2021版高中数学第二章函数疑难规律方法学案新人教B版必修1

1、第二章函数一、换元法例 1 f ( x+ 1) = x+ 2 x,求 f (x).分析 采用整体思想，可把 f(.x+ 1)中的“ .x+ 1看做一个整体，然后采用另一参数替 代.解 令 t = x+ 1,那么 x= (t 1)2(t > 1),代入原式有 f (t) = (t 1) + 2( t 1) = t 1. f (x) = x2 1(x> 1).评注 将接受对象“.X+1换作另一个元素(字母)“t，然后从中解出x与t的关系,代入原式中便求出关于“ t的函数关系，此即为函数解析式，但在利用这种方法时应注意 自变量取值范围的变化，否那么就得不到正确的表达式此法是求函数解析式时

2、常用的方法.二、待定系数法 2例2f (x)为二次函数，且f(x + 1) + f (x 1) = 2x 4x,求f (x)的表达式.2解设 f (x) = ax + bx+ c(a0)，贝Uf(x + 1) + f(x 1)=a(x+ 1)2 + b( x + 1) + c + a( x 1)2+ b(x 1) + c=2ax + 2bx+2a+ 2c=2x2 4x.2a= 2,a= 1,故有2b= 4,解得b= 2,2a+ 2c= 0,c = 1.所以2f (x) = 2 1.评注 假设函数是某个根本函数，可设表达式的一般式，再利用条件求出系数.三、方程消元法1例 3 ：2f(x) + f

3、(x)= 3x, x丰0,求 f(x).1解 2f (x) + f(-) = 3x,x1 13用-去代换式中的x得2f (-) + f(x)=-.1 由x 2得 f(x) = 2x-, XM0.X专题讲座*评注方程消元法是指利用方程组通过消参、消元的途径到达求函数解析式的目的2解读分段函数分段函数是一类特殊的函数，有着广泛的应用，课本中并没有进行大篇幅的介绍，但是它是高考的必考内容，下面就分段函数的有关知识进行拓展，供同学们学习时参考.一、分段函数解读在定义域中，对于自变量x的不同取值范围，相应的对应法那么不同， 这样的函数称之为分段 函数.分段函数是一个函数， 而不是几个函数，它只是各段上的

4、解析式(或对应法那么)不同而 已.二、常见的题型及其求解策略1求分段函数的定义域、值域2x + 4x, x< 2,例1求函数f (x) = x的值域.,x> 222解 当 x< 2 时，y= x + 4x = (x+ 2) 4, y> 4;x 2当 x> 2时，y= 2，- y>N = 1.函数f (x)的值域是y| y> 4.解题策略分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集.2求分段函数的函数值求f (5)的值.x 2, x> 10,例 2 f(x) = f f x+ 6, x< 10,

5、解 / 5< 10,- f (5) = f (f(5 + 6) = f (f (11),/ 11> 10,- f (f (11) = f (9),又 9< 10,- f(9) = f (f (15) = f (13) = 11.即 f (5) = 11.解题策略求分段函数的函数值时，关键是判断所给出的自变量所处的区间，再代入相应的解析式；另一方面，如果题目中含有多个分层的形式，那么需要由里到外层层处理.3画出分段函数的图象2x, x>0例3函数fx = 2，作出此函数的图象.x , xv 0解 由于分段函数有两段，所以这个函数的图象应该由两条线组成，一条是抛物线的左侧,

6、另一条是射线，画出图象如下图.解题策略 分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成， 作图的关键是根据定义域的不同分别由表达式作出其图象， 作图时一要注意每段自变量的取值范围，二要注意判断函数图象每 段端点的虚实.4 求解分段函数的解析式例4某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x分钟与相应话费y元之间的函数图象如下图.那么：1月通话为50分钟时，应交话费多少元；2求y与x之间的函数关系式.解 1由题意可知当kx，又因过点100,40，得解析式为y= |x，当月通话为50分钟时，0v 50v 100,所以应交话费y = |x50= 20 兀.当x > 100时，设y与x之间的函数

