湖南科技学院建设课程第二节第二类曲线积分课件

1、湖南科技学院精品建设课程湖南科技学院精品建设课程第二节第二节 第二类曲线积分第二类曲线积分一、问题的提出一、问题的提出二、第二类曲线积分的概念二、第二类曲线积分的概念四、小结四、小结三、第二类曲线积分的计算三、第二类曲线积分的计算湖南科技学院精品建设课程湖南科技学院精品建设课程oxyABL一、问题的提出1 nMiM1 iM2M1Mix iy 实例实例: : 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功,:BALjyxQiyxPyxF),(),(),( 常力所作的功常力所作的功分割分割.),(,),(,1111110BMyxMyxMMAnnnn .)()(1jyixMMiiii .ABFW 湖南科技学院

2、精品建设课程湖南科技学院精品建设课程求和求和. ),(),(1 niiiiiiiyQxP 取极限取极限. ),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW 近似值近似值精确值精确值,),(),(),(jQiPFiiiiii 取取,),(1iiiiiMMFW .),(),(iiiiiiiyQxPW 即即 niiWW1oxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ix iy 湖南科技学院精品建设课程湖南科技学院精品建设课程二、第二类曲线积分的概念,0.),(,).,;, 2 , 1(),(,),(),(.),(),(,11101111222111时时长度的最大值长度的最大值如果当各小弧段

3、如果当各小弧段上任意取定的点上任意取定的点为为点点设设个有向小弧段个有向小弧段分成分成把把上的点上的点用用上有界上有界在在函数函数向光滑曲线弧向光滑曲线弧的一条有的一条有到点到点面内从点面内从点为为设设 iiiiiiiiiiniinnnMMyyyxxxBMAMniMMnLyxMyxMyxMLLyxQyxPBAxoyL1.定义定义湖南科技学院精品建设课程湖南科技学院精品建设课程.),(lim),(,(),(,),(101iiniiLniiiixPdxyxPxLyxPxP 记作记作或称第二类曲线积分）或称第二类曲线积分）积分积分的曲线的曲线上对坐标上对坐标在有向曲线弧在有向曲线弧数数则称此极限为函

4、则称此极限为函的极限存在的极限存在类似地定义类似地定义.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ ,),(),(叫做被积函数叫做被积函数其中其中yxQyxP.叫叫积积分分弧弧段段L湖南科技学院精品建设课程湖南科技学院精品建设课程2.存在条件：存在条件：.,),(),(第二类曲线积分存在第二类曲线积分存在上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当LyxQyxP3.组合形式组合形式 LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxdsjQiPF 其其中中. LdsF湖南科技学院精品建设课程湖南科技学院精品建设课程4.4.推广推广 空间有向曲线弧空间有

5、向曲线弧.),(lim),(10iiiniixPdxzyxP . RdzQdyPdx.),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ .),(lim),(10iiiniizRdzzyxR 湖南科技学院精品建设课程湖南科技学院精品建设课程5.5.性质性质.,)1(2121 LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL则则和和分成分成如果把如果把则则有向曲线弧有向曲线弧方向相反的方向相反的是与是与是有向曲线弧是有向曲线弧设设,)2(LLL 即第二类曲线积分与曲线的方向有关即第二类曲线积分与曲线的方向有关. LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(湖南科技学院精品

6、建设课程湖南科技学院精品建设课程三、第二类曲线积分的计算,),(),(, 0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存在存在则曲线积分则曲线积分且且续导数续导数一阶连一阶连为端点的闭区间上具有为端点的闭区间上具有及及在以在以运动到终点运动到终点沿沿的起点的起点从从点点时时到到变变单调地由单调地由当参数当参数的参数方程为的参数方程为续续上有定义且连上有定义且连在曲线弧在曲线弧设设 LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP 定理定理湖南科技学院精品建设课程湖南科技学院精品建设课程dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),(

7、),(),( 且且特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，终点为，终点为起点为起点为 .)()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL 则则.)(:)2(dcyyxxL，终终点点为为起起点点为为 .),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 则则即：即：“变量参数化，起参值作下变量参数化，起参值作下”湖南科技学院精品建设课程湖南科技学院精品建设课程.,)()()(:)3( 终终点点起起点点推推广广ttztytx dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),( 湖南科技学院精品建设课程湖南科技学院

8、精品建设课程(4) 两类曲线积分之间的联系：两类曲线积分之间的联系：,)()( tytxL ：设设有有向向平平面面曲曲线线弧弧为为,),( 为为处的切线向量的方向角处的切线向量的方向角上点上点yxL LLdsQPQdyPdx)coscos(则则其中其中,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt （可以推广到空间曲线上（可以推广到空间曲线上 ） 湖南科技学院精品建设课程湖南科技学院精品建设课程,),( 为为处处的的切切线线向向量量的的方方向向角角上上点点zyx dsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(则则 dstA rdA, dsAt可用向量表示可用向量表示，其其中

9、中,RQPA ,cos,cos,cos t,dzdydxdstrd 有向曲线元；有向曲线元；.上上的的投投影影在在向向量量为为向向量量tAAt处的单位切向量处的单位切向量上点上点),(zyx 湖南科技学院精品建设课程湖南科技学院精品建设课程例例1.)1 , 1()1, 1(,2的一段弧的一段弧到到上从上从为抛物线为抛物线其中其中计算计算BAxyLxydxL 解解的定积分，的定积分，化为对化为对x)1(.xy OBAOLxydxxydxxydx 1001)(dxxxdxxx 10232dxx.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B湖南科技学院精品建设课程湖南科技学院精品建设课程的的定定积

10、积分分，化化为为对对y)2(,2yx ABLxydxxydx 1122)(dyyyy. 11到到从从 y 1142dyy.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B湖南科技学院精品建设课程湖南科技学院精品建设课程.)0 ,()0 ,()2(;)1(,2的直线段的直线段轴到点轴到点沿沿从点从点的上半圆周的上半圆周针方向绕行针方向绕行、圆心为原点、按逆时、圆心为原点、按逆时半径为半径为为为其中其中计算计算aBxaAaLdxyL 例例2解解,sincos:)1( ayaxL，变到变到从从 0)0 ,(aA)0 ,( aB 0原式原式 daa)sin(sin22 湖南科技学院精品建设课程湖南科技学

11、院精品建设课程)0 ,(aA)0 ,( aB .343a , 0:)2( yL，变到变到从从aax aadx0原原式式. 0 问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同路径不同积分结果不同. 03a)(cos)cos1(2 d 湖南科技学院精品建设课程湖南科技学院精品建设课程例例3).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依依次次是是点点，这这里里有有向向折折线线的的一一段段弧弧到到上上从从抛抛物物线线的的一一段段弧弧到到上上从从抛抛物物线线为

12、为其其中中计计算算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL 2xy )0 , 1(A)1 , 1(B解解.)1(的的积积分分化化为为对对 x, 10,:2变变到到从从xxyL 1022)22(dxxxxx原原式式 1034dxx. 1 湖南科技学院精品建设课程湖南科技学院精品建设课程) 0 , 1 (A)1 ,1(B2yx .)2(的积分的积分化为对化为对 y,10,:2变到变到从从yyxL 1042)22(dyyyyy原原式式 1045dxy. 1 )0 , 1(A)1 , 1(B)3( ABOAdyxxydxdyxxydx2222原原式式湖南科技学院精品建设课程湖南科技学院精品建设课程,上上在在 OA,10, 0变变到到从从xy 1022)002(2dxxxdyxxydxOA. 0 ,上上在在 AB,10, 1变变到到从从yx 102)102(2dyydyx