六年级奥数.抽屉原理(ABC级).教师版

1、Page9 of 17抽屉原理知识框架知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可 以解决很多有趣的问题， 并且常常能够起到令人惊奇的作用.许多看起来相当复杂， 甚至无从下手的问题,在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决.抽屉原理的定义(1) 举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放 两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。(2) 定义一般情况下，把 n+1或多

2、于n+1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹 果。我们称这种现象为抽屉原理。三、抽屉原理的解题方案结论：至少有(商+1)个苹果在同一个抽屉里(一)、利用公式进行解题 苹果十抽屉=商余数 余数：(1)余数=1,(2)余数=x 1 p xp n 1结论：至少有(商+1)个苹果在同一个抽屉里(3)余数=0,(二)、利用最值原理解题结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我 意”方法、特殊值方法.重难点抽屉原理是一种特殊的思维方法，不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断，同时能够帮助同学 证明很多

3、看似复杂的问题。本讲的主要教学目标是:(1) 理解抽屉原理的基本概念、基本用法；(2) 掌握用抽屉原理解题的基本过程；(3) 能够构造抽屉进行解题；(4) 利用最不利原则进行解题；(5) 利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。戸L二例题精讲(一)、直接利用公式进行解题(1)求结论【例1】 6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有 1只，一定有一个笼子里有 2只鸽子对吗?【考点】抽屉原理【难度】1星【题型】解答【解析】6只鸽子要飞进5个笼子，如果每个笼子装 1只，这样还剩下1只鸽子这只鸽子可以任意飞进其中的一个笼子，这样至少有一个笼子里有2只鸽子所以这句话是正确的.利用

4、刚刚学习过的抽屉原理来解释这个问题，把鸽笼看作抽屉”，把鸽子看作苹果”,6 5 1L L 1 , 1 12 (只)把6个苹果放到5个抽屉中，每个抽屉中都要有 1个苹果，那么肯定有一个抽屉中有两个苹果，也就是一定有一个笼子里有2只鸽子.【答案】对【巩固】年级一班学雷锋小组有13人.教数学的张老师说： 你们这个小组至少有 2个人在同一月过生日.” 你知道张老师为什么这样说吗？【考点】抽屉原理【难度】1星【题型】解答【解析】略.【总结】题目中并没有说明什么是抽屉”，什么是 物品”，解题的关键是制造 抽屉”，确定假设的 物品”,根据 抽屉少，物品多”转化为抽屉原理来解.【答案】从题目可以看出，这道题显

5、然与月份有关我们知道，一年有12个月，把这12个月看成12个抽屉，这道题就相当于把 13个苹果放入12个抽屉中根据抽屉原理，至少有一个抽屉放了两个苹 果.因此至少有两个同学在同一个月过生日.【例2】人的头发平均有12万根，如果最多不超过20万根，那么13亿中国人中至少有 人的头发的根数相同。图8【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】填空【关键词】2009年，第7届，希望杯，4年级，1试什么是苹果。此题中的抽屉是人的头发:【解析】这是一道抽屉原理的题目， 所以要先分清楚什么是抽屉,有20万个，中国的人数是苹果：13亿人，所以至少应有：1300000000 200000 6500 （人）。【答案】6

6、500人【巩固】向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答【解析】略.【答案】一年最多有366天，可看做366个抽屉，730个学生看做730个苹果.因为730 366 1L L 364 ,所以，至少有1 + 1 = 2 （个）学生的生日是同一天【例3】 五年级数学小组共有 20名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学，他们的朋友人数一样多.【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】解答【解析】略.【答案】数学小组共有 20名同学，因此每个同学最多有19个朋友；又由于他们都有朋友，所以每个同学至少有1个朋友.因此，这20名同

7、学中，每个同学的朋友数只有 19种可能：1,2, 3, ；19把 这20名同学看作20个 苹果”又把同学的朋友数目看作 19个 抽屉”根据抽屉原理，至少有 2 名同学，他们的朋友人数一样多【巩固】 六一”儿童节；很多小朋友到公园游玩； 在公园里他们各自遇到了许多熟人.试说明：在游园的小朋友中；至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等.【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】解答解析】 略【答案】假设共有 n个小朋友到公园游玩，我们把他们看作n个 苹果”再把每个小朋友遇到的熟人数目看作 抽屉”那么，n个小朋友每人遇到的熟人数目共有以下n种可能：0，1，2，；n 1其中0的意思是指这位小朋友没有遇到熟人；而