7、关系式为 y= kx + b,由图知x = 100时，y= 40； x =200 时，y= 60.40= 100k + b 那么有 60 = 200k + b，解得b = 201所以解析式为y =孑+ 20,25x，故所求函数关系式为 y=1孑+ 20, x > 1000v xw 100解题策略以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在试题中,解决此类问题的关键是正确地理解题目或图象给出的信息，确定适宜的数学模型及准确的自变量的分界点.由定义证明函数f(x)在区间D上的单调性，其步骤为：取值t作差t变形t定号.其中变 形是最关键的一步，合理变形是准确判断f(Xi) f(X2)的符号的

8、关键所在本文总结了用定义证明函数单调性中的变形策略.一、因式分解 2 例1求证：函数f (x) = x 4x在(g, 2上是减函数.2 2 证明 设Xi, X2是(一g, 2上的任意两个实数， 且xivX2，那么f(xi) f(X2)= (xi 4xi) (x24X2)=(Xi X2)( Xi+ X2 4).因为 Xi v X2w 2,所以 Xi X2< 0, Xi + X2 4v 0.所以 f (Xi) f (X2) > 0 ,即 f (Xi) > f (X2).故函数f (x)在(一g, 2上是减函数.评注 因式分解是变形的常用策略，但必须注意，分解时一定要彻底，这样才利

9、于判断f(Xi)f (X2)的符号.二、配方例2求证：函数f (x) = x3+ i在R上是增函数.证明设Xi, X2是R上的任意两个实数，且 Xi<X2,那么 f(Xi) f(X2)= X3+ i X： i33=Xi X22 2=(Xi X2)( Xi + XiX2 + X2)X2 2 3 2=(Xi X2) Xi+ X2 .2 4X2 23 2因为 xi< X2，所以 xi X2< 0, xi + + 4x2> 0.所以 f (Xi) f (X2) < 0，即 f (Xi) < f (X2).故函数f (x)在R上是增函数.评注 此题极易在(Xi X2)

10、( xi+ XiX2+ X2)处"止步而致误.而实际上当我们不能直接判断 xi + XiX2+ X2的符号，又不能因式分解时，采用配方那么会“柳暗花明.三、通分i例3函数f (x) = x + -，求证：函数f (x)在区间(0,i上是减函数.XX2 X1X1X21(X1X2) 1嬴=(X1X2)X1X2 1X1X21 1证明设X1，X2是区间(0,1上的任意两个实数，且XV X2,那么f(x1) f(X2)= X1 + - - X2 -1 1=(X1 X2)+ 石X" =(X1 X2)+因为 X1 V X2，且 X1, X2 (0, 1,所以 X1 X2 V 0,0 V

11、X1X2 V 1.所以 f (X1) f ( X2)> 0，即 f (X1)> f (X2).故函数f (X)在(0,1上是减函数.1评注 同样，我们可以证明f (X) = X+ -在区间1 ,+ )上是增函数.X四、有理化例4函数f (X) = X 1,求证：函数f (X)在区间1 ,+)上是增函数.证明 设X1, X2是区间1 , +8)上的任意两个实数，且X1 VX2,那么f(X1) f(X2)=/X1 1 X2 变式求y=p的单调区间.x 2x 3解 由x2 2x 3工0,得x工一1或x丰3,X1 X2,/X1 1 + "Jx2 1因为 X1 V X2，且 X1,

12、 X2 1 , +8 ),所以 X1 X2 V 0 ,X1 1+.,： X2 1 > 0.所以 f (X1) f (X2) V 0，即 f (X1) V f (X2).故函数f (X)在1 , +8 )上是增函数.评注对于根式函数常采用分子或分母有理化变形手段以到达判断f(X1) f(X2)符号的目的.设y= f (t)是t的函数，t = g(X)是X的函数，假设t = g(X)的值域是y= f (t)定义域的子集， 那么y通过中间变量t构成x的函数，称为x的复合函数，记作 y= f (t) = f g(X).如函数y 1 x，假设设t = 1 x，那么y = .t.这里t是x的函数，y

