对称矩阵与反对称矩阵的若干性质3

1、目 录摘 要1关键词1Abstract1Keywords1 前 言 11 行列式的几种解法1 1.1将行列式化成上下三角形法1 1.2按行列展开法3 1.3拆项法3 1.4递推法4 1.5 加边法5 1.6数学归纳法6参考文献89对称矩阵与反对称矩阵的若干性质 摘 要：本文结合实例介绍对称矩阵与反对称矩阵的性质关键词：对称矩阵；反对称矩阵；复对称矩阵；正定；合同 Some properties of symmetric and anti -symmetric matrixAbstract： This paper introduced the properties of symmetric an

2、d anti symmetric matrixKey words：Symmetric matrix；anti- symmetric matrices；Complex symmetric matrices; Positive definite；前言 任何一个矩阵都可以唯一地分解成一个对称矩阵于一个反对称矩阵之和。对称矩阵与反对称矩阵即有类似的性质，也有各自特有的性质和应用，在研究矩阵及学习有关数学知识时，经常要讨论这两种特殊矩阵的性质和应用，它们作为特殊矩阵无论在理论方面还是在实际应用方面都有很重要的意义. 对称矩阵与反对称矩阵的若干性质一、预备知识：定义1 子式称为的顺序主子式.定义2 的所有

3、顺序主子式全大于0，则正定.定义3 如果n级复矩阵满足，那么是酉矩阵.定义4：矩阵成为对称的，如果，即.定义5 矩阵成为反对称的（斜对称的），如果，即.定义6 正交对角化的定义：一个矩阵称为可正交对角化,如果存在一个正交矩阵和一个对角阵，使得.定义7 矩阵对称，即满足，则称为复对称矩阵.定义8 数域P上nn矩阵，称为合同的，如果有数域P上可逆的nn矩阵C，使B.二、对称矩阵与反对称矩阵的若干性质1、对称矩阵的特有性质（1）实对称矩阵的性质性质1 矩阵是对称矩阵，则可对角化. 下面以例1为例介绍对称矩阵化为对角阵的方法.例1 对角化矩阵Step1:求矩阵的全部特征根det所以的全部特征根是 8,

4、6,3.Step2:对于特征值求出齐次方程0的解以同样的方法求出特征值,的解分别是,.Step3:令 ，则存在矩阵P，使得DAP为对角矩阵.观察上例，我们知对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量是正交的，故可得出以下定理：定理1 如果是对称矩阵，那么不同特征值对应的特征向量是正交的.证明：设、是对应不同特征值、的特征向量.为证明0，计算因此0，但是，所以.性质2 对称矩阵可正交对角化下面以例2为例介绍对称矩阵正交对角化的方法.例2设，求正交矩阵使得为对角矩阵.解：因此特征值为1，3.解方程X0，得特征向量，令解方程X，得特征向量，.将,正交化，令，,将单位化得,令正交矩阵,则.性质3 对称矩阵与

5、二次型的标准型，即对称矩阵的对角化问题.上的一个二次型是一个定义在上的函数，它在向量x处的值可由表达式计算，此处是一个nn对称矩阵，且矩阵称为二次型的矩阵.由对称矩阵的合同标准型定理知，任意对称矩阵都可合同于一对角阵，将此与二次型的标准型联系，就可得到将二次型化为标准型的方法.下面通过例题说明；例3求一变量替换xy,把二次型4化为标准型.解：二次型的系数矩阵是因此特征值为2,2,8.特征值对应的特征向量为,.令,则二次型的标准型为2.由前面的讨论可知，为对称阵，则也可正交对角化，那么上例也可求一正交阵Q，将二次型化为标准型.只需将,正交化，单位化得,.令Q,则Q为正交阵，将原二次型化为标准型2

6、.性质4 设是n级实对称矩阵，且,则存在正交矩阵，使得证明：由于是实对称矩阵，则存在正交阵，使,其中,为的特征值全为实数，可不妨设,那么,由于,因此1,从而(i),所以.性质5设是n级实对称矩阵，且,则存在正交矩阵，使得证明：因是实对称矩阵，故的特征值,不妨设，则存在正交阵，使,由于,因此,因此0或者,所以结论成立.性质6 秩等于r的对称矩阵可以表成r个秩为1的对称矩阵之和.证明：由题设，且R,那么存在可逆矩阵使，其中Ddiag,0,令diag i1,2,r，那么CC,每个C都是对称矩阵，且秩为1.性质7 设是n级实对称矩阵，则正定的充分必要条件是的特征值全正.证明：因是实对称矩阵，则特征值，