8、每位小朋友最多遇见 n 1个熟人，所以共有n个抽屉”下面分两种情况来讨论：如果在这n个小朋友中，有一些小朋友没有遇到任何熟人， 这时其他小朋友最多只能遇上 n 2 个熟人，这样熟人数目只有 n 1种可能：0, 1, 2, ,n 2 这样， 苹果”数（n个小朋友）超 过抽屉”数（n 1种熟人数目），根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等.如果在这n个小朋友中，每位小朋友都至少遇到一个熟人，这样熟人数目只有n 1种可能：1,2, 3, ,n 1 这时，苹果”数（n个小朋友）仍然超过 抽屉”数（n 1种熟人数目），根据抽屉原 理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等.总之，不管这

9、n个小朋友各遇到多少熟人（包括没遇到熟人），必有两个小朋友遇到的熟人数目相等例 4】 在任意的四个自然数中,是否其中必有两个数,它们的差能被3整除？考点】抽屉原理【难度】 3 星【题型】解答【解析】略.【答案】因为任何整数除以 3，其余数只可能是0,1 , 2三种情形我们将余数的这三种情形看成是三个 抽屉” 一个整数除以3的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个抽屉”里将四个自然数放入三个抽屉, 至少有一个抽屉里放了不止一个数, 也就是说至少有两个数除以 3的余数相同 （需要对 学生利用余数性质进行解释：为什么余数相同,则差就能被整除） 这两个数的差必能被 3整除【巩固】四个连续的自然数分别被

10、3除后，必有两个余数相同，请说明理由.考点】抽屉原理【难度】 2 星【题型】解答【解析】略.答案】想一想,不同的自然数被3除的余数有几类？在这道题中,把什么当作抽屉呢？把这四个连续的自然数分别除以 3,其余数不外乎是 0, 1, 2,把这3个不同的余数当作 3个“抽 屉”,把这 4个连续的自然数按照被 3除的余数,分别放入对应的 3个“抽屉”中,根据抽屉原理, 至少有两个自然数在同一个抽屉里,也就是说,至少有两个自然数除以3的余数相同【例5】 求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数.考点】抽屉原理难度】 4 星题型】解答解析】略答案】 1996 4 499 ，下面证明可以

11、找到 1 个各位数字都是 1的自然数，它是 499 的倍数取500个数：1, 11 , 111, ；1111 (500个1).用499去除这500个数，得到500个余数q ； a2 ； a3 ；，a500 由于余数只能取 0； 1； 2；498这499个值，所以根据抽屉原则，必 有 2 个余数是相同的，这 2 个数的差就是 499 的倍数，差的前若干位是 1 ，后若干位是 0：11100.又499和10是互质的；所以它的前若干位由1组成的自然数是499的倍数，将它乘以 4；就得到一个各位数字都是 4 的自然数；这是 1996 的倍数【巩固】求证：对于任意的8个自然数；一定能从中找到 6个数a,

12、 b； c； d； e； f；使得(a b)(c d)(e f) 是 105 的倍数.考点】抽屉原理【难度】 3 星【题型】解答解 析】 略.答案】 105 3 5 7.对于任意的 8 个自然数，必可选出 2 个数，使它们的差是 7 的倍数；在剩下的 6 个数中，又可选出 2个数，使它们的差是 5 的倍数；在剩下的 4 个数中，又可选出 2 个数，使它 们的差是 3 的倍数2)求抽屉例 6】 某班有 16 名学生，每个月教师把学生分成两个小组.问最少要经过几个月，才能使该班的任意 两个学生总有某个月份是分在不同的小组里 ?考点】抽屉原理【难度】 2 星【题型】解答解析】 经过第一个月，将 16

