2024-2025学年高中数学第三章函数的应用3.2.2函数模型的应用举例课时跟踪训练含解析新人教A版必修1

PAGE函数模型的应用举例[A组学业达标]1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t改变的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是()A．分段函数 B．二次函数C．指数函数 D．对数函数解析：由图可知，该图象所对应的函数模型是分段函数模型．答案：A2．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是()答案：A3．用长度为24m的材料围成一个矩形家禽养殖场，中间加两道隔墙，要使矩形面积最大，隔墙长度应为()A．3 B．4C．5 D．6解析：设隔墙长度为xm，则矩形的一边长为xm，另一边长为eq\f(24－4x,2)m，∴S＝x·eq\f(24－4x,2)＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18(0<x<6)∴当x＝3时，S取最大值．故选A.答案：A4．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1000＋5x＋eq\f(1,10)x2，Q＝a＋eq\f(x,b)，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有()A．a＝45，b＝－30 B．a＝30，b＝－45C．a＝－30，b＝45 D．a＝－45，b＝－30解析：设生产x吨产品全部卖出所获利润为y元，则y＝xQ－P＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(x,b)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1000＋5x＋\f(1,10)x2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－\f(1,10)))x2＋(a－5)x－1000，其中x∈(0，＋∞)．由题意知当x＝150时，y取最大值，此时Q＝40.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a－5,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－\f(1,10))))＝150，,a＋\f(150,b)＝40，))整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝35－\f(300,b)，,a＝40－\f(150,b)，))解得a＝45，b＝－30.答案：A5．生产某机器的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为__________台．解析：设支配生产x台，则获得利润f(x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2500.故当x＝50台时，获利润最大．答案：506．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，则这两个三角形面积之和的最小值为__________．解析：设一个三角形的边长为xcm，则另一个三角形的边长为(4－x)cm，两个三角形的面积和为S＝eq\f(\r(3),4)x2＋eq\f(\r(3),4)(4－x)2＝eq\f(\r(3),2)[(x－2)2＋4]≥2eq\r(3)cm2.当x＝2cm时，Smin＝2eq\r(3)cm2.答案：2eq\r(3)cm27．某化工厂准备投入一条新的生产线，但须要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝eq\f(1,2)n(n＋1)(2n＋1)吨，但假如年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为爱护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是__________年．解析：由题意知，第一年产量为a1＝eq\f(1,2)×1×2×3＝3；以后各年产量分别为an＝f(n)－f(n－1)＝eq\f(1,2)n(n＋1)(2n＋1)－eq\f(1,2)n(n－1)(2n－1)＝3n2(n∈N*)，令3n2≤150，得1≤n≤5eq\r(2)⇒1≤n≤7，故生产期限最长为7年．答案：78．为了爱护学生的视力，课桌椅的高度都是按肯定的关系配套设计的．探讨表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y应是x的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度：第一套其次套椅子高度x(cm)40.037.0桌子高度y(cm)75.070.2(1)请你确定y与x的函数解析式(不必写出x的取值范围)；(2)现有一把高42.0cm的椅子和一张高78.2cm的课桌，它们是否配套？为什么？解析：(1)依据题意，课桌高度y是椅子高度x的一次函数，故可设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)．将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数解析式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(40k＋b＝75，,37k＋b＝70.2，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1.6，,b＝11，))所以y与x的函数解析式是y＝1.6x＋11.(2)把x＝42代入(1)中所求的函数解析式中，有y＝1.6×42＋11＝78.2.所以给出的这套桌椅是配套的．9．某种商品进价每个80元，零售价每个100元，为了促销拟实行买一个这种商品，赠送一个小礼品的方法，实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在有盈利的条件下，礼品价值为n＋1元时，比礼品价值为n元(n∈N*)时的销售量增加10%.(1)写出礼品价值为n元时，利润yn(元)与n的函数关系式；(2)请你设计礼品价值，以使商店获得最大利润．解析：(1)设未赠礼品时的销售量为m，则当礼品价值为n元时，销售量为m(1＋10%)n.利润yn＝(100－80－n)·m·(1＋10%)n＝(20－n)m×1.1n(0<n<20，n∈N*)．(2)令yn＋1－yn≥0，即(19－n)m×1.1n＋1－(20－n)m×1.1n≥0，解之得n≤9，所以y1<y2<y3<…<y9＝y10，令yn＋1－yn＋2≥0，即(19－n)m×1.1n＋1－(18－n)m×1.1n＋2≥0，解得n≥8，所以y9＝y10>y11>…>y19，所以礼品价值为9元或10元时，商店获得最大利润．[B组实力提升]1．某公司聘请员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x，1≤x＜10，x∈N，,2x＋10，10≤x＜100，,1.5x，x≥100，x∈N，))x∈N，其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为()A．15 B．40C．25 D．130解析：若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满意题意；若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意．故拟录用25人．答案：C2．“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t＝－144lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(N,90)))中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数，则当N＝40时，t＝__________.(lg2≈0.301，lg3≈0.477)解析：当N＝40时，则t＝－144lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(40,90)))＝－144lgeq\f(5,9)＝－144(lg5－2lg3)＝36.72.答案：36.723．某地区发生里氏8.0级特大地震．地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：强度(J)1.6×10193.2×10194.5×10196.4×1019震级(里氏)5.05.25.35.4注：地震强度是指地震时释放的能量．地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝algx＋b(其中a，b为常数)．利用散点图可知a的值等于__________．(取lg2＝0.3进行计算)解析：由记录的部分数据可知x＝1.6×1019时，y＝5.0，x＝3.2×1019时，y＝5.2.所以5.0＝alg(1.6×1019)＋b①5．2＝alg(3.2×1019)＋b②②－①得0.2＝algeq\f(3.2×1019,1.6×1019)，0.2＝alg2.所以a＝eq\f(0.2,lg2)＝eq\f(0.2,0.3)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)4．某地区为响应上级号召，在2024年初，新建了一批有200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民居住．由于下半年受物价的影响，依据本地区的实际状况，估计今后住房的年平均增长率只能达到5%.(1)经过x年后，该地区的廉价住房为y万平方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；(2)作出函数y＝f(x)的图象，并结合图象，求经过多少年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米？解析：(1)经过1年后，廉价住房面积为200＋200×5%＝200(1＋5%)；经过2年后为200(1＋5%)2；…经