2021版高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的几何性质(一)学案苏教版选修2-1

1、222 椭圆的几何性质一.2.根据几何学习目标1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形 条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出图象.事知识械理一自主学习知识点一椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上图形fit空丸 X? 1标准方程2 2x ya2+b= 1(a>b>0)2 2+ £- 1( a>b>0)范围a< x< a, - b< yw bb< x< b, a< yw a顶点A( a,0), A2( a, 0),B(0， b) , B(0 , b)A(0 , a) , A2(

2、0 , a),B( b,0) , B(b,0)轴长短轴长色，长轴长2a焦占八 '、八、(±7a2 b2, 0)(0 ,± 7 a2 b2)焦距F1F2 2ja2- b2对称性对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点离心率ce? (0,1)知识点二离心率的作用当椭圆的离心率越接近 1,那么椭圆越扁；当椭圆离心率越接近0，那么椭圆越接近于圆.题型探究重点突破题型一椭圆的简单几何性质例1求椭圆25x2+ y2= 25的长轴和短轴的长及焦点和顶点坐标.2解 把方程化成标准方程为 鲁+ x2= 1,25贝V a= 5, b= 1.所以 c= 25 1 = 2 6 ,因此，椭圆的长轴

3、长 2a = 1° ,短轴长2b= 2 ,两个焦点分别是Fi(0，- 2 6) , F2(0,26),椭圆的四个顶点分别是Ai(O, 5) , A(0,5) , B( 1,0) , B2(1,0).反思与感悟 解决此类问题的方法是先将所给方程化为标准形式,然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上， 再利用a, b, c之间的关系和定义,就可以得到椭圆相应的几何性质.跟踪训练1求椭圆nix2 3 * *+ 4niy2= 1 n>°的长轴长、短轴长、 解 椭圆的方程mix2 + 4miy2= 1 m>°可转化为2 2x y+ = 1.1 1m 4m焦点坐

4、标、顶点坐标和离心率.2 2 11m<4m , . m>4m，二椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长1 一 1a= m短半轴长b=2m半焦距椭圆的长轴长2a=m短轴长焦点坐标为-孟，°，0),一 1顶点坐标为帝°,m °，1o,乔，°，12m).c 2m >/3离心率e=丁ai2m题型二由椭圆的几何性质求方程例2 求满足以下各条件的椭圆的标准方程.椭圆的中心在原点，焦点在 y轴上，其离心率为i2,焦距为8;2 2椭圆的标准方程是64+ 48=1.C 2 I(I)由 e=a= 3得 c = 3a,b2 = 80,2亠=180144又 2 b=

5、 8 5, a 2 2 2 2 2 1 2 = b2 + c2，所以 a2 = 144,2 2 2 所以椭圆的标准方程为 鸟+扫=1或X14480反思与感悟在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程组确定a，b,这就的形式；假设不能确定焦点所在的坐标轴，那么应进行讨论，然后列方程 是我们常用的待定系数法.跟踪训练2椭圆过点3,0，离心率e = ¥，求椭圆的标准方程.3解所求椭圆的方程为标准方程, 又椭圆过点3,0 ,点3,0为椭圆的一个顶点.当椭圆的焦点在 x轴上时，3,0为右顶点，那么a= 3,e=a=f , c=¥a=¥x b = a

6、 c = a 3a=3a=6, b2 = a2 c2 = 32 ( 6) 2= 9 6= 3,2 2椭圆的标准方程为X；+号=1.93当椭圆的焦点在 y轴上时，3,0为右顶点，那么b= 3,c 66 a2= 3b2= 27,.椭圆的标准方程为22y x+ = i27十92综上可知，椭圆的标准方程是*+393题型三求椭圆的离心率例3如下图，Fi, F2分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上的点横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的离心率.解 设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为a, b, c.yh9M的I，求椭圆的I那么焦点为Fi( c, 0) , F2(c, 0) , M点的坐标为(c

7、, -b),e=a=, c=a,且厶MFF2为直角三角形.在 Rt MFF2 中，FF2+ mF= mF,即 4c2+ 9b2 = mF而 MF+ MF=23b = 2a,整理得 3c2= 3a2 2ab.又c2 = a2 b2，所以3b= 2a.所以b2 4a2=9.22 C所以e2 = 2=a222a b b2- = 1 2 aa5,所以e=e =反思与感悟 求椭圆离心率的方法:C直接求出a和c,再求e=-,也可利用a假设a和c不能直接求出，那么看是否可利用条件得到 a和c的齐次等式关系，然后整理成C的a形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e的方程，进而求解.跟踪训练3椭圆C以坐标轴为

8、对称轴， 长轴长是短轴长的 5倍，且经过点A(5,0),求 椭圆C的离心率.解假设焦点在x轴上，得2a = 5x2 b, a= 5,250解得2 + 2= 1,b= 1,a b c =a2 b2=52 12= 2 6,C 2 6 e a 5 ；2a= 5x2 b,焦点在y轴上，得025.2+ b2 =1 ,a b得 a 25 c= a2 b2= 252 52= 10 6,b= 5,=c = 10V6=症 e=a=刁r=2击故椭圆C的离心率为1. 椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(一10,0)，那么焦点坐标答案(0 ,±69)解析 由题意知椭圆的焦点在 y

9、轴上，且a= 13, b= 10，贝U c = a2 b2 =； 69,故焦点坐标为(0 ,±69).2. 如图，直线I : x 2y+ 2 = 0过椭圆的左焦点R和一个顶点该椭圆的离心率为-y = 1x+1,而 b2C12,一22a c 1C2=2,o2_5C2 = 43.假设一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，那么该椭圆的离心率是答案解析由题意有，2a+ 2c = 2(2 b)，即 a+ c = 2b,=a2 b2，消去b整理得5c2= 3a2 2ac,4.23、5e + 2e 3= 0,二 e=或 5e= 1(舍去).假设焦点在y轴上的椭圆-+与=1的离心率为1，那

10、么m的值为m 223答案2解析焦点在y轴上， 0< m<2,a= 2, b= ,m c = '2 mc 1 七一m 1 +3又 e= a=12 = 1，解得 m= 2.5.椭圆25x2 + 9y2= 225的长轴长，短轴长，离心率依次为 “亠4答案 10,6 ,-52 2解析由题意，将椭圆方程化为标准式为25+x=1,解析/ x 2y + 2 = 0,由此可得a= 5, b= 3, c = 4,4.2a= 10,2 b= 6, e= 5.L课堂"结11.椭圆的方程讨论性质时，假设不是标准形式，应先化成标准形式.2 根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其根本思路是“先定型，再定量，常用的方法是待定系数法.在椭圆的根本量中， 能确定