切线的性质和判定

1、切线的性质和判定练习一.解答题(共11小题)1. (2018?宿迁)如图，AB AC分别是。的直径和弦，ODLAC于点D.过点A 作。的切线与OD的延长线交于点P, PG AB的延长线交于点F.(1)求证：PC是。的切线；(2)若/ABC=60, AB=10 求线段 CF的长.2. (2018?常德)如图，已知。O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点 F,使DF=DA AE/ BC交CF于E.(1)求证：EA是。的切线；(2)求证：BD=CFDEF3. (2018?官渡区二模)如图，AB是。的直径，AMff口 BN是。的两条切线，点D是AM上一点，连接OD过点B作BE

2、/ OD交。于点E,连接DE并延长交BN 于点C(1)求证：DE是。的切线；(2)若AD=l, BC=4求直径AB的长.4. (2018?洪泽区一模)如图，已知 AB为。的直径，AD BD是。的弦，BC 是。的切线，切点为B, OC AD BA CD的延长线相交于点 E.(1)求证：DC是。的切线；(2)若。半径为4, /OCE=3Q求zOCE勺面积.5. (2018?tf川县二模)如图，已知。的半径为1, AC是。的直径，过点C 作。的切线BC, E是BC的中点，AB交。于D点.(1)直接写出ED和EC的数量关系： ;(2) DE是。的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；(3)填空：当

3、BC=时，四边形AOED1平行四边形，同时以点 O D E、C为顶点的四边形是.6. (2018?东河区二模)已知如图，以 RtAABCW AC边为直径作。O交斜边AB 于点E,连接EO并延长交BC的延长线于点D,作OF/ AB交BC于点F,连接EF.(1)求证：OF! CE(2)求证：EF是。的切线；(3)若。的半径为3, / EAC=60,求AD的长.7. (2018?海淀区二模)如图，AB是。的直径，M是OA的中点，弦CD!AB于 点M 过点D作DH CA交CA的延长线于点E.(1)连接 AD 则/ OAD=°(2)求证：DE与。相切；(3)点F在密上，/ CDF=45, DF

4、交AB于点N.若DE=3求FN的长.8. (2018?朝阳区二模)AB为。直径，C为。上的一点，过点 C的切线与AB 的延长线相交于点D, CA=CD(1)连接BC 求证：BC=OB(2) E是标中点，连接CE, BE,若BE=2求CE的长.9. (2018?苏州)如图，AB是。的直径，点C在。上，AD垂直于过点C的切 线，垂足为D, CE垂直AB,垂足为E,延长DA交。于点F,连接FC, FC与AB 相交于点G,连接OC(1)求证：CD=CE(2)若AE=GE求证： CEM等腰直角三角形.10. (2017?黄石)如图，。是4ABC的外接圆，BC为。的直径，点E为4ABC 的内心，连接AE并

5、延长交。于D点，连接BD并延长至F,使得BD=DF连接CF BE(1)求证：DB=DE(2)求证：直线CF为。的切线.11. (2018?长沙)如图，在 ABC中，AD是边BC上的中线，/ BADW CAD CE / AD CE交BA的延长线于点E, BC=8 AD=3(1)求CE的长；(2)求证：ABE等腰三角形.(3)求ABC勺外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离.word教育资料切线的性质和判定 参考答案与试题解析一.解答题（共11小题）1. （2018?宿迁）如图，AB AC分别是。的直径和弦，ODLAC于点D.过点A 作。的切线与OD的延长线交于点P, PG AB的延长线交于点F.（

6、1）求证：PC是。的切线；（2）若/ABC=60, AB=10 求线段 CF的长.月 O IB F【分析】（1）连接OC可以证得 OA国AOCP利用全等三角形的对应角相等， 以及切线的性质定理可以得到：/ OCP=9Q即OCL PC即可证得；（2）先证 OBCM等边三角形得/ COB=6Q再由（1）中所证切线可得/ OCF=90,结合半径OC=5得答案.【解答】解：（1）连接OC. ODLAC,。陈过圆心O, . AD=CD . PA=PC在 AOA林口 OCM, rOA=OC，PA-PC, QP 二 OP. .OA国 AOCP (SSS, ./ OCP= OAP: PA是半O O的切线，丁.