13、是t的函数，所以y= .1 x 是x的复合函数，把t称为中间变量.思考1函数y= f(t)的定义域为区间m n,函数t = g(x)的定义域为区间a, b, 值域D? m n.假设y= f(t)在定义域内单调递增，t = g( x)在定义域内单调递增，那么 y = fg(x)是否为a, b上的增函数？为什么？答 y= fg(x)是区间a, b上的增函数.证明如下：任取 xi, X2a, b，且 xi<x2,贝U ti= g(xi), 12= g(X2)，且 ti, 12m n.因为t = g(x)在a, b上递增，所以g(x"<g(X2)，即t<2,而y= f (t

14、) 在 m n上递增，故 f(ti)<f(t2)，即 fg(xi)< fg(X2)，所以 y=fg(x)在a, b上是增函数.思考2假设将g(x)在区间a, b上"递增改为"递减或将f (x)在区间m n上"递增改为"递减等，这时复合函数y= f g(x)在区间a, b上的单调性又如何呢？答利用解决思考1的方法就可以得出相应的结论(你不妨一试).由此可得到如下复合函数单调性的结论：y=f(t)递增递减t = g(x)递增递减递增递减y=f g(x)递增递减递减递增以上规律可总结为：“同向得增，异向得减或“同增异减 不过要注意：单调区间必须注意

15、定义域；要确定 t = g(x)(常称内层函数)的值域，否那么无法确定f(t)(常称外层函数)的单调性.1例求函数y=2的单调区间.x+ 11解函数y=2的定义域为x + 1(a, 1) U ( 1,+),2 1设 t = (x +1)1 1令 t = x 2x 3( t 丰0)，那么 y =-,，贝U y= -(t>0).当x ( a, 1)时，t是x的减函数，y是t的减函数，1所以(一a, 1)是y = 一+的递增区间；n- I当x ( 1,+a )时，t是x的增函数，y是t的减函数，1所以(一1,+a )是y = x + 2的递减区间.1综上知，函数y =二2的递增区间为(a, 1

16、)，递减区间为(一1,+a ).X十1因为y= t在(，0)， (0，+m)上为减函数，而 t = x2 2x 3 在(f 1), ( 1,1)上为减函数，1在(1,3) ,(3 ,)上是增函数，所以函数y的递增区间为(一f 1) ,( 1,1),X 2X 3 递减区间为(1,3) , (3 ,+f).5函数单调性的应用一、比拟大小2例1假设函数f (X) = x + mx+ n,对任意实数x都有f (2 x) = f (2 + x)成立，试比拟f( 1), f(2) , f(4)的大小.解 依题意可知f(x)的对称轴为x = 2,二f( 1) = f(5). f (x)在2 ,+f)上是增函

17、数， f (2)< f (4)< f (5)，即 f (2)< f(4)< f( 1).评注 (1)利用单调性可以比拟函数值的大小，即增函数中自变量大函数值也大，减函数中 自变量小函数值反而变大； 利用函数单调性比拟大小应注意将自变量放在同一单调区间.二、解不等式例2y=f(x)在定义域(一1,1)上是增函数，且f(t 1)<f(1 2t)，求实数t的取值范 围.1<t 1<1,2解 依题意可得 1<1 2t<1, 解得t 1<1 2t ,评注(1)利用单调性解不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，推出两个变量的大小，然后去解不等式