13、 个学生分成两组，至少有 8 个学生分在同一组，下面只考虑这 8 个学生. 经过第二个月， 将这 8 个学生分成两组， 至少有 4 个学生是分在同一组， 下面只考虑这 4 个学生. 经过第三个月，将这 4 个学生分成两组，至少有 2 个学生仍分在同一组，这说明只经过 3 个月是 无法满足题目要求的. 如果经过四个月， 将每个月都一直保持同组的学生一分为二， 放人两个组， 那么第一个月保持同组的人数为16十2=8人；第二个月保持同组的人数为8十2=4人，第三个月保持同组人数为4十2=2人，这说明照此分法；不会有2个人一直保持在同一组内； 即满足题目要求； 故最少要经过 4 个月.答案】 4 个月

14、巩固】 100 个苹果最多分给多少个学生，能保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于12 个.考点】抽屉原理 【难度】 2 星 【题型】解答 解析】从不利的方向考虑：当分苹果的学生多余某一个数时，有可能使每个学生分得的学生少于 12 个， 求这个数 . 100 个按每个学生分苹果不多于 11 个（即少于 12个）苹果，最少也要分 10 人（9 人 11个苹果，还有一人一个苹果），否则9 X 1100，所以只要分苹果的学生不多余9人就能使保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于 12 个（即多于 11 个） .答案】 93）求苹果例 7】 一次数学竞赛出了 1 0道选择题， 评分标准为： 基础分 1

15、0分，每道题答对得 3分，答错扣 1 分， 不答不得分。问：要保证至少有 4 人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？考点】抽屉原理 【难度】 2 星 【题型】解答【解析】由题目条件这次数学竞赛的得分可以从10-10=0分到10+3X 10=40分，但注意到39、38、35这3个分数是不可能得到的，要保证至少有 4人得分相同，至少需要 3X（41-3） +1=115人.答案】 115 人巩固】 一次测验共有 10道问答题，每题的评分标准是：回答完全正确，得 5分；回答不完全正确，得 3 分，回答完全错误或不回答，得 0 分至少 人参加这次测验，才能保证至少有 3 人得得分相同考点】抽屉原理【难度】

16、 2 星【题型】填空关键词】（第十届小数报数学竞赛决赛）【解析】根据评分标准可知，最高得分为 50分，最低得分为0分，在050分之间，1分，2分，4分，7 分， 47 分， 49 分不可能出现 共有 51 6 45（种） 不同得分 根据抽屉原理， 至少有 45 2 1 91 （人）参赛，才能保证至少有 3 人得分相同答案】 3二）、构造抽屉利用公式进行解题例 8】 在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个，小聪明和其他六个小朋友一起做游戏，每人可以 从口袋中随意取出 2个球，那么不管怎样挑选，总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一 样你能说明这是为什么吗？题型】解答考点】抽屉原理 【难度】 2

17、星 解析】略答案】从三种颜色的球中挑选两个球，可能情况只有下面6 种：红、红；黄、黄；蓝、蓝；红、黄；红、蓝；黄、蓝， 我们把 6种搭配方式当作 6个“抽屉”，把 7个小朋友当作 7个“苹果 ”，根据抽屉原理，至少有两个 “苹果”要放进一个 “抽屉 ”中，也就是说，至少有两个人挑选的颜色完全一样巩固】幼儿园买来许多牛、马、羊、狗塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，但不能是同样的，问：至 少有多少个小 朋友去拿，才能保证有两人所拿玩具相同？考点】抽屉原理 【难度】 2 星 【题型】解答解 析】从四种玩具中挑选不同的两件，所有的搭配有以下 6 组：牛、马；牛、羊；牛、狗；马、羊；马、 狗；羊、狗把每

18、一组搭配看作一个 “抽屉”，共 6个抽屉根据抽屉原理，至少要有 7个小朋友 去拿，才能保证有两人所拿玩具相同答案】 7 个例 9】 从 2、4、6、8、L 、50这 25个偶数中至少任意取出多少个数， 才能保证有 2个数的和是 52？考点】抽屉原理 【难度】 2 星 【题型】解答解析】构造抽屉： 2,50 ，4,48 ， 6,46 ，8,44 ，L ，24,28 ，26 ，共 13种搭配，即 13个抽屉， 所以任意取出 14 个数，无论怎样取， 有两个数必同在一个抽屉里， 这两数和为 52，所以应取出 14 个数或者从小数入手考虑， 2、 4、6、L 、 26，当再取 28时，与其中的一个去陪

