二次函数在闭区间上的最值

1、2164,1,44yxx 2164,4,74yxx 2164,5,84yxx 2164,9,114yxx 求下列函数的最大值和最小值。1.2.3.4.学习目标：学习目标： 能利用数形结合、分类讨论思想求闭区间上二次函数最值重点：重点：二次函数在闭区间上最值（1）轴定区间变 （2）轴定区间定 （3）轴变区间定难点：难点： 数形结合、分类讨论思想 例例1.求函数求函数y=-x2-2x+3在区间在区间-2,3上的最值上的最值oxyX=-1-313-24-12解：解： y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4函数的对称轴为直线函数的对称轴为直线x=-1 -2 -1 3 当当x=-1=-1时，时，y的最

2、大值为的最大值为f(-1) =4当当x=3时，时，y的最小值为的最小值为f(3) =-12一、定函数定区间一、定函数定区间例例2、已知函数、已知函数y=ax2+2ax+1-a在区间在区间0,1上有最大值上有最大值2，求实数，求实数a的值的值yx10-1a0解：当解：当a=0时，时，f(x)=1（不合题意）当a0时，f(x)=a(x+1)2+1-2a，x0,1(1)当a0时，f(x)max=f(1)=2a+1=2， a=a= 0.50.5 二、定区间定轴动函数二、定区间定轴动函数例例2、已知函数、已知函数y=ax2+2ax+1-a在区间在区间0,1上有最大值上有最大值2，求实数，求实数a的值的值

3、yx10-1a0(2)当a0时，时，f(x)max=f(0)=1-a=2， a=-1a=-1例例2、已知函数、已知函数y=ax2+2ax+1-a在区间在区间0,1上有最大值上有最大值2，求实数，求实数a的值的值解：当解：当a=0时，时，f(x)=1（不合题意）当a0时，f(x)=a(x+1)2+1-2a，x0,1(1)当a0时，f(x)max=f(1)=2a+1=2， a= 0.5a= 0.5 (2)当a0时，时，f(x)max=f(0)=1-a=2， a=-1a=-1综上所述：a= 0.5 或a=-1yx10-1a0yx10-1a0解：解：函数的对称轴为直线函数的对称轴为直线x=a当当a0

4、时时y的最大值为的最大值为f(0) =1-a例例3 求函数求函数y =-x2+2ax+1-a在区间在区间0,1上的最大值上的最大值. yOx10X=a三、定区间动轴动函数三、定区间动轴动函数(2)当当 0 a1 时时y的最大值为的最大值为f(a)=a2-a+1 例例3 求函数求函数y =-x2+2ax+1-a在区间在区间0,1上的最大值上的最大值. Oxy10X=a(3)当当 a1 时时y的最大值为的最大值为f(1)=4+a 例例3 求函数求函数y =-x2+2ax+1-a在区间在区间0,1上的最大值上的最大值. xy10X=a例例3 求函数求函数y =-x2+2ax+1-a在区间在区间0,1

5、上的最大值上的最大值. 解：解：函数的对称轴为直线函数的对称轴为直线x=a当当a 0 时时 y的最大值为的最大值为f(0) =1-a(2)(2)当当 0 a1 时时 y的最大值为的最大值为f(a)=a2-a+1(3)(3)当当 a1 时时 y的最大值为的最大值为f(1)=4+a yOx10X=aOxy10X=axy10X=a思考思考1：函数：函数y =-x2+2ax+1-a在区间在区间0,1上的最大值为上的最大值为2，求，求a的值的值.解：解：函数的对称轴为直线函数的对称轴为直线x=a当当a 0时时 当当x=0 x=0时时y y的最大值为的最大值为2 2 a=-1a=-1(2)(2)当当 0

6、0 a a1 1时时当当x=ax=a时时y y的最大值为的最大值为2 2 a=-1a=-1（舍去）（舍去）(3)(3)当当 a1a1时时当当x=1x=1时时y y的最大值为的最大值为2 2 a=2a=2综上所述：综上所述：a=-1a=-1或或a=2a=2yOx10X=aOxy10X=axy10X=a思考思考2：求函数：求函数y =-x2+2ax+1-a在区间在区间0,1上的最小值上的最小值.yOx10X=aOxy10X=axy10X=a思考思考2：求函数：求函数y =-x2+2ax+1-a在区间在区间0,1上的最小值上的最小值.1 1）当）当 时， y的最小值为f(1)=4+a 2 2）当）当

7、 时， y的最小值为f(0)=1-a 2121Oxy10X=a解：解：函数的对称轴为直线函数的对称轴为直线x=ax=a解：解：函数的对称轴为直线函数的对称轴为直线x=a当当a0 时时y的最小值为的最小值为f(1) =4+ay y的最大值为的最大值为f(0) =1-a变题变题1 求函数求函数y =-x2+2ax+1-a在区间在区间0,1上的最值上的最值. yOx10X=a(2)当当 0 a a1 1 时时y y的最大值为的最大值为f(a)=af(a)=a2 2-a+1-a+1 1 1）当）当0 0 a a 时， y的最小值为f(1)=4+a 2 2）当）当1 1 a a 时， y的最小值为f(0

8、)=1-a 2121变题变题1 求函数求函数y =-x2+2ax+1-a在区间在区间0,1上的最值上的最值. Oxy10X=a(3)当当 a1a1 时时y y的最大值为的最大值为f(1)=4+af(1)=4+ay的最小值为f(0)=1-a 变题变题1 求函数求函数y =-x2+2ax+1-a在区间在区间0,1上的最值上的最值. xy10X=a变题变题1 求函数求函数y =-x2+2ax+1-a在区间在区间0,1上的最值上的最值. 解：解：函数的对称轴为直线函数的对称轴为直线x=a当当a 0 时时 y y的最大值为的最大值为f(0) =1-f(0) =1-a a y y的最小值为的最小值为f(1