18、.(2) 利用单调性解不等式时应注意函数的定义域，即首先考虑使给出解析式有意义的未知数 的取值范围.(3) 利用单调性解不等式时，一定要注意变量的限制条件，以防出错.三、求参数的值或取值范围例3a>0,函数f(x) = x3 ax是区间1 ,+f)上的单调函数，求实数a的取值范围.解任取 X1, X2 1 ,+f)，且 X1«2,那么 x= X2 X1 >0.33 y = f (X2) f (X1) = (X2 ax?) (X1 ax"2 2=(X2 xi)( xi + X1X2+X2 a).22T1W Xi<X2,二 xi + XiX2 + X2>

19、3.显然不存在常数 a,使(X2+ XiX2+ X2 a)恒为负值.又f (x)在1 ,+)上是单调函数，必有一个常数 a，使x2 + X1X2 + X2 a恒为正数，2 2即 xi + X1X2 + X2>a.当 xi, X2 1 ,+)时，xi+ X1X2+ x2>3,.a< 3.此时， x= X2 Xi>0,.A y>0,即函数f (x)在i ,+s)上是增函数，.a的取值范围是(0,3.四、利用函数单调性求函数的最值例4函数f (X)=2小x + 2x+ aX i ,(i)当a= 4时，求f(x)的最小值；i当a=2时，求f (x)的最小值；假设a为正常数

20、，求f (x)的最小值.4解 当a= 4时，f(x) = x + -+ 2,易知，f(x)在i,2上是减函数，在2 ,+)上是增X函数， f (X) min= f(2)= 6.t 1i当 a=时,f(x) = x +2.易知，f(x)在1 ,+s)上为增函数.7-f ( X)min= f (1)= 2*al 函数f(x) = x + -+ 2在(0 ,a上是减函数，X在 .a, +)上是增函数.假设.a>1，即a>1时，f (x)在区间1 ,+)上先减后增， f ( x) min= f (.：a) = 2=；a+ 2.假设.aw 1，即卩0<awi时，f(x)在区间1，+)上

21、是增函数, f ( x) min= f (1) = a+ 3.求函数值域的常用方法：配方法、换元法、单调性法、判别式法、不等式法、数形结合法、 有界性法、别离常数法.例1求以下函数的值域：2x xy=x2x+1 ；2 y = 2x 1 13 4x.解1方法一配方法1X2 x+ 1，2 1又 x X+ 1 = x 2.0<x X+ 1方法二(判别式法)2,x x/口2由 y= x2 X +，x R 得(y 1)x + (1 y)x + y = 0.当 y= 1 时，x ?.当 yl 时，T x R,2.A = (1 y) 4y(y 1) >0,.函数的值域为 一3, 12方法一换元法

22、设 13 4x= t，贝U t >0,x=13 t2于是 f(x) = g(t) = 2 13 t21 t因此原函数的值域是OO方法二(单调性法)函数的定义域是13 x| x 4，当自变量x增大时，2x 1增大，.13 4x减小，所以2x 1 13 4x增大，因此函数f(x) = 2x 113 4x在其定义域上是一个单调递增函数,131311所以当x=4时，函数取得最大值 f -4 = 2,故原函数的值域是OO112例2求函数y=x x10 +10x10 10的值域.(有界性)因为y=x2x .10 + 1010 + 110 1010 1y + 1 所以10 =尸1.y 1又因为102x

23、>0,所以 >0.解得y>1或y< 1, y 1所以值域为 O, 1 U 1 , +O .3 + x例3求函数y=的值域.4 x=1 又七工0,x 47y = 1刁1,即函数的值域为(O, 1) U ( 1 ,+O ).函数奇偶性是函数的一个重要性质，除了直接运用定义法判断外，下面再介绍几种判定方法.一、定义域判定法例1判断函数f (x) = x + 1 , x 1的奇偶性.分析 一个函数是奇(偶)函数，其定义域必须关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提条件假设定义域不关于原点对称，那么此函数既不是奇函数也不是偶函数.x 1?0,解 要使函数f(x)有意义，那么x +