19、，总能找 到一个数使这两个数之和为 52 答案】 14【巩固】请证明：在1 , 4, 7, 10,100中任选20个数，其中至少有不同的两组数其和都等于104.考点】抽屉原理 【难度】 2 星 【题型】解答解 析】 略答案】 1, 4, 7, 10, 100 共有 34 个数,将其分为 (4, 100), (7, 97), (49, 55), (1), (52),共有 18个抽屉 从这 18 个抽屉里面任意抽取 20 个数, 则至少有 18个数取自前 16 个抽屉, 所以至少 有 4 个数取自某两个抽屉中,而属于同一 “抽屉”的两个数,其和是 104【例10】从1,2,3，2010,2011这

20、些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的 不等于4?【解析】1, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12, 17, 18, 19, 20, 25，在这些数种中任何两个数的差都不等 于4,可以看出这些数是从每8个连续的数中选出前面的4个连续的数那么有2011 -8=2513，所以最多可以选 251 X 4+3=1007个数。（对于这类问题，一种方法是先尽可能的多选，然后再找出这些数的规律，再计算出最多可以选出多少个。【巩固】从1至2013这2013个自然数中最多能取出多少个数，使得其中任意的两数都不连续且差不等于4?【解析】1, 3, 6, 8, 11, 13, 16, 18,

21、 21,这些数中任何两个数不连续且差不等于4，这些数是每5个连续的数中选择第一、三个数。2012 - 5=4023，所以最多可以选 402 X 2+2=805个数。（如果选择1,4, 6,9,即每5个连续的数中选择第 1、4个数。但是此时最多能选出 402 X 2+仁804 个数。）【例11】从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12中至多选出个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍.【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】填空【关键词】2008年，第八届，春蕾杯，小学数学邀请赛，决赛【解析】把这12个数分成6个组：第 1 组：1 , 2, 4, 8第 2 组：3, 6,

22、12第3组：5, 10第4组：7第5组：9第6组：11每组中相邻两数都是 2倍关系，不同组中没有 2倍关系.选没有2倍关系的数，第1组最多2个（1, 4或2 , 8或1 , 8）,第2组最多2个（3 , 12）,第3组只有1个，第4 , 5 , 6组都可以取，一共 2 2 11118个.如果任意取9个数，因为第3 , 4 , 5 , 6组一共5个数中，最多能取4个数，剩下9 4 5个数在2 个组中，根据抽屉原理，至少有 3 个数是同一组的，必有 2 个数是同组相邻的数，是 2 倍关系 答案】 8 个数巩固】从1到 20这 20个数中，任取 11个不同的数，必有两个数其中一个是另一个数的倍数考点

23、】抽屉原理 【难度】 3 星 【题型】解答解析】略答案】把这 20 个数分成以下 10 组，看成 10 个抽屉： （1，2，4，8，16），（3，6，12），（5，10，20）， （7， 14），（9，18），（11），（13），（15），（17），（19），前 5 个抽屉中，任意两个数都有倍数关系从这10个抽屉中任选 11 个数，必有一个抽屉中要取 2 个数，它们只能从前 5 个抽屉中取出，这两个数 就满足题目要求例 12】 有苹果和桔子若干个，任意分成5 堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？考点】抽屉原理 【难度】 3 星 【题型】解答解 析】需先跟学生介绍奇偶性：奇数

24、奇数 偶数；奇数 偶数 奇数；偶数 偶数 偶数。先用列表法进行搭配。由于题目只要求判断两堆水果的个数关系，因此可以从水果个数的奇、偶 性上来考虑抽屉的设计对于每堆水果中的苹果、桔子的个数分别都有奇数与偶数两种可能，所 以每堆水果中苹果、桔子个数的搭配就有4 种情形：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），其中括号中的第一个字表示苹果数的奇偶性，第二个字表示桔子数的奇偶性将这4 种情形看成4个抽屉，现有 5堆水果，根据抽屉原理可知， 这5堆水果里至少有 2堆属于上述 4种情形的同一 种情形由于奇数加奇数为偶数，偶数加偶数仍为偶数，所以在同一个抽屉中的两堆水果，其苹 果的总数与桔子的总数都

