常系数非齐次线性微分方程

1、精选课件精选课件1常系数非齐次线性微分方程 第八节第八节型)()(xPexfmxxxPexflxcos)()(型sin)(xxPn一、一、 第七章 精选课件精选课件2)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程, 0 qyypy通解结构通解结构*,yYy 常见类型常见类型( )( ),xmf xPx e 难点：难点：如何求特解？如何求特解？方法：方法：待定系数法待定系数法.( )( )cos( )sinxlnf xeP xxP xx 精选课件精选课件3设非齐方程特解为设非齐方程特解为*( )xyQ x e 代入原方程代入原方程)()()()()2

2、()(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(, 02 qp ),()(xQxQm 可可设设是特征方程的单根，是特征方程的单根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ),()(xxQxQm 可可设设*( );xmyQx e *( );xmyxQx e 一、 型)()(xPexfmx )(xfqyypy 精选课件精选课件4是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若 )3(, 02 qp , 02 p ),()(2xQxxQm 可设可设综上讨论综上讨论*( ) ,kxmyx e Qx 设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k注意注意上述结论可推广到上

3、述结论可推广到n阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程（微分方程（k是重根次数）是重根次数）.*2( ).xmyx Qx e 精选课件精选课件5特别地特别地xAeqyypy 2*2,22xxxAepqAyxepAx e 单不是特征方程的根是特征方程的根是特征方程的重根精选课件精选课件6例1.求方程的一个特解2331yyyx 解解: : 本题而特征方程为,0322 rr不是特征方程的根 .设所求特解为,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比较系数, 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解为.31*xy0,0精选课件精选课件7.232的的通通解解求求方方程程

4、xxeyyy 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxececY 是单根，是单根，2 ,)(2xeBAxxy 设设代入方程代入方程, 得得xABAx 22,121 BA*21(1)2xyxxe 于是原方程通解为原方程通解为.)121(2221xxxexxeCeCy 例例精选课件精选课件8例例225521.yyx 求方程的通解精选课件精选课件9例. 求解定解问题求解定解问题 0)0()0()0( 123yyyyyy解解: : 本题特征方程为, 02323rrr其根为设非齐次方程特解为,*xby代入方程得, 12b故,*21xy

5、0321CCC21322CC2, 1, 0321rrr故对应齐次方程通解为1CY xeC2xeC23原方程通解为x211Cy xeC2xeC23由初始条件得0432CC,0精选课件精选课件10于是所求解为xeeyxx2141432解得)423(412xxeex41 143321CCC精选课件精选课件11型型二二、sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx sincos)(xPxPexfnlx 22ixixixixxlneeeeePPi ()()()()2222ixixlnlnPPPPeeii()()( )( ),ixixP x eP x e ()( ),ixypyqyP x e 设*()

6、1,kixmyx Q e 利用欧拉公式利用欧拉公式精选课件精选课件12()( ),ixypyqyP x e 设*()1,kixmyx Q e *kxixixmmyx eQ eQ e ,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexmmxk 次多项式，次多项式，是是其中其中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max 0,1iki 单不是根是根注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程.精选课件精选课件13cos2.yyxx 个例4求方程的一特解解解对应齐次方程特征方程对应齐次方程特征方程210r 2,i 不是特征方程的根*()cos

7、2()sin2 ,yaxbxcxdx 设代入方程得代入方程得3134030340abccda 140,0,39abcd ，*14cos2sin2 .39yxxx ri 特征根( 334 )cos2(334 )sin2cos2axbcxcxdaxxx 精选课件精选课件1425sin2.xyyyex求方程的通解解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解12cos2sin2 ,xxYe Cxe Cx 12,i 单是根*( cos2sin2 ),xyxeaxbx 故代入上式代入上式4 cos2( 4 )sin2 sin2xxebxaxex 所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为*1cos2 ,4xyxex 原