7、 / OAP=90.丁. / OCP=90即 OCL PC PC是。的切线.(2) v OB=OC / OBC=60.OBCM等边三角形，丁. / COB=60vAB=10OC=5由(1)知 / OCF=90, .CF=OCta出 COB=噌.【点评】本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的应用，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的 问题.2. (2018?常德)如图，已知。O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在 CD的延长线上有一点 F,使DF=DA AEE/ BC交CF于E.(1)求证：EA是OO的切线；(2)求证：BD=CF【分析】

8、(1)根据等边三角形的性质可得：/ OAC=3Q / BCA=60,证明/ OAE=90, 可得：AE是。的切线；(2)先根据等边三角形性质得：AB=AC /BACW ABC=60,由四点共圆的性质得：/ADFW ABC=60,得AAD支等边三角形，证明 BAD4CAF可得结论.【解答】证明：(1)连接OD:。0是等边三角形ABC勺外接圆，丁. / 0AC=3Q / BCA=60,v AE/ BC, . / EAC= BCA=60,丁. / OAE= OAC+ EAC=30+60 =90°,AE是。O的切线；(2)<ABCg等边三角形，AB=AC / BACW ABC=60,.

9、A、R G D四点共圆， ./AD% ABC=60,vAD=DF .AD支等边三角形，AD=AF / DAF=60,丁. / BACy CAD= DAF+ CAD即 / BAF4 CAF在BADffi CAF 中，'AB=AC. " ZBAD=ZCAF,tAD=AF .BAD zCAFBD=CF【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定， 等边三角形及外接圆，四点共圆 等知识点的综合运用，属于基础题，熟练掌握等边三角形的性质是关键.3. (2018?官渡区二模)如图，AB是。的直径，AMff口 BN是。的两条切线，点D是AM上一点，连接OD过点B作BE/ OD交。于点E,连接D

10、E并延长交BN 于点C(1)求证：DE是。的切线；(2)若AD=l, BC=4求直径AB的长.【分析】(1)求出/ AOD=EOD根据全等三角形的判定和性质推出/ DEO=DAO根据切线的判定得出即可;(2)根据矩形的性质和判定得出AB=DH AD=BH=1根据切线长定理求出DC根据勾股定理求出DH即可.【解答】(1)证明：连接OEv OA=OE=OB ./ OBEW PEB v OD/ BE, ./AOD=OBE /OEBW DOE ./AOD= EOD在AOEft EODt'0A二 OE，ZACD=ZEODQD 二 OD. .AO匪EOD ./ OAD=OED: AM。的切线,丁.

11、 / OAD=9Q丁. / OED=9Q即 OEL DE.OE为。半径， DE是。的切线;4 P V二(2)解：-过D作DHL BC于H,.AMffi BN是。O的两条切线，丁 / DABW ABHN DHB=90,四边形ABH此矩形， . AB=DH AD=BH. AD=l, BC=4BH=1 CH=4- 1=3,.AMK BN是。O的两条切线，DE切。于E, AD=1 BC=4DE=AD=1 BC=CE= 4DC=1+4=5在RtDHCK由勾股定理得：DH=dc%M=75f-/4,即 AB=4【点评】本题考查了切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、等腰三角形 的性质、勾股定理、矩形的性

12、质和判定、切线长定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键.4. (2018?洪泽区一模)如图，已知 AB为。的直径，AR BD是。O的弦，BC 是。的切线，切点为B, OC/ AR BA CD的延长线相交于点 E.(1)求证：DC是。的切线；(2)若。O半径为4, /OCE=3Q求AOCE勺面积.【分析】(1)连接DO如图，利用平行线的性质和等腰三角形的性质证明/ COD= /COB则根据SAS可判断CO%ACOB所以/ CDO=CBO再根据切线的性 质得/ CBO=90,则/CDO=90然后根据切线的判定定理得到结论；(2)先禾I用/ OCB=OCD=301至I/ DCB=

13、60, WJ/ E=30°,再根据含30度的直角 三角形三边的关系计算出 DE=4/3, DC=3OD=43,然后根据三角形面积公式计 算.【解答】(1)证明：连接DO如图，v AD/ OC ./DAO=COB /ADO=COD又 = OA=O D ./ DAO=ADO ./ COD= COB在 ACO前COBtrOD=OBZCOD=ZCOB lOCRC.CO挚 ACOB (SAS, ./ CDO=CBO v BC是。的切线，丁. / CBO=9Q丁. / CDO=9QODL CEE,又丁点D在。O上, CD。的切线；(2)解：由(1)可知/ OCB=OCD=30 丁. / DCB=

14、60,又 BCL BE ./ E=30°,在 RtODE, tan/E延， DE .DE= :=4 二，tan30同理DC=三OD=4三，$ oc1?OD>CE1x 4X 8仔16«.22【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时 连圆心和直线与 圆的公共点”或 过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常 遇到切点连圆心得 半径”.也考查了解直角三角形.5. （2018洲川县二模）如图，已知。O的半径为1, AC是。的直径，过点C 作。O的切线BC, E是BC的中点，AB交。于D点.(1)