24、1> 0.解得x> 1,即定义域是x| x> 1 因为定义域不关于原点对称，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.评注用定义域虽不能判断一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称来说明一个函数不具有奇偶性.二、变式法訂1 + X2 + X 1例2判断f(x)=的奇偶性.寸1 + X2 + x+ 1f x分析 直接验证f ( x) =± f (x)有困难，可转化为验证=± 1( f (x)丰0) f x解f (x)的定义域为R,关于原点对称.当x= 0时，f (x) = 0,图象过原点._ 21 + x2f x因为当x工0时，-f2x 1

25、 汁-1,x+ 1所以 f( x) = f(x).又f(0) = 0,所以函数f(x)为奇函数.评注 为了运算上的方便或是直接运用定义判断较难进行时，常把验证f ( x) =± f (x)转化为验证其变式：f(x) ± f ( x) 0 或f土 1( f(x)丰0).T x三、图象法x+ 2, xv 1,例3判断函数f(x) = 0, K xw 1,的奇偶性.x + 2, x > 1分析 此题可用图象法较为直观地判断.因为函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)为偶函数.评注一些函数的奇偶性可用图象法解决，即图象关于原点对称的函数是奇函数，图象关于y轴对称的函

26、数是偶函数，否那么既不是奇函数也不是偶函数.函数的奇偶性是函数的重要性质，在各类考试中是考查的热点，下面对奇偶性的常见应用进行举例说明.一、求函数的解析式例1f(x)是R上的奇函数，且当 x (0,+)时，f(x) = x(1 + 3x)，求f(x)的解析 式.分析 要求f(x)在R上的解析式，条件已给出f(x)在(0,+)上的解析式，还需求当x <0 时f (x)对应的解析式.解因为 x ( 8, 0)时，一x (0,+),所以 f ( x) = x(1 + 3x) = x(1 3 x)，因为f(x)是R上的奇函数，所以 f (x) = f ( x) = x(1 3x) , x ( 8

27、, 0).在 f ( x) = f (x)中， 令 x= 0，得 f(0) = 0.x 1 +眾,x>0,所以 f(x) =0, x = 0,x 1 扳,xv 0.评注 利用函数的奇偶性求函数的解析式是常见题型，其步骤为：(1)设，设出在未知区间上的自变量x； 化，即将x转化到区间上；(3)求，即根据函数的奇偶性求出解析式.二、求参数的值例2函数f(x)是R上的奇函数，当 x>0时，f(x) = x(x +1)，假设给出一个实数 a, av0,有 f(a) = 2，那么实数 a=.分析 根据条件当x>0时，函数f(x) = x(x +1) >0,由于f(a) = 2，显

28、然需要求得 xv 0的解析式.解析 令 xv 0,那么一x> 0.所以 f( x) = x(1 x).又f (x)为奇函数，所以当 xv0时，有f (x) = x(1 x).2令 f(a) = a(1 a) = 2，得 a a 2 = 0.解得a= 1,或a = 2(舍去).答案 1评注解决此题首先根据定义域对函数的解析式进行判断，确定所求参数应该对应的解析式是求解此题的关键.三、求参数的范围例3定义在(2,2)上的偶函数f(x)在区间0,2)上是减函数，假设f(1 m V f(m，求实数m 的取值范围.解 因为 f(X)是偶函数，所以 f(1 m = f(|1 m), f(m)= f(

29、i m).又 f(i m<f(m), 所以f(ii m) vf(i m).由f (x)在区间0,2)上是减函数，得omm < 11 m v 2.解得一ii1 v m< 2.故实数m的取值范围是 1,.评注此题利用了偶函数的性质：假设函数 f(x)是偶函数，那么恒有f(x) = f(| x|)，从而到达简捷求解的目的.单调性和奇偶性是函数的两个重要根本性质，二者之间有下面的密切联系： 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；(2)偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.巧妙地运用单调性和奇偶性的联系，可以轻松解决很多函数问题.下面分类举例说明.一、比拟大小例1函数f