7、均为实数，且存在正交阵T，使.而合同关系保持正定性，因此正定当且仅当正定当且仅当(2)、复对称矩阵的特有性质性质1 复对称矩阵与实对称矩阵的区别：复对称矩阵与实对称矩阵的显著区别之一是不一定能对角化.例：矩阵是不可对角化的事实上,如果存在非奇异矩阵P和对角矩阵，使,那么D，从而,矛盾.(3)、负对称矩阵与实对称矩阵的类比性质复对称矩阵的Takagi分解定理:设是对称矩阵，则存在酉矩阵和非负对角矩阵,使得.其中U的列是特征向量正交组，的对角元素是的相应特征值的非负平方根.性质1 设,对称的充分必要条件是存在矩阵使得 S，令S，其中U是酉矩阵，而D.证明：矩阵对称，则由Takagi分解定理S.其中

8、.反之，若 S，则显然对称.性质2 设是n级实对称矩阵，则存在正定阵S，使.证明：由于正定，则存在正交阵T，使AT，其中0.令,则0,取矩阵S T，则显然S也是正定矩阵，且.例4 设正定矩阵，求正定矩阵S，使.解：0,特征值为1，4.特征值1对应的线性无关特征向量,正交化得,.4所对应的特征向量.将单位化得，.取正交矩阵T,则，令S,则. 性质3 对称矩阵的谱分解假设,此处P的列是的单位正交特征向量,且相应的特征值,属于对角矩阵，那么.利用乘积的行列展开，我们可以得到 （2）由于它将分解为的谱（特征值）确定的小块，这个的表示就称为的谱分解，而（2）中每一项都是一个秩为1的nn的矩阵.性质4 任

9、一复对称矩阵合同于规范形，其中r； 任一实对称矩阵合同于规范形，其中p称为的正惯性指数，rp称为的负惯性指数，2pr称为A的符号差.2、反对称矩阵的特有性质 由于反对称矩阵的特殊性，使其有了与对称矩阵不同的性质.性质1 若，都是数域P上的n级反对称矩阵，则，k(k)亦都是反对称矩阵.证明：,都是反对称矩阵，根据定义，而，k.故，k(k)亦都是反对称矩阵.性质2 反对称矩阵的主对角元素全为0.证明：为反对称矩阵，,对于主对角线上的元素,所以0,故结论成立.性质3 数域P上奇数级反对称矩阵的行列式等于0.证明：设是n级反对称矩阵，n是奇数，则.从而，于是,由此得出，20,因此0,结论得证.性质4

10、设是反对称矩阵，则合同于diag，其中S,即反对称矩阵的秩一定是偶数.证明：设是非零反对称矩阵（显然对于零矩阵，结论成立），用归纳法证明.n2，反对称矩阵，明显地合同于，结论成立. 假设nk时结论成立.当nk1时，若最后一列全为0，则最后一行也全为0,，由归纳结论成立，若最后一列不全为0，不妨设0，先对作合同变换再利用右下角，1，1,通过一系列的合同变换，可将两行两列的其余非零元素全化为0，那么合同于，其中仍为反对成矩阵，因此矩阵合同于，由归纳，则nk1时结论也成立.3、实对称矩阵与反对称矩阵的类比性质性质1 若是实对称矩阵，那么也是实对称矩阵.证明：由于是实对称矩阵，所以.，故也是实对称矩阵

11、.性质2 若是反对称矩阵，那么也是反对称矩阵.证明：由于是反对称矩阵，所以.，故也是反对称矩阵.性质3 设为实对称矩阵，则的特征值均为实数.证明：设是的特征值，于是有非零向量 满足 . 令 ，其中是的共轭复数，则 .在式两边取转置得 ，即 由 和 可知而 故 ，即是一个实数. 性质4 反对称实对称矩阵的特征值是零或纯虚数.证明：由于是实反对称矩阵，因此，且，设C为S的一特征值，且0为对应的一特征向量，那么，对其分别取转置与共轭，则，将两式相加，得0,即为零或纯虚数.性质4 数域P上任一n级矩阵都可以表示成一个堆成矩阵与一个反对称矩阵之和，且表法唯一.证明：，由于，因此是对称矩阵，是反对称矩阵.从而是对称矩阵，是反对称矩阵.故结论成立.性质5 设是一个n级矩阵，则是反对称矩阵当且仅当对任一n维列向量X，有0;如果是对称矩阵，且对于任一n维列向量有0，那么0.证明：(必要性)设是反对称矩阵，即，由于，因此，即20,即得0. (充分性)由于任给n维列向量X,均有0，即0,因此可取(第i分量是1，其他份量为零的n维列向量)代入，则0.再取代入，则得0,即,所以是反对称矩阵.设是对称矩阵，即，由于任一