平面直角坐标系下常见题型总结

1、平面直角坐标系下的常见题型总结枣营中学初三备课组章的重要内容，平面直角坐标系的知识是最基础和重要的内容，具体可分为以下几个部分：1确定平面上的点的位置通常需要两个量，且方式很多。建立直角坐标系是常用的方法之一。2平面直角坐标系的基础知识。3图形变换与坐标变化的关系， 可以由图形上的点的位置变化与其坐标变化的关系而得到。 具体可从下面两方面把握：（ 1）对称与平移 （2）距离4 注意：（ 1）同一个点，在不同的直角坐标系中，其坐标一般也不相同。所以，我们说一个点的坐标，都是就某一个确定的坐标系来说的。（2）对一个图形建立不同的坐标系，其顶点的坐标也不相同。要根据图形的特点建 立恰当的坐标系以使所

2、求的点的坐标尽可能简捷。专题总结及应用 例 1 如图所示，是王亮家周边地区的平面示意图，借助刻度尺，量角器，解决如下问题：1）相对王亮家的位置，说出书店所在的位置。2）某楼位于王亮家的南偏东 66 度的方向，到王亮家的 实际距离约为 280 米，说出这一地点的名称。解题关键要清楚点的位置的确定， 需分析： 本题主要考查点的位置的确定和比例尺的换算， 要两个数据及比例尺的实际运用。解： （1） 北偏东 45 度，图上距离约为 2.3cm ，实际距离约为 2.3 ×10000 ×1%=230（ 米 ） 。（2） 电影院，因为图上距离为 280×1/10000 

3、5;100 = 2.8cm 且位于南偏东 66 度方向 上的只有电影院 D 。例 2已知 P（a,b ），求其关于 x 轴，y 轴，原点的对称点的坐标。分析：解此类问题时， 我们应采用数形结合的方法， 可令 a=3,b=2, 在坐 标系中描出此点， 然后根据对称的性质， 便可得出 P 点关于 x 轴， y 轴，原点的对称点的坐标分别为 （a, b）,（ a,b ）,（ a, b） 。例 3如图所示的直角坐标系中，四边形 OABC各个顶点的坐标分别为O（0，0），A（14，0），B（12，8）， C（4，10），求这个四边形的面积。分析：本题主要考查平行于坐标轴的线段上的点的坐标的特点和利用分割

4、法求不规则四边形的面积。解题关键是熟知与 x 轴 （y 轴 ） 平行的线段上的点，纵 （ 横 ） 坐标相同， 线段的长度等于两端点的横 （ 纵 ） 坐标的差。因为 BF/x 轴 ,DF/y 轴 , 所解：如图，将这个四边形分割成三个直角三角形和一个矩形， 以 F 点的坐标为 （4,8）, 因此 BF=12 4=8 ；同理， OD=4 ， CD=10 ， CF=2 ， BE=8 ，AE=2 ；例 4 （ 1）求点 P（ 3， 4）到 x 轴，y 轴，原点的距离； （2）求点 P（ 3， 4）和 B（ 3，6）的距离；（ 3）求到 x 轴的距离为 2，到 y 轴的距离为 5 的点的坐标。解： （1

5、） P（ 3 ， 4） 到 x 轴的距离是 |-4|=4 ，到 y 轴的距离是 |-3|=3 ， 到原点 的距离是 5（2） 因为 P（ 3 ， 4） ， B（ 3 ， 示，容易求得 PB=6+4=10 。（3） 因为到 x 轴的距离为 2 ，所以纵坐标 为± 2， 因为到 y 轴的距离为 5 ，所以横 坐标为± 5 。 所以符合条件的点的坐标为： （5 ， 2） 或 （5 ， 2） 或 （ 5 ， 2） 或 （ 5 ， 2） 。方法技巧： （ 1）与 x 轴平行的直线的坐标 特征：与 x 轴平行的直线上的纵坐标相同。（2） 与 y 轴平行的直线的坐标特征：与 y 轴平行的

6、直线上的横坐标相同。（3）点 P（ a，b）到 x 轴的距离为 ，到6） 两点的横坐标相同，故 PB/y 轴，如图所y 轴的距离为；点 M到 x 轴的距离为 a ，坐标有四种情况：（ b， a），（ b， a），到 y 轴的距离为 b（其中 a>0, b>0 ） , 则点 M的 （ a， b），（ a， b）。在平面内建立起平面直角坐标系以后， 平面内的点与坐标 （有序实数对） 就有了一一对应的 关系，数与形有机地结合在一起。与平面直角人材系有关的题目很好地体现了“数形结合” 思想。例 （2010珠海）已知：正比例函数 y=k1x的图象与反比例函数 y k2 （x>0） 的图

