黄冈金牌第三章指数与对数函数讲义

1、景德镇黄冈金牌奥数学校专题三、指数函数与对数函数 一、 指数与对数的运算法则1、 指数的运算法则 例一、 1把下列根式化成分数指数幂的形式(其中a，b0)（1）_；（2）=_；2_3化简_4=_ 5_6计算1、 2、 3、2、 对数式与指数式的互换（且）、（上式中，）3、 对数的运算法则（1）对数运算法则 （2）几个常用的恒等式 （换底公式） (3) 常用对数与自然对数：（1）常用对数：以10为底的对数称为常用对数，简记为lgN.如log102=lg2(2)自然对数：以e（e=2.7182818）为底的对数成为自然对数,即logeN，简记为lnN。例二、1.用，表示下列各式： （1）； （2）

2、2求下列各式的值：（1）； （2） 3.计算：（1）lg1421g； （2）； （3）4（1）已知，用a表示；（2）已知，用、表示 换底公式：例三、1计算：（1） ； （2）2已知，求（用 a, b 表示）3设 ，求证：4若，求5计算：6若 ，求二、 指数函数与对数函数的图像和性质指数函数和对数函数互为反函数，所以它们的图像关于对称指数函数对数函数一般形式（且）（且）定义域值域图像Oxy1Oxy1性质（1）（1）（2）图像经过点（2）图像经过点指数函数对数函数性质当时，当时，当时，当时，单调递增单调递减单调递增单调递减三、指数函数1比较大小例1已知函数满足，且，则与的大小关系是_分析：先求的值

3、再比较大小，要注意的取值是否在同一单调区间内解：，函数的对称轴是故，又，函数在上递减，在上递增若，则，；若，则，综上可得，即评注：比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论2求解有关指数不等式例2已知，则x的取值范围是_分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围解：，函数在上是增函数，解得x的取值范围是评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论3求定义域及值域问题例3求函数的定义域和值域解：由题意可得，即，故 函数的定义域是令，

4、则，又， ，即，即函数的值域是评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响4最值问题例4函数在区间上有最大值14，则a的值是_分析：令可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后的取值范围解：令，则，函数可化为，其对称轴为当时，即当时，解得或（舍去）；当时，即， 时，解得或（舍去），a的值是3或评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等5图象变换及应用问题例5为了得到函数的图象，可以把函数的图象（）A向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度C向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D向

5、右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度分析：注意先将函数转化为，再利用图象的平移规律进行判断解：，把函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数的图象，故选（C）评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等四、对数函数例1求下列函数的定义域：（1）； （2）； （3）分析：此题主要利用对数函数的定义域求解。解：（1）由>0得，函数的定义域是；（2）由得，函数的定义域是；（3）由9-得-3，函数的定义域是说明：此题只是对数函数性质的简单应用，应强调学生注意书写格

6、式。例2比较下列各组数中两个值的大小： （1），； （2），； （3），.解：（1）对数函数在上是增函数，于是；（2）对数函数在上是减函数，于是；（3）当时，对数函数在上是增函数，于是， 当时，对数函数在上是减函数，于是例3比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（1），； （2），； （3），； （4），解：（1）， ，； （2）， ， （3）， ， ， （4）， 例4已知，比较，的大小。解：， ，当，时，得， 当，时，得， 当，时，得， 综上所述，的大小关系为或或例5求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）（且）解：（1）令，则， ， ，即函数值域为 （2）令，则， ， 即函数值域为 （3）

7、令， 当时， 即值域为， 当时， 即值域为例6判断函数的奇偶性。解：恒成立，故的定义域为， ，所以，为奇函数。例7求函数的单调区间。解：令在上递增，在上递减，又， 或，故在上递增，在上递减， 又为减函数，所以，函数在上递增，在上递减。说明：利用对数函数性质判断函数单调性时，首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法来求单调区间。例8若函数在区间上是增函数，的取值范围。解：令， 函数为减函数，在区间上递减，且满足，解得，所以，的取值范围为三、反函数知识梳理1.反函数定义：若函数y=f（x）（xA）的值域为C，由这个函数中x、y的关系，用y把x表示出来，得到x=（y）.如果对于y在C中

8、的任何一个值，通过x=（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=（y）就表示y是自变量，x是自变量y的函数.这样的函数x=（y）（yC）叫做函数y=f（x）（xA）的反函数，记作x=f1（y）.在函数x=f1（y）中，y表示自变量，x表示函数.习惯上，我们一般用x表示自变量，y表示函数，因此我们常常对调函数x=f1（y）中的字母x、y，把它改写成y=f1（x）.2.互为反函数的两个函数y=f（x）与y=f1（x）在同一直角坐标系中的图象关于直线y=x对称.3.求反函数的步骤：（1）解关于x的方程y=f（x），得到x=f1（y）.（2）把第一步得到的式子中的x、y对换位置，得到y=f1（x