30、(x)是偶函数，且在区间0,1上是减函数，那么f ( 0.5)、f( 1)、f (0)的大小关系是()A. f ( 0.5) vf(0) vf ( 1)B. f ( 1) v f( 0.5)v f (0)C. f (0)v f( 0.5) vf ( 1)D. f ( 1) v f(0) v f( 0.5)解析因为函数f(x)是偶函数，所以 f( 0.5) = f(0.5) , f ( 1) = f(1).又因为f (x)在区间0,1上是减函数，所以 f( 1) v f ( 0.5) v f (0).答案 B评注比拟两个函数值大小时，如果两个自变量的值不在同一单调区间上，那么需要利用奇偶性来进行

31、转化.二、求函数最值例2假设偶函数f(x)在区间3,6上是增函数且f(6) = 9，那么它在区间6, 3上()A.最小值是9B.最小值是9C.最大值是9D.最大值是 9解析 因为f(x)是偶函数且在区间3,6上是增函数，所以f(x)在区间6, 3上是减函数.因此，f(x)在区间6, 3上最大值为f ( 6)=f (6) = 9.答案 D评注 应用单调性和奇偶性的联系求最值时，一定要确定是最大值还是最小值.三、解不等式例3假设函数f(x)是奇函数，且在(g, 0)上是增函数，又f ( 2) = 0，那么x f(x) v 0的 解集是()A. ( 2,0) U (0,2)B. ( g, 2) U

32、(0,2)C. ( g, 2) U (2 ,+g)D. ( 2,0) U (2 ,+g)解析 因为函数f(x)是奇函数，且在(一g, 0)上是增函数，又f( 2) = 0,所以可画出符合条件的奇函数f(x)的图象，如下图.x> 0因为xf(x) v 0，所以f x或 f x > 0得到答案为A.答案 A评注 此题是单调性和奇偶性的综合应用，并且有较强的抽象性.只要抓住其对称性，分析图象的特点，画出符合条件的图象，就不难使问题得到解决.四、求参数的取值范围1例4设定义在(1,1)上的奇函数f(x)在0,1)上单调递增，且有f(1 m) + fg 2 m) v 0,求实数m的取值范围.

33、解由于函数f (x)的定义域为(一1,1),1 v 1 mv 13 那么有1，解得0v mv-.1 v 2mv 14又 f(1 m) + f(2 2m) v 0,1 所以 f(1 m) v f 纭2m).而函数f (x)为奇函数，1 那么有 f (1 m) v f (2 m- p .因为函数f(x)是奇函数，且在0,1)上单调递增，所以函数f(x)在定义域(1,1)上单调递增， 那么有1 mv 2m-£解得m>|,13故实数m的取值范围为(1, 3).评注此题通过函数奇偶性和单调性的定义及其相关特征解决问题，这是比拟常见的题型之难点突破4io函数图象的三种变换函数的图象变换是高

34、考中的考查热点之一，常见变换有以下3种:、平移变换2例1设f(X)= X ,在同一坐标系中画出: y = f(x),y = f (x+ 1)和y = f (x 1)的图象，并观察三个函数图象的关系; y = f(x),y = f (x) + 1和y= f (x) 1的图象，并观察三个函数图象的关系.解如图(2)女口图2观察图象得:1)的图象可由y = f (x + 1)的图象可由y= f (x)的图象向左平移1个单位长度得到；y = f(x y = f (x)的图象向右平移1个单位长度得到；y=f(x) +1的图象可由y= f (x)的图象向上平移1个单位长度得到；y = f (x) 1的图象