7、象交于 x点 M（a,1），MNx轴于点 N（如图），若 OMN的面积等于 2，求这两个函数的解析式 解： MNx 轴，点 M（ a，1）1 S OMN= a =2 a=4 M（4,1）2正比例函数y=k1x 的图象与反比例函数 y象交于点 M（ 4,1 ）1 4k11 k24解得k1 14k2 4xk21正比例函数的解析式是 y x ，反比例函数的解析式是k例 6（2010 遵义市 ） 如图，在第一象限内 ,点 P,M a,2 是双曲线 y （k 0） 上的两点 ,PAx轴于点 A,MB x轴于点 B,PA 与 OM交于点 答案： 43例 7（ 2010 年兰州）如图， P1是反比例函数图像

8、上的一点，点 A1 的坐标为 （2，0） （1）当点 P1的横坐标逐渐增大时， P1O A1的面积 将如何变化？（2）若 P1O A1与 P2 A1 A 2均为等边三角形，求 此反比例函数的解析式及 A2 点的坐标答案（本题满分 9 分）（1）解：（1） P1OA1的面积将逐渐减小（2）作 P1COA1，垂足为 C，因为 P1O A1为等边三角形， 所以 OC=1，P1C= 3，所以 P1（1, 3） ky代入 x ，得 k= 3 ，所以反比例函数的解析式为 作 P2DA1 A 2，垂足为 D、设 A1D=a，则 OD=2+a，P2D= 3 a，所以 P2 (2 a, 3a) 3 y2代入 x

9、 ，得 (2 a) 3a 3 ，化简得 a2 2a 1 0 解的：a=-1 ± 2a>0 a 1 2 所以点 A2的坐标为 2 2 ，0例 8、如图，以 O 为原点的直角坐标系中， A 点的坐标为（ 0， 1），直线 x=1 交 x 轴于点B。P为线段 AB 上一动点， 作直线 PCPO，交直线 x=1 于点 C。过 P点作直线 MN 平行于 x 轴，交 y 轴于点 M ，交直线 x=1 于点 N 。（1）当点 C 在第一象限时，求证： OPM PCN；（2）当点 C在第一象限时，设 AP 长为 m，四边形 POBC 的面积为 S，请求出 S与 m 间的 函数关系式，并写出自变

10、量 m 的取值范围；3）当点 P在线段 AB 上移动时，点 C也随之在直线 x=1上移动， PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使 PBC 成为等腰直角三角形的点 P 的坐标；如果不可OB能，请说明理由。解 (1) OMBN，MN OB， AOB=90 0， 四边形 OBNM 为矩形。 MN=OB=1, PMO= CNP=90 0 AM PM， AO=BO=1 ，AO BO AM=PM 。 OM=OA -AM=1 -AMPN=MN - PM=1 -PMOM=PN OPC=90 0 OPM+CPN=90又 OPM+ POM=90 0 CPN= POM OPMPCN2） AM=PM=

11、APsin450= 2 mNC=PM=2m m 2 BN=OM=PN=12-m2=1 2mBC=BN - NC=1 - 当点 C 在第四象限，且 m- 2 m22S S OPB S PBC 2OB OM 2BC PN1 m22m 120m（3） PBC 可能为等腰三角形。当 P 与 A 重合时， PC=BC=1 ，此时 P（0，1）PB=CB 时，有 BN=PN=1 BC=PB= 2 PN= 2 -m NC=BN+BC=12m+-m由知：NC=PM= 2 m221m+2-2m= m2m=1PM= 2 m= 2 ，22BN=122m=1 2222 P(2使 PBC 为等腰三角形的的点,1 2 )

12、P 的坐标为（ 0，总结：此题的设计比较精巧， 将几何知识放在坐标系中进行考查， 第 1题运用相似形等几何 知识不难得证，第 2小题需利用第 1 小问的结论来建立函数解析式，第 3 小题需分类讨论， 不要漏解，运用方程思想可以得到答案。 在解此类题目时应注意进行距离与坐标之间进行相互转化时。例 9（ 2010 年金华）已知点 P的坐标为（m，0），在x轴上存在点 Q（不与 P点重合），以 PQ 为边作正方形 PQMN，2使点 M 落在反比例函数 y = 2 的图像上 . 小明对上述问题进行了探究， 发现不论 m取何值， x符合上述条件的正方形只有两个，且一个正方形的顶点 M 在第四象限 ， 另

