、坡度hi=h:llABC如图，坡面与水平面的夹角叫做坡角 (或叫做坡比)。用字母表示，即例5（2015·淄博模拟）如图，有一段斜坡长为10米，坡角，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°（1）求坡高；（2）求斜坡新起点到原起点的距离（精确到0.1米）参考数据：sin12°0.21，cos12°0.98，tan5°0.09变式练习：（2013·眉山）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形）急需加固经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：

13、背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比（1）求加固后坝底增加的宽度；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）v 知识点四：利用三角函数测高1、当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角。2、当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角。例6（2014·青岛）如图，小明想测山高和索道的长度。他在处仰望山顶，测得仰角，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角。（1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；（2）求索道的长（结果精确到0.1m）（参考数据：，）变式练习：（2013·

14、营口）如图，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得该建筑物顶点A的仰角为45°已知BC=90米，且B、C、D在同一条直线上，山坡坡度为（即tanPCD=）（1）求该建筑物的高度（即AB的长）（2）求此人所在位置点P的铅直高度（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）课堂练习：一选择题（共2小题）1（2013·攀枝花模拟）如图，ABC中，A=30°，AC=，则AB的长为（）ABC5D2（2015·衡阳）如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再

15、向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）A50B51C50+1D101二填空题（共4小题）3（2015·黄冈中学自主招生）如图，在菱形ABCD中，AEBC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是4（2010·天津）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD=BE，AE与CD交于点F，AGCD于点G，则的值为5（2010·济宁）如图，是一张宽m的矩形台球桌ABCD，一球从点M（点M在长边CD上）出发沿虚线MN射向边BC，然后

16、反弹到边AB上的P点，如果MC=n，CMN=，那么P点与B点的距离为6（2013·十堰）如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为米三解答题（共3小题）7（2014·上海）如图，已知RtABC中，ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AECD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH（1）求sinB的值；（2）如果CD=，求BE的值8（2011·阳江模拟）如

17、图1，四边形ABCD是正方形，点E和点F分别在CD和DA上，且CBF=EFB（1）小方同学发现，当E为CD的中点时，tanABF=，当DE=CD时，tanABF=，当DE=CD时，tanABF=，那么当DE=CD时，tanABF=（2）如图2，当DE=CD时，tanABF=证明你的猜测的正确性9（2016·贵阳模拟）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA=100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i=1:2，且O、A、B在同一条直线上求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度（测倾器高度

18、忽略不计，结果保留根号形式）课后作业：1（2014·连云港）如图，若ABC和DEF的面积分别为S1、S2，则（）AS1=S2BS1=S2CS1=S2DS1=S22（2015·荆门）如图，在ABC中，BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DEBC于点E，连接BD，则tanDBC的值为（）AB1C2D3（2013·十堰模拟）如图所示，某人在D处测得山顶C的仰角为30°，向前走200米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度i=1：0.5，则山的高度为米4（2014·南昌）在RtABC中，A=90°，有一个锐角为60°

19、，BC=6若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且ABP=30°，则CP的长为5（2015·上海）已知在ABC中，AB=AC=8，BAC=30°，将ABC绕点A旋转，使点B落在原ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于6（2013·常德）如图，在ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，C=45°，sinB=，AD=1（1）求BC的长；（2）求tanDAE的值7（2014·兰州）如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，