35、可由y = f (x)的图象向下平移1个单位长度得到.二、对称变换例2设f (x) = x+ 1,在同一坐标系中画出 y= f (x)和y = f ( x)的图象，并观察两个函数图 象的关系.解 画出y= f (x) = x + 1与y = f ( x) = x+ 1的图象如下图.由图象可得函数 y=x + 1与y = x + 1的图象关于y轴对称.评注 函数y = f (x)的图象与y= f ( x)的图象关于y轴对称；函数y= f (x)的图象与y= f (x)的图象关于x轴对称；函数y= f (x)的图象与y= f ( x)的图象关于原点对称.二、翻折变换例3设f(x) = x+ 1,在

36、不同的坐标系中画出 y=f(x)和y =|f(x)|的图象，并观察两个函数 图象的关系.解通过观察两个函数图象可知：要得到y =|f(x)|的图象，把y = f (x)的图象中x轴下方图象翻折到x轴上方，其余局部不变.例4设f (x) = x+ 1,在不同的坐标系中画出 y=f(x)和y =f(|x|)的图象，并观察两个函数 图象的关系.解如以下图所示.v */Lt/ °JT-1 PX通过观察两个函数图象可知：要得到y = f(| x|)的图象，先把y = f (x)图象在y轴左方的部分去掉，然后把y轴右边的对称图象补到左方即可.11含参方程的解法一题多解训练，就是启发和引导同学们从

37、不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的运算过程去分析、解答同一道数学题的练习活动，从而提高综合运用已学知识解答数学问题 的技巧，锻炼思维的灵活性，促进同学们长知识、长智慧，开阔同学们的思路，弓I导同学们 灵活地掌握知识之间的纵横联系，培养和发挥创造性.例 假设方程x2 |x = k在区间(1,1)内有实数解，试求实数 k的取值范围.分析此题考查方程在区间内有实数解，考查根的分布问题，由于函数与方程的关系密切, 所以解决此题可以利用根的分布得出满足条件的不等式，进而求解；也可以通过构造函数， 利用数形结合思想求解所以有以下几种方法.方法一令 f (x) = x2 X k.假设方程X2 2x

38、= k在区间(一1,1)内有两个实数解,A >0,91那么有f 1 >0,解得一 16三k< 2f 1>0.一 2 3假设方程x qx= k在区间(一1,1)内有一个实数解,f 1= 0，f1 = 0，那么有 f( 1) f(1)<0 或或£1 >0f 1>0f15解得2三适综上所述，实数k的取值范围为-916,52).评注 本方法是利用根的分布，分别讨论有一解、两解的情况，最后把解集取并集即可.2333方法二 因为f (x) = x x k的对称轴x = 4 ( 1,1)，更确切地说，x = 4在(0,1)内,一 2 3一A >0,9

39、5所以方程x zx= k在区间(1,1)内有实数解等价于解得76k<2.2f 1>0.16295所以实数k的取值范围为16，).评注该解法的特点是发现了此题的特殊性，即对称轴在的区间内，从而迅速将难题破解.一 232 3方法三 假设方程x x= k在(1,1)内有实数解，令y = x -x, x ( 1,1)的值域为M那么原方程在(1,1)内有实数解，只需 k M即可.2339_16；根据函数y= x ?x的对称轴x=4，且x ( 1,1)，可知函数在x = 3处取得最小值，即ymin= (3)2 |x|=4 4243 5函数在x = 1处取得最大值，即ymax= 1 + 2=95

40、所以16 w k<295所以实数k的取值范围为16，2).评注该解法的妙处在于将原问题转化为求二次函数的值域问题，运用了转化与化归思想, 而对于值域问题的处理，也就简单多了.方法四令 f(x) = X2 - 2x, x ( 1,1) , g(x) = k.一 2 3 假设方程x 2X= k在(1,1)内有实数解，那么只需f (x)和g(x)的图象在(1,1)内有交点即可，如下图.95显然16 w k<2*95所以实数k的取值范围为16,).评注该解法很好地将一个代数问题转化为图象交点问题，运用了数形结合的思想，而且该解法还能进一步对解的个数进行讨论.一、要点扫描1函数零点的理解：(