13、一个正方形的顶点 M1 在第二象限 .21）如图所示，若反比例函数解析式为y= 2 ，P 点坐标为（ 1， 0），图中已画出一符合x条件的一个正方形 PQMN ，请你在图中画出符合条件的另一个正方形PQ1M1N1，并写出点M1 的坐标；M1 的坐标是（2） 请你通过改变 P 点坐标，对直线 M1 M 的解析式 ykx b 进行探究可得 k，若点 P 的坐标为（ m， 0）时，则 b；（3） 依据（2）的规律，如果点 P 的坐标为（ 6，0）， 请你求出点 M1 和点 M 的坐标解：（ 1）如图； M1 的坐标为（ 1，2）2）k1， b m3）由（ 2）知，直线 M1 M 的解析式为 y x

14、6则M （x，y）满足 x （ x 6） 2解得 x1 3 11 ， x2 3 11 y1 3 11 ， y2 3 11M1，M的坐标分别为（ 3 11，3 11 ），（ 3 1 ， 3 11）例 10以坐标原点为圆心， 1 为半径的圆分别交 x， y 轴的正半轴于点 A， B.（1）如图一，动点 P从点 A处出发，沿 x轴向右匀速运动，与此同时，动点 Q 从点 B处出 发，沿圆周按顺时针方向匀速运动 .若点 Q 的运动速度比点 P 的运动速度慢，经过 1秒后点 P运动到点 （2,0），此时 PQ恰好是 O的切线，连接 OQ. 求 QOP 的大小；2）若点 Q 按照（ 1）中的方向和速度继续运

15、动，点P 停留在点 （2,0）处不动，求点 Q 再经过 5 秒后直线 PQ 被 O 截得的弦长 . （1）解：如图一，连结 AQ由题意可知： OQ=OA=1.OP =2, A 为 OP 的中点 .PQ 与 O 相切于点 Q, OQP 为直角三角形 .1 AQ OP 1 OQ OA .2即 OAQ 为等边三角形 . QOP=60°图一yB图二 （ 备用图）2）解：由（ 1）可知点 Q 运动 1 秒时经过的弧长所对的圆心角为 30°， 若Q按照（ 1）中的方向和速度继续运动，那么再过 5 秒，则 Q 点落在 O 与 y 轴负半轴的交点处（如图二） .设直线 PQ与 O的另外一个

16、交点为 D，过O作OCQD于点 C，则C为QD的中点. QOP=90°，OQ=1， OP=2, QP= 12 225 .11 OQ OP QP OC ,22OC= OCQD ，OQ=1，OC=QC= 5 .5 QD= 2 5 习题1 、若点 P（ a， b）在第二象限，则点 Q（ a， b 1）在（）A、第一象限 B、第二象限C、第三象限D 、第四象限分析与解：这是一道数形结合题，要根据各象限内点的坐标的符号特征来解。因为点 P （a， b）在第二象限，所以 a<0， b>0 ，于是 a 0， b 1 0，即点 Q（ a， b 1）在 第四象限，故选 D。总结：数形结合思

17、想使几何图形和代数知识有机地结合在一起，使抽象的代数问题变得 直观、形象，我们在解题时，要学会由形想到数，由数想到形。2、如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC 的顶点 O、A、C 的坐标分别是（ 0，0）、（5，0）、（2， 3），则顶点 B 的坐标是（）。A、（3，7）B、（5，3）C、（7，3）D、（8，2）分析与解： 根据点的坐标的确定方法， 过点 C 分别作 x 轴和 y 轴的垂线， 垂足分别为 G 、 F。过点 B 分别作 x 轴和 y 轴的垂线，垂足分别为 E、F。因为四边形 OABC 是平行四边形， CB/OA ，且 CB=OA ，则四边形 OGCF 和四边形 OEBF