15、直接写出ED和EC的数量关系：ED=EC ;(2) DE是。的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；(3)填空：当BC= 2时,四边形AOED1平行四边形，同时以点 O D E、C 为顶点的四边形是 正方形.【分析】(1)连结CD如图，由圆周角定理得到/ ADC=90,然后根据直角三角 形斜边上的中线直线得到DE=CE=BE(2)连结OD如图，利用切线性质得/ 2+/ 4=90。，再利用等腰三角形的性质得 /1=/ 2, / 3=/ 4,所以/ 1 + /3=/ 2+7 4=90°,于是根据切线的判定定理可判 断DE是。的切线；(3)要判断四边形AOED1平行四边形，则DE=OA

16、=1所以BC=2当BC=2时， AC助等腰直角三角形，则/ B=45°,又可判断 BCM等腰直角三角形，于是 得到DEX BC, DE=-BC=1,所以四边形AOED是平行四边形；然后利用 OD=OC=CE=DE=1 OCE=90判断四边形 OCEM正方形.【解答】解：(1)连结CD如图，.AC是。的直径，丁. / ADC=90,.E是BC的中点,DE=CE=B E(2) DE是。的切线.理由如下：连结OD如图，.BC为切线,OCL BC, ./OCB=9Q 即 / 2+/4=90°,.OC=ODED=EC/ 1=/ 2, / 3=/4,. /1+/3=/2+/4=90&#

17、176;,即/ODB=9QODL DE, DE是。的切线；(3)当 BC=2时,v CA=CB= 2 . AC助等腰直角三角形, ./ B=45°, .BCM等腰直角三角形， .DELBC, DE= BC=1v OA=DE=1 AO/ DE 四边形AOED1平行四边形；v OD=OC=CE=DE=1 OCE=90一四边形OCE时正方形.故答案为ED=EC 2,正方形.【点评】本题考查了切线的判断与性质： 圆的切线垂直于经过切点的半径； 经过 半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.常见的辅助线为：判定切线时连圆心和直线与圆的公共点”或 过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常 遇

18、 到切点连圆心得半径解决（3）小题的关键是熟练掌握平行四边形和正方形的 判定方法.6. （2018?东河区二模）已知如图，以 RtAABCW AC边为直径作。O交斜边AB 于点E,连接EO并延长交BC的延长线于点D,作OF/ AB交BC于点F,连接EF.(1)求证：ON CE(2)求证：EF是。的切线；(3)若。的半径为3, / EAC=60,求AD的长.BC D【分析】(1)由于AC是。的直径，得出CELAE,根据OF/ AB,得出OF! CE(2)得到OF所在直线垂直平分 CE推出FC=FE OE=OC再由/ ACB=90,即可 得到结论.(3)证出AOEt等边三角形，得到/ EOA=60

19、,再由直角三角形的性质即可得 到结果.【解答】证明：(1)如图，连接CE.AC是。的直径，CEL AE,v OF/ AB, OFL CE(2)OFL CE一 OF所在直线垂直平分CE FC=FE OE=OC /FEC力 FCE /OEC=OCE vZ ACB=90,即：/OCE+FCE=90, / OEC+ FEC=90,即：/ FEO=90, FE为。的切线；(3)如图，=。O的半径为3,AO=CO=EO=3vZ EAC=60, OA=OE丁. / EOA=60丁. / COD= EOA=60,在OCDK / COD=60 OC=3CD=3/r3,.在 RtAACD, / ACD=90,CD

20、=3二，AC=6AD=3f7，【点评】本题考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握定理是解题的关键.7. (2018?海淀区二模)如图，AB是。的直径，M是OA的中点，弦CD!AB于 点M 过点D作DEL CA交CA的延长线于点E.(1)连接 AD 则 / OAD= 60 。:(2)求证：DE与。相切；(3)点F在前上，/ CDF=45, DF交AB于点N,若DE=3求FN的长.EB【分析】(1)由CD!AB和M是OA的中点，利用三角函数可以得到/ DOM=60 进而得到 OA此等边三角形，/ OAD=60(2)只需证明DH OD

21、便可以得到DE与。O相切.(3)利用圆的综合知识，可以证明，/ CND=90, /CFN=60,根据特殊角的三 角函数值可以得到FN的数值.【解答】解：(1)如图1,连接OD ADE图1.AB是。的直径，CD! ABAB垂直平分CD. M是OA的中点,OM= OA= OD 22cos / DOM=- OD 2丁. / DOM=60又：OA=OD AOA此等边三角形丁. / OAD=60故答案为：60°(2) .CDL AB, AB是。的直径, . CM=M D. M是OA的中点,AM=MO又. / AMC= DMO. .AM葭 AOMD ./ACM=ODM . CA/ ODv DH

