2021版高中数学第二章数列2.2.2等差数列的通项公式学案苏教版必修5

1、222 等差数列的通项公式【学习目标丨1.掌握等差数列通项公式的推导及应用.2.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.3.能运用等差数列的性质解决有关问题.u问题导学知识点一等差数列的通项公式思考 等差数列an中，首项为ai，公差为d,如何用ai, d表示an?梳理 一般地，an= ai+ (n 1)d称为等差数列an的通项公式.知识点二等差数列通项公式的几何意义思考 等差数列an的首项ai和公差d能表示出通项公式an= ai + (n l)d,如果第m项am和公差d,又如何表示通项公式an?梳理 等差数列通项公式可变形为an= dn+ (ai d)，其图象为一条直线上孤立的一系列点，(

2、i , ai) ,(m,am), (n, an)都是这条直线上的点.d为直线的斜率，故两点(i ,ai),(n,an)an aian am连线的斜率d=.当两点为(n, an) , (m, a"时，有d=.nin m知识点三等差数列的性质思考 还记得高斯怎么计算 i + 2+ 3+-+ i00的吗？ai +梳理 在有穷等差数列中，与首末两项“等距离的两项之和等于首项与末项的和即an= a2+ an -1 = a3+ an- 2=.注意到上式中的序号 1 + n= 2+ (n- 1)=，.特别地，假设有：在等差数列an中，假设n= p+ q(m, n, p, q N*)，贝U a卄 a

3、n=n= 2p,贝U an+ am=题型探究类型一求等差数列的通项公式 例1甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度:时间t(s)123？60距离s(cm)9.819.629.449？(1)你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？利用建立的模型计算，甲虫1 min能爬多远？它爬行 49 cm需要多长时间?反思与感悟由于an= am+ (n-m)d,要求通项公式，只需求出该数列的任意一项和公差.跟踪训练1等差数列an : 3,7,11,15，.(1)135,4 m 19(m N)是an中的项吗？试说明理由； 假设ap, aq(p, q N*)是数列a

4、n中的项，那么2ap + 3aq是数列an中的项吗？并说明你的理由.类型二 等差数列通项公式及推广形式的应用命题角度 1 列方程 组 求根本量例2在等差数列an中，a2= 5, a8= 17,求数列的公差及通项公式.反思与感悟 把条件转化为关于 a1， d 的方程组求解， 是一种常用思想， 称为方程思想 活利用等差数列的性质,可以减少运算量.跟踪训练2 等差数列an为递减数列，且 a2+ a4= 16, aias = 28,求数列an的通项公式.命题角度 2 等差数列的通项公式与一次函数关系 例3数列an的通项公式为an= pn+q,其中p, q为常数，那么这个数列一定是等差 数列吗？假设是，

5、首项和公差分别是多少？反思与感悟 从通项公式代数特点上看，an= kn+ bk,b为常数，n N? an是等差数列.其 中公差为 k. 借助这一性质可以迅速判断某数列是否为等差数列,但不宜用来证明 证明要用定义：an+1 an= d, n N .跟踪训练3假设an是等差数列，以下数列中仍为等差数列的有 个.| an|: an+ 1 an；pan+ q p, q 为常数：2 an+ n.类型三 等差数列性质的应用例4等差数列an中，ai+ a4+ a?= 15, a2a4a6= 45,求此数列的通项公式.引申探究1. 在本例中，不难验证ai + a4 + a7 = a> + a4 + a6

6、，那么，在等差数列a中，假设m+ n+ p= q + r + s, m, n, p, q, r, s N*，是否有 am+ a + ap= aq+ ar + as?2. 在等差数列an中，as+ a8= 10,贝U 3a5 + a? =.反思与感悟 解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列an的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差求解，属于通项方法；或者兼而有之这些方 法都运用了整体代换与方程的思想.跟踪训练4 在等差数列an中，ai+ a4+ a? = 39,比+ a5 + a8= 33,求as+ a6 + ao的值.当堂训练1. 在等差数列an中，a3= 10,

7、a8=- 20,那么公差d=2. 在等差数列an中，a4= 2, a8= 14,贝U ai5=3. 等差数列an中，a4 + as = 15, a7= 12,那么 a2 =.4 .以下命题中正确的选项是 .假设a,b,c成等差数列，那么a2, b2, c2成等差数列;假设a,b,c成等差数列，那么log 2a, log 2b, log 2C 成等差数列;假设a,b,c成等差数列，那么假设a,b,c成等差数列，那么a+ 2, b+ 2, c + 2成等差数列;2a，2b，2c成等差数列.规律与方法1. 等差数列an中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等 差数列.2.