18、均为矩形，所以 BE=CG=3 ， GE=CB=OA ，BF=CB+CF=GE+OG=5+2=7 ，所以点 B 的坐标为（ 7， 3），故选 C。总结：点的坐标是一对有序实数，过某一点作 x 轴的垂线，垂足所对应的数字即为它的 横坐标，作 y 轴的垂线， 垂足所对应的数字即为它的纵坐标。 故要求点的坐标，就要求出这 两个垂足所对应的数字。3、如图，平面直角坐标系中， ABC 的顶点都在格点上（每个小方格的边长都为1cm）。其中 A 点的坐标为（ 2， 1），则 ABC 的面积为 cm 2 。分析与解：经观察可知点 B 的坐标为（ 4， 3），点 C 的坐标为（ 1，2）。由于 ABC 没 有边

19、与 x 轴或 y 轴平行， 故需要用割补法将其补成图 3中的矩形 MNPB ，即过点 A、B 分别 作 x 轴的平行线，过点 B、C 分别作 y 轴的平行线，交点为 P、N、M 、B。可求得 P（4， 1），N（1， 1），M （1，3），则 S ABC S矩形 MNPB S BAP S ANC S BMC 5（cm ） 。 应填 5。总结：计算平面直角坐标系内图形的面积时，常常把图形割补成边在坐标轴上或边与坐 标轴平行的图形来计算面积。4 、将图所示的围棋棋盘放在某个平面直角坐标系内，白棋的坐标为（7， 4），白棋的坐标为（ 6， 8），那么黑棋 的坐标应该是 。分析与解：本题用围棋棋盘中正

20、方形网格的相对位置来考查平面直角坐标系及点的坐标 等相关知识。黑棋 可看成是白棋先向右平移 3 个单位，再向上平移 1 个单位，故可知 其坐标为（ 3， 7）。应填（ 3， 7）。总结：用坐标确定平面内点的位置，需要先建立适当的平面直角坐标系。5如图，将 ABC 的三边分别扩大一倍得到 A1B1C1（顶点均在格点上） ，若它们是以 P 点为位似中心的 位似图形，则 P 点的坐标是（）.A （ 4, 3）B（ 3, 3）C （ 4, 4）D （ 3, 4）答案： A6 、如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1 个单位长度的正方形，我们把顶点在格点上的三角形称为“格点三角形” ，图中的 ABC 就

21、是格点三角形。在建立平面直角 坐标系以后，点 B 的坐标为（ 1， 1）。把 ABC 向左平移 3 个单位后得到 1B1C1 ，画 出 A 1B1C1，并分别写出点 A1、B1、C1 的坐标。分析与解：认真观察图 5，可知 A 点的坐标为（ 3，3），C 点的坐标为（ 5， 1）。图形 向左平移 3 个单位，则原图形中各点纵坐标不变，横坐标减3，故可知 A1（0，3）， B1（4， 1）， C1（ 2， 1）。在平面直角坐标系中分别描出点 A 1、B1、C1 ，再顺次连接这三个 点，即可得 A 1B1C1 （如图 6）。总结：若点 P（x， y）向左（或向右）平移 a（ a>0）个单位，

22、则对应点的横坐标是x 减去（或加上） a，纵坐标不变；若向上（或向下）平移b（ b>0）个单位，则对应点的横坐标不变，纵坐标是 y 加上（或减去） b。7 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（ 4 ，0），B（0，3），对 AOB 连续作旋转变换，依次得到三角形（ 1），（2），（3），（ 4），那么第（ 7）个三角形的直角顶点的坐标是 _，第（ 2011）个三角形的直角顶点坐标是 答案：（ 24，0） （8040， 0）k8、如图， 已知双曲线 y （k 0）经过直角三角形 x斜边 OA 的中点 D ，且与直角边 AB 相交于点A12答案： BB9C6D9、已知点 A 在双曲线 y=

23、6 上，且 OA=4 ，过 A 作xACx 轴于1)则 AOCC ，OA 的垂直平分线交 OC 于 B 的面积 =，（2） ABC 的周长为答案：（1）3，2) 2 710( 2010，浙江义乌）如图，一次函数 y kx 2的图象与反比例函数 y m 的图象交于点x 一次函数的图象分别交 x 轴、P，点y 轴于点 C、D ，OC 1且 SPBD 4，OA 2求点 D 的坐标； 求一次函数与反比例函数的解析式； 根据图象写出当 x 0 时，一次函数的值大于反比例 函数的值的 x 的取值范围 .P 在第一象限 PAx 轴于点 A，PBy 轴于点 B1）2）3）答案】（1）在 y kx 2 中，令