22、CA ./ E=90°. ./ ODE=180- / E=90°. DEL OD . DE与。相切.（3）如图2,连接CF, CNE图2 . OAL CDT M.M是CD中点.NC=ND / CDF=45, ./ NCD=NDC=45丁. / CND=90丁. / CNF=90.由（1）可知 / AOD=60.二一：. 士1在 Rt"DE, / E=90°, /ECD=30, DE=3CD二.笑二6.sin30在 Rt"NDK / CND=9Q / CDN=45 CD=6由（1）知 / CAD=2OAD=12Q ./ CFD=180- / CA

23、D=60.在CNF中，/ CNF=90, /CFN=60, =372,【点评】本题考查圆的综合运用，特别是垂径定理、切线的判定要求较高，同时 对于特殊角的三角函数值的运用有所考察， 需要学生能具有较强的推理和运算能 力.8. (2018?朝阳区二模)AB为。直径，C为。上的一点，过点 C的切线与AB 的延长线相交于点D, CA=CD(1)连接BC 求证：BC=OB(2) E是同中点，连接CE, BE,若BE=2求CE的长.【分析】(1)连接OC根据圆周角定理、切线的性质得到/ ACO= DCB根据CA=CD 得到/ CADW D,证明/ COB=CBO根据等角对等边证明；(2)连接AE,过点B

24、作BF，CE于点F,根据勾股定理计算即可.【解答】(1)证明：连接OC: AB为。直径,丁. / ACB=90,.CD为。切线丁. / OCD=90丁. / ACO= DCB=90- / OCBv CA=CD丁 / CADW D. ./ COB=CBOOC=B COB=BC(2)解：连接AE,过点B作BF，CE于点F.E是AB中点，;AE=BE,.AB为。直径,丁. / AEB=90.丁 / ECBW BAE=45,22证. .CF=BF=1EF=V.CE=1+VS-E【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理，掌握圆的切线垂直 于经过切点的半径是解题的关键.9. (2018?苏州)

25、如图，AB是。的直径，点C在。上，AD垂直于过点C的切 线，垂足为D, CE垂直AB,垂足为E,延长DA交。于点F,连接FC, FC与AB 相交于点G,连接OC(1)求证：CD=CE(2)若AE=GE求证： CEM等腰直角三角形.【分析】(1)连接AC根据切线的性质和已知得：AD/ OC得/ DACW ACO根 据AAS证明zCD库zCEA(AAS ,可得结论；(2)介绍两种证法：证法一：根据 CD库ACE/A得/ DCAW ECA由等腰三角形三线合一得：/ F= /ACEW DCA=ECG 在直角三角形中得：/ F=Z DCA= ACE= ECG=22.5,可得 结论；证法二：设/ F=x,

26、则/ AOC=2 F=2x,根据平角的定义得：/ DAC+ EAC+ OAF=180,贝U 3x+3x+2x=180,可得结论.【解答】证明：(1)连接AC .CD。的切线，OCL CD v ADL cd ./ DCO= D=90°,AD/ OC ./ DAC= ACO OC=O A ./ CAO=ACO . / DAC= CAO,.CEL AB, . / CEA=90,在 ACDAF 口 ACEA中， "ZD=ZCEA ZDAC-ZEAC, tAC=AC. .CD库 ACEA (AAS, CD=C E(2)证法一：连接BC. CD库 ACEA丁. / DCA= ECA,.

27、 CELAG AE=EG . CA=CG丁 / ECAW ECG.AB是。的直径,丁. / ACB=90,. CH AB, ./ACEW B,vZ B=Z F,/ F=Z ACE= DCA= ECG/ D=90°, ./ DCF它 F=90°, / F=/ DCA= ACEW ECG=22.5, ./AOC=2 F=45°,.CEO等腰直角三角形；证法二：设/ F=x,则/AOC=2F=2x,v AD/ OC ./ OAFW AOC=2x丁. / CGA= OAF+ F=3x,. CELAG AE=EG . CA=CG丁 / EACW CGA,. CELAG AE

28、=EG . CA=CG丁 / EACW CGA丁 / DACW EACH CGA=3xvZ DAC廿 EAC它 OAF=180, .3x+3x+2x=180,x=22.5 ,/ AOC=2x=45 .CEO等腰直角三角形.【点评】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股 定理、三角形内角和定理以及等腰三角形和等腰直角三角形的判定与性质等知 识.此题难度适中，本题相等的角较多，注意各角之间的关系，注意掌握数形结 合思想的应用.10. (2017?黄石)如图，。是4ABC的外接圆，BC为。的直径，点E为4ABC 的内心，连接AE并延长交。于D点，连接BD并延长至F,使得BD=DF连接 CF BE(1)求证：DB=DE(2)求证：直线CF为。的切线.【分析】(1)欲证明DB=DE只要证明/ DBEW DEB(2)欲证明直线CF为。的切线，只要证明BCL CF即可；【解答】(1)证明：: E是4ABC的内心，丁 / BAEW CAE / EBA力 EBC / BEDW BAE+Z EBA / DBEW EBC它 DBC