9、) =4+f(1) =4+a a(2)(2)当当 0 0 a a1 1 时时 y y的最大值为的最大值为f(a)=af(a)=a2 2-a+1-a+1 1 1）当）当0 0 a a 时， y的最小值为f(1)=4+a 2 2）当）当1 1 a a 时， y的最小值为f(0)=1-a(3)(3)当当 a1 a1 时时 y y的最大值为的最大值为f(1)=4+af(1)=4+a y的最小值为f(0)=1-a2121yOx10X=aOxy10X=axy10X=ayOx10X=aOxy10X=axy10X=a求二次函数求二次函数f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c+bx+c在在mm，nn上的最

10、值的方上的最值的方法：一看开口方向；二看对称轴与区间的关系法：一看开口方向；二看对称轴与区间的关系. . （2 2）当）当x x0 0mm，nn时，时，f(m)f(m)、f(n)f(n)、f(xf(x0 0） 中的较大者是最大值中的较大者是最大值, ,较小者是最小值；较小者是最小值； （1）检查）检查x0= 是否属于是否属于 m，n；ab2（3 3）当）当x x0 0 m m，nn时，时，f(m)f(m)、f(n)f(n)中的较大中的较大 者是最大值，较小者是最小值者是最大值，较小者是最小值. .O-2xy2-1 1.分别在下列各范围上求函数分别在下列各范围上求函数y=x2+2x3的最值的最值

11、.22 x(2)31 x(3)(1) Rax 2(4)31ymin=-4，无最大值ymax=5ymin=-4ymax=12ymin=0O-2xy2-122 x(2)(3)(1) R31 x(3)ax 2(4)当当-2 a-1时时aymax=-3,ymin=a2+2a-3 1.分别在下列各范围上求函数分别在下列各范围上求函数y=x2+2x3的最值的最值.O-2xy2-122 x(2)31 x(3)(1)Rax 2(4)当当-1 a 0时时a当当-2 a0时时a当当-1 a 0时时当当-2 a-1, - ,对称轴在x= - 的右边.2a2121(1)当 -1 a时,即a0时,由二次函数图象2a可知

12、: ymax =f ( )= 2a4a24a22axyo-1a(2)当a 时,即-1a0时, 2a五、动轴动区间五、动轴动区间综上所述:当-1a-1, - ,对称轴在x= - 的右边.2a2121(1)当 -1 a时,即a0时,由二次函数图象2a可知: ymax =f ( )= 2a4a2(2)当a 时,即-1a0时, 2a4a24a22aaxyo-1由二次函数的图象可知: ymax =f (a)=0) ( ,) 10(2 1. 22的取值范围是则最大值是的函数aaxaxxy1,0 D. 2,0 C. 0,2 B. 0,1 A. . 01, 10,)( 2max22Daaayaxaaxy故选故

13、有由于对称轴为 f(x) 在区间在区间 0, 2 上的最小上的最小值为值为 3, 可分情况讨论如下可分情况讨论如下:2.已知函数已知函数 f(x)=4x2- -4ax+a2- -2a+2 在区间在区间 0, 2 上有最小值上有最小值 3, 求实数求实数 a 的值的值.解解: 由已知由已知 f(x)=4(x - - )2 - - 2a+2. a2a2(1)当当 0, 即即 a0 时时, 函数函数 f(x) 在在 0, 2 上是增函数上是增函数. f(x)min=f(0)=a2- -2a+2. a2(2)当当 0 2, 即即 0a4 时时, a2f(x)min=f( )=- -2a+2. 由由 -

14、 -2a+2=3 得得: a=- - 12 (0, 4), 舍去舍去. a2(3)当当 2, 即即 a4 时时, 函数函数 f(x) 在在 0, 2 上是减函数上是减函数. f(x)min=f(2)=a2- -10a+18. 由由 a2- -2a+2=3 得得: a=1 2 . a0, a=1- - 2. 由由 a2- -10a+18=3 得得: a=5 10. a4, a=5+ 10. 综上所述综上所述, a=1- - 2 或或 a=5+ 10. 完全达标教学完全达标教学1、已知函数f(x)=2x2-2ax+3在区间-1,1上有最小值g(a),求g(a)的函数表达式，并求g(a)的最大值。2

15、、已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间0,m上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是 。 3、函数f(x)=ax2+2ax+1在区间-3,2上有最大值4，求实数a的值。求二次函数求二次函数f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c+bx+c在在mm，nn上的最值的方上的最值的方法：一看开口方向；二看对称轴与区间的关系法：一看开口方向；二看对称轴与区间的关系. . （2 2）当）当x x0 0mm，nn时，时，f(m)f(m)、f(n)f(n)、f(xf(x0 0） 中的较大者是最大值中的较大者是最大值, ,较小者是最小值；较小者是最小值； （1）检查）检查x0= 是否属于是否属于 m，n；ab2（3 3）当）当x x0 0 m m，nn时，时，f(m)f(m)、f(n)f(n)中的较大中的较大 者是最大值，较小者是最小值者是最大值，较小者是最小值. .回顾小结：回顾小结：1、数学结合数学结合在求闭区间上二闭区间上二次函数的最值中的应用次函数的最值中的应用2、分类讨论分类讨论在求闭区间上二次闭区间上二次函数的最值中的应用（含参数）函数的最值中的应用（含参数）讨论顶点是否在此闭区间。（即对称轴）还要看开口方向。以开口向上为例，