9、）.（3）求出并说明反函数的定义域即函数y=f（x）的值域.典型例题：例1.函数y=（x1）的反函数是A.y=1（x0）B.y=+1（x0） C.y=x+1（xR）D.y=x1（xR）练习：1.函数y=log2（x+1）+1（x0）的反函数为A.y=2x11（x1）B.y=2x1+1（x1） C.y=2x+11（x0）D.y=2x+1+1（x0）2.函数f（x）=（x）的反函数A.在，+）上为增函数B.在，+）上为减函数C.在（，0上为增函数D.在（，0上为减函数3.函数f（x）=x2（x（，2）的反函数f1（x）=_.4.若函数f（x）=，则f1（）=_.例2设函数f（x）是函数g（x）=的

10、反函数，则f（4x2）的单调递增区间为A.0，+） B.（，0 C.0，2）D.（2，0例3 求函数f（x）=的反函数.例4 已知函数f（x）是函数y=1（xR）的反函数，函数g（x）的图象与函数y=的图象关于直线y=x1成轴对称图形，记F（x）=f（x）+g（x）.（1）求F（x）的解析式及定义域.（2）试问在函数F（x）的图象上是否存在这样两个不同点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直?若存在，求出A、B两点坐标；若不存在，说明理由.（一）指数函数专题训练一、指数的运算(一)选择题1下列正确的是( )Aa01B C1010.1D2的值为( )ABCD3可以简化为( )ABCD4化简的结果是(

11、)ABx2Cx3Dx4(二)填空题5_6_7计算_8若aa13，则a2a2_ (三)解答题 9若求的值10 设a、b为方程x212x90的两个根，求的值。二、指数函数1、比较下列各组数的大小：（1）若 ，比较 与 ；（2）若 ，比较 与 ；（3）若 ，比较 与 ；（4）若 ，且 ，比较a与b；（5）若 ，且 ，比较a与b2曲线 分别是指数函数 , 和 的图象,则 与1的大小关系是 (  ).   ( 3 求下列函数的定义域与值域.(1)y2; (2)y4x+2x+1+1.4 已知-1x2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值5、设 ，求函数 的最

12、大值和最小值6、已知函数在区间1,1上的最大值是14，求a的值.7已知函数 （ 且 ）（1）求 的最小值；  （2）若 ，求 的取值范围8、（1）已知是奇函数，求常数m的值； （2）画出函数的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|无解？有一解？有两解？9若函数 是奇函数，求 的值10. 已知9x-10.3x+90，求函数y=（）x-1-4·（）x+2的最大值和最小值 11已知 ，求函数 的值域12. 求函数的定义域，值域和单调区间13 求函数y的单调区间.14 已知函数f(x) (a>0且a1).15、已知函数f（x）=a（aR）， 求证：对任何aR，f（x）为增函

13、数 若f（x）为奇函数时，求a的值。16、定义在R上的奇函数有最小正周期为2，且时，（1）求在1，1上的解析式；（2）判断在（0，1）上的单调性；（3）当为何值时，方程=在上有实数解.17 函数yax(a>1)的图像是( )（二）对数函数专题训练一、 对数的运算(一)填空题1、 _ 2、 （1）；（2）3、 3 = a， 7 = b，用 a，b 表示56.4、若，求的值5、(1)已知则= ,(2)已知则 ,（二）解答题6已知，求7已知，求值8已知，求9.知，求证：二、对数函数1.如图，曲线是对数函数 的图象，已知 的取值 ，则相应于曲线 的 值依次为(   

14、 )（A）  （B）            （C） （D） 2.函数y=logx1(3x)的定义域是 3已知关于的的方程，讨论的值来确定方程根的个数。4若关于的方程的所有解都大于1，求的取值范围51、求函数的单调区间2、求函数的单调区间。6、设函数 ，若 的值域为 ，求实数 的取值范围7、的定义域为R，求a的取值范围。8.函数y=log(1x)(x+3)的递减区间是( )A.(3,1) B.(,1) C.(,3)D.(1，)9.已知函数yloga(2ax)在0，1上是x的减函数，则a的

15、取值范围是( )A.0a1 B.a1 C.1a2D.1a210.求函数y=loga(2-ax-a2x)的值域。11.求函数y=log2·log2(x1,8)的最大值和最小值.12.设函数y=f(x),且lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),（1）求f(x)的表达式及定义域；（2）求f(x)的值域。13、函数 在区间 上的最大值比最小值大2，则实数 =_14已知函数 判断函数的单调区间及在每一个单调区间内的单调性； 当 时，求 的最大值，最小值及相应的 值15、已知函数y=loga(1ax)(a0且a1)。(1)求函数的定义域和值域；(2)证明函数图象关于直线y=x对称。16、.设，求函数的最大值。17、已知函数。(1)求函数f(x)的定义域；(2)求函数f