8、在等差数列an中，首项a1与公差d是两个最根本的元素，有关等差数列的问题，如果条 件与结论间的联系不明显，那么均可根据 a1, d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变 形及整体计算，以减少计算量.合案精析问题导学知识点一思考 an= ai+ (a2 ai) + (a3 a?) + (an an-1)=ai + d+ d+ d+ n -1 个=ai + ( n- 1) d.知识点二思考设等差数列的首项为ai,那么 am= ai + (m- 1) d,变形得 a1 = am (m-1)d,那么 an= a1 + ( n- 1) d=am- (m- 1) d+ ( n - 1) d=am+ (

9、n- m d.知识点三思考利用 1 +100 = 2+99 = .梳理ap+ aq 2ap题型探究例1解(1)由题目表中数据可知， 该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数 9.8 , 所以该模型是一个等差数列模型因为a1= 9.8, d= 9.8，所以甲虫的爬行距离 s与时间t的关系是s= 9.81.(2)当 t = 1 min = 60 s 时，s = 9.81 = 9.8 x 60= 588(cm).s 49当 s = 49 cm 时，t = 9 =甫=5(s) 跟踪训练1 解a1= 3, d= 4,an= a1+ (n- 1) d= 4n 1.(1)令 an= 4n 1= 135,

10、 n= 34, 135是数列an中的第34项.令 an= 4n - 1 = 4m+ 19,那么 n = m+ 5(m, n N). 4耐19是数列an中的第nu 5项.a, aq是数列an中的项， ap= 4p 1, aq= 4q 1.'2 ap + 3aq= 2(4 p 1) + 3(4 q 1) =8p12q5=4(2p3q1)1， 其中 2p+ 3q 1 N*, 2 ap + 3aq是数列an中的第2p+ 3q 1项.例 2 解 方法一 设公差为 d ，a2 = a1 + d= 5 ，那么a8 = a1 + 7d= 17，a1= 3，解得d= 2，所以 ch= a1 + (n 1

11、)d = 3+ (n 1) x 2= 2n + 1.方法二 因为 a8= a2+ (8 2)d，所以17= 5+ 6d,解得d= 2.又因为 an= a2+ (n 2)d，所以 an= 5+ (n 2) x 2= 2n+ 1.a1+ a5= 16，跟踪训练 2 解 a2+ a4= a1+ a5= 16，所以a1a5= 28，又 a1>a5，故 a1= 14, as = 2, d= 3,故 an=143(n1)=173n.例3 解 取数列 an中任意相邻两项 an和an-1 (n>1),求差得 anan1=(pn+ q)p(n1)+ q=pn+q(pnp+ q)=p.它是一个与n无关

12、的常数，所以&是等差数列.由于 an= pn+q=q+p+(n1) p，所以首项a1 = p + q,公差d= p.跟踪训练 33例 4 解 方法一 因为 a1 + a7= 2a4,所以 a1+ a4+ a7= 3a4= 15,即 a4= 5.又因为 a2a4a6= 45,所以 a2a6= 9,即(a4 2d)( a4+ 2d) = 9, (5 2d)(5 + 2d) = 9,解得 d=± 2.假设 d= 2， an= a4+ (n 4)d= 2n 3；假设 d= 2， an= a4+ ( n 4) d= 13 2n.方法二 设等差数列的公差为d，那么由 a+ a4 + a7

13、= 15,得ai + ai + 3d+ ai + 6d = 15,即 ai + 3d = 5, 由 a2a4a6= 45, 得(ai + d)( ai+ 3d)( ai + 5d) = 45, 将代入上式，得(ai+ d) x 5x(5 + 2d) = 45,即(ai + d) x(5 + 2d) = 9,解，组成的方程组，得 ai=i, d= 2 或 ai=ii, d=2, 所以 &= i+ 2(n i) = 2n 3 或 an=ii2(ni)=2n+i3.引申探究i .解设公差为d,贝U am= ai+ (m-1) d,an= ai+ (n i) d, ap= ai+ (p i) d, aq= ai+ (q i) d, ar=ai+(ri) d, as= ai + (s i) d,am+ an + ap= 3ai + (m+ n + p 3) d, aq+ar+as=3ai+(q+r+s3)d,/ m+ n+ p= q+ r + s,. am+ an+ ap= aq+ ar+ as.2. 20解析/ a3+ a8= iO, . a3+ a3+ a8+ a8= 20.3+ 3+ 8+ 8 = 5 + 5+ 5+ 7,. a3+ a3+ a8+ a8= a5+ a5+ a5+ a7,即 3a5+ a7= 2(a3+