41、1)函数的零点、方程的根、函数图象与 x轴的交点的横坐标，实质是 同一个问题的三种不同表达形式；(2)假设函数f(x)在区间a, b上的图象是一条连续的曲线， 且f(a)f(b) v 0，那么f (x)在区间a, b内有零点，反之不成立.2函数零点的判定常用方法：(1)零点存在性定理；(2)数形结合法；(3)解方程f(x) = 0.3. 曲线的交点问题：(1)曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为方程的根；(2)求曲线y= f (x)与y= g(x)的交点的横坐标，实际上就是求函数 y= f (x) g(x)的零点，即求f (x) g(x) = 0 的根.二、典型例题剖析1求函数的零点例1求函

42、数f (x) = x3 3x+ 2的零点.解令 f (x) = x 3x + 2= 0,2(X + 2)( x 1) = 0. x = 2 或 x= 1,函数 f (x) = X3 3x + 2 的零点为一2,1.评注 求函数的零点，就是求f(x) = 0的根，利用等价转化思想，把函数的零点问题转化为方程根的问题，或利用数形结合思想把函数零点问题转化为函数图象与x轴的交点问题.2 判断函数零点的个数x 一 2例2函数f(x) = ax+ x-(a> 1)，判断函数f(x) = 0的根的个数.x I解 设 f i(x) = ax(a> 1), f 2( x)=fi(x) = f 2(

43、x)的解，即为函数f 1(x)与f2(x)的交点的横坐标.x一 2 在同一坐标系下，分别作出函数f1(x) = ax(a> 1)与f 2( x) = 的图象(如下图).所以方程f(x) = 0的根有一个.评注 利用数形结合的思想解决， 在同一坐标系下作出 f1(x)与f2(x)两函数的图象，从而观察出两函数的交点(即是原函数的零点的个数 )3.确定零点所在的区间1 一例3设函数y= x3与y=(2)x2的图象的交点为(xo, yo)，那么xo所在的区间是()A. (0,1) B . (1,2) C . (2,3) D . (3,4)1 1 1解析 y= x3与y =(2)x2的图象的交点

44、的横坐标即为x3=(2)x一2的根，即f (x) = x3(孑厂2厶十-1 一 1310的零点，f(1) = 1 (2)= 1 V 0, f(2) = 2 (2)= 7>0,f(x)的零点在(1,2)内.答案 B评注 此题考查函数零点性质的应用，利用了函数与方程的转化思想，表达对运算能力和理解能力的要求.4. 利用函数零点的存在性求参数范围例4关于x的二次方程x2+ (m 1)x 1 = 0在0,2上有解，求实数 m的取值范围.2解设 f (x) = x + (m- 1)x + 1, x 0,2,m-10<丁 w 2,2A = n 1 4> 0,又 f(0) = 1>0

45、,由题意得m 1o >2, 或 2f 2 w 0.解得一3w mW 1,解得n< 3.综合得mW 1.故m的取值范围为nW 1.评注此题实质是对一元二次方程根的个数的讨论，解题过程中利用了函数与方程的转化、 分类讨论思想、方程与不等式的转化等知识，对运算能力和分析问题的能力有很高的要求.函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想， 去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决.方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.方程的思想与函数的思想密切相关，对于函数y= f(x)(如果y= ax2 + bx+ c可以写成f (x)=ax2+ bx+ c,即y = f (x)的形式)，当y= 0时，就转化为方程f (x) = 0，也可以把函数式y =f(x)看作二元方程 y f(x) = 0，函数与方程这种相互转化的关系很重要，我们应熟练掌 握下面我们就具体看一下函数与方程的应用举例.一、判断方程解的存在性32例1函数f(x) = 3x 2x + 1，判断方程f(x) = 0在区间1,0内有没有实数解？ 分析 可通过研究函数f(x)在1,0上函数的变