24、x0 得 y 2 点D 的坐标为（ 0， 2）点 A 的坐标为（ 6 ， 4 ），则 AOC 的面积为RtDOC2) AP ODRt PAC AP6 OC 1 OD OC 1OA 2 AP AC 3又 BD 6 2 4由 SPBD4 可得 BP2 P(2， 6)把 P（2， 6）分别代入y kx 2 与 y可得次函数解析式为：y 2x+2 ，反比例函数解析式为：3）由图可得 x> 212yx检测题一、填空题1. 已知点 A （ -1，2），将它先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位后得到点 B 的坐标江香格里拉） ，临沧市某校学生小明在我省地图上设定了火炬传递起点昆明市位置点的坐

25、标为 （ 1，1），所在地临沧市位置点的坐标为0）则火炬传递终点香格里拉位置点的坐标为（A.(-1,3)B.(4,0)C.(-2,3)D.(-1,4)12.在平面直角坐标系中有6 个点 A1，5），5-3， 3 ），5-5，-1）， D（ -2， 2），E（3，53），F(52，2），其中有五个点在同一反比例函数图象上，不在这个反比例函数图象的点是（13.A. 点 CB. 点 DC.点 ED. 点 F如图中的三角形是有规律地从里到外逐层排列的.设 y 为第 n 层三角形的个数（ n 为正整数），则下列函数关系式正确的是（A. y=4n-4B.y=4n2D.y=n14.若 A （ a1， b1）

26、，C.y=4 n+42B （ a2 ， b2）是反比例函数 y 2 图象上的两点，且 a1< a2，则 b1 与xb2的大小关系是（A. b1 <b2B. b1 =b2C. b1 >b2D.大小不确定15.已知 M 点在反比例函数（ k<0）图象上，则它关于 y 轴对称的函数的表达式为（22A. y (x< 0) B. y (x> 0)xx2C. y (x> 0)x 13 题yM1-2 Ox416.如图，设 P 为 y在第一象限的图象上的任一点，点x作 PAy，过 P/作P/Ax交 PA于点 A，则 PAP/的面积（A. 等于 2B. 等于 4C.等于

27、 8217.（山西）已知圆柱的侧面积是20 cm2,若圆柱底面半径为AB2D. y (x< 0) y xP/P/A 16 题P 关于原点的对称点为 P/ ，过 PD.随 P 点的变化而变化rcm，高为 hcm，则 h 关于 r 的CD的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于53B. 小于 m443 D. 小于 m5p(kPa)18.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 p（kPa）是气体体积 V （m3）120kPa 时，气球将爆炸，为安全起见，气体的体积应（）A.不小于 5m3443C. 不小于 m35、解答题 （共 36 分 ）19.（德阳）某车间的甲

28、、乙两名工人分别生产同种零件，他们t（时）的函数关系如图 .1）根据图象填空：甲、乙中，先完成一天的生产任务；在生产过程中，因生产工具故障停止生产小时；当 t =时，甲、乙生产的零件个数相等；2）谁在哪一段时间内的生产速度最快？求出该段时间内，他每小时生产的零件个数k20.已知反比例函数 y （k 0）的图象与一次函数 y =3x+m 的图象相交于点（ 1，5）xt（ 时）1）求这两个函数的表达式；2）求这两个函数图象的另一个交点的坐标；3）作出大致图象，标出交点坐标 .1k21.如图，已知直线 y x 与双曲线 y （k 0） 交于点 A， B 两点，且点 A 的横坐标为 4.2x1）求 k

29、 的值；k2）若双曲线 y（k 0）上一点 C 的纵坐标为 8，求AOC 的面积；x（3）过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线 点 A 、B、 P、Q 为顶点的四边形面积为答案：一、填空题1、B（-3，5）；2、2<m<3； 3、（-2，-1）；4、（-3，4）；5、-1， 3）、（ -1， 2）、（ -1，1）、-2，2）、-2， 1）、（-3， 1）中任写一个；6、x-1 ，且 x3；7、 y100；8、-3；9、；10、 P15 1, 52 1二、选择题11、D；12、 B；13、B；14、D；15、 C； 16、C；17、A； 18、 C；三、解答题19、（1）甲，甲，2； 3 和 5.5；40 1074 k5)分别代入 y(k 0) 、x2）甲在 47 时的生产速度最快，10 ，这段时间每小时生产10 个机器零件 .20、（1）将 A （1，y =3 x+ m，求出 k=5 ，2）5yxy