8、方程通解为原方程通解为121(cos2sin2 )cos2 .4xxyeCxCxxex例例5 510,4ba 精选课件精选课件15例例6 6cos.xyyex 求方程的通解精选课件精选课件16.tan的的通通解解求求方方程程xyy 解解对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xCxCY 用常数变易法求非齐方程通解用常数变易法求非齐方程通解,sin)(cos)(21xxcxxcy 设设, 1)( xw,cos)(tanseclnsin)(2211 CxxcCxxxxc原方程通解为原方程通解为.tanseclncossincos21xxxxCxCy 例例7 7精选课件精选课件17例8.xyyys

9、in2) 1 ()4( 解解: (1) 特征方程, 01224rr, 0)1(22r即有二重根, ir所以设非齐次方程特解为(*2xy )sincosxbxa(2) 特征方程, 024 rr0)1(22rr即有根irr4,32, 1, 0 xexyyxsin3)2()4( 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为)(*2baxxyxce )sincos(xkxdx设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:精选课件精选课件18三、小结三、小结可以是复数）可以是复数） (),()()1(xPexfmx );(xQexymxk ,sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ;sin)(co

10、s)()2()1(xxRxxRexymmxk (待定系数法待定系数法)只含上式一项解法：只含上式一项解法：作辅助方程作辅助方程,求特解求特解, 取取特解的实部或虚部特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解得原非齐方程特解.精选课件精选课件19思考题思考题写出微分方程写出微分方程xexyyy228644 的待定特解的形式的待定特解的形式. 精选课件精选课件20思考题解答思考题解答设设 的特解为的特解为2644xyyy *1yxeyyy2844 设设 的特解为的特解为*2y*2y *1*yy 则所求特解为则所求特解为0442 rr特征根特征根22, 1 rCBxAxy 2*1xeDxy22*2 （重根

11、）（重根）*2y *1*yy CBxAx 2.22xeDx 精选课件精选课件21思考与练习时可设特解为 xxxfcos)() 1当xexxxf22cos)()2当xy *xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)(xek2)(xfyy 时可设特解为 xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(xkexy*lnm,max提示提示:xdcxsin)(1 . (填空) 设sin)(cos)(xxRxxRmm精选课件精选课件222. 求微分方程求微分方程xeyyy 44的通解 (其中为实数 ) .解解: 特征方程,0442rr特征根:221 rr对应齐次方程通解:xexCCY22

12、1)(2时,xeAy令代入原方程得,2)2(1A故原方程通解为xexCCy221)(xe2)2(12时,2xexBy令代入原方程得,21B故原方程通解为xexCCy221)(xex221精选课件精选课件233. 已知二阶常微分方程已知二阶常微分方程xecybyay 有特解, )1 (2xxexey求微分方程的通解 .解解: 将特解代入方程得恒等式xxxxecexbaeaeba)1 ()2()1 (比较系数得01baca 201ba0a1b2c故原方程为xeyy2 对应齐次方程通解:xxeCeCY21xxexey原方程通解为xxeCeCy21xex精选课件精选课件24一一、 求求下下列列微微分分

13、方方程程的的通通解解: :1 1、xeyay 2；2 2、xxeyyy 323；3 3、xxyycos4 ；4 4、xyy2sin . .二二、 求求下下列列各各微微分分方方程程满满足足已已给给初初始始条条件件的的特特解解: :1 1、0,1,5400 xxyyyy；2 2、xxexeyyy 2, , 1,111 xxyy；3 3、)2cos(214xxyy , , 0,000 xxyy. .练练 习习 题题精选课件精选课件25三、三、 含含源源在在CLR,串联电路中串联电路中, ,电动电动E势为势为的电源对的电源对电电充充电电容容器器 C. .已已20 E知知伏伏, ,微微法法2 . 0 C, ,亨亨1 . 0 L, ,欧欧1000 R, ,试求合上开试求合上开后后关关 K的电的电及及流流)(ti)(tuc电压电压 . .四、四、 设设)(x 函函数数连续连续, ,且满足且满足 xxxdttxdtttex00)()()( , , )(x 求求. .精选课件精选课件26练习题答案练习题答案一、一、1 1、2211sincosaeaxCaxCyx ； 2 2、)323(2221xxeeCeCyxxx ； 3 3、xxxxCxCysin92cos312sin2cos21 ； 4 4、212cos10121