25、是偶数答案】能巩固】在20米长的水泥阳台上放 12盆花，随便怎样摆放， 请你说明至少有两盆花它们之间的距离小于 2 米考点】抽屉原理 【难度】 2 星 【题型】解答解析】略答案】第 1盆花放在一个端点上，第 2盆花放在距第 1盆花恰为 2 米处（这是两盆花之间最近的距离了， 再近就说明题目已经正确了 两盆花之间距离小于 2米）第 3盆花放在距离第 2盆花的距离 2 米处，这样每隔 2米放 1盆花，直到阳台的另一个尽头，恰好放第11盆花至此，阳台上的 11盆Page9 of 17花中任意两盆花之间的距离都按你的设想不小于 2米放好了现在考虑最后 1盆花，它只能放在 已放好的11盆花所留出的10个

26、空档内了，这已说明必有两盆花之间的距离小于 2米.题目的结论 是正确的【例13】时钟的表盘上按标准的方式标着 1, 2, 3, , 11, 12这12个数，在其上任意做 n个120°的扇 形，每一个都恰好覆盖4个数，每两个覆盖的数不全相同如果从这任做的n个扇形中总能恰好取出3个覆盖整个钟面的全部12个数，求n的最小值.【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】解答【解析】(1 )当n 8时，有可能不能覆盖12个数，比如每块扇形错开1个数摆放，盖住的数分别是：(12,1,2,3);(1,2,3,4); (2, 3, 4, 5); (3, 4, 5, 6); (4, 5, 6, 7); (5,

27、6, 7 8);( 6,乙8,9);(7,8,9,10),都没盖住11,其中的3个扇形当然也不可能盖住全部 12个数.(2)每个扇形覆盖4个数的情况可能是：(1,2,3,4)(5,6,7,8)(：9,10, 11,12)覆盖全部12个数(2,3,4,5)(6,乙8,9)(：10,11,12,1)覆盖全部12个数(3,4,5,6)(7,8,9,10)(11,12,1 ,2)覆盖全部12个数(4,5,6,7)(8,9,10,11)(12, 1 ,2,3)覆盖全部12个数当n 9时，至少有3个扇形在上面4个组中的一组里，恰好覆盖整个钟面的全部12个数. 所以n的最小值是9.【答案】9【巩固】如图，在

28、时钟的表盘上任意作 9个120°的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖4个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到3个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数并举一个反例说明，作8个扇形将不能保证上述结论成立.【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】解答【关键词】2009年，清华附中，入学测试【解析】略.【答案】在表盘上共可作出 12个不同的扇形，且112中的每个数恰好被 4个扇形覆盖将这12个扇形 分为4组，使得每一组的3个扇形恰好盖住整个表盘.那么，根据抽屉原理，从中选择9个扇形，9必有- 1 3个扇形属于同一组，那么这一组的 3个扇形可以覆盖整个表盘另一方面，作84个扇形相当于从全部的

29、12个扇形中去掉4个，则可以去掉盖住同一个数的4个扇形，这样这个数就没有被剩下的 8个扇形盖住，那么这 8个扇形不能盖住整个表盘【例14】从1, 2, 3,49, 50这50个数中取出若干个数， 使其中任意两个数的和都不能被7整除,则最多能取出多少个数？【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】填空【解析】此题是结合数论余数部分知识与抽屉原理而成，既然题目中说任意两数和不能被7整除，那么便从除以7 的1余数入手:余0:(7,14,21,28,35,42,49);余1:(1,8,15,22,29,36,43, 50);余2:(2,9,16,23,30,37,44);余3:(3,10,17,24,31,

30、38,45);余4:(4,11,18,25,32,39,46);余5:(5,12,19,26,33,40,47);余6:(6,13,20,27,34,41,48);第一组内的数最多只能取一个；如果取第二组，那么不能取第七组内任何一个数；取第三组，不能取第六组内任何一个数；取第四组，不能取第五组内任意一个数。第二、三、四、五、六、七组分别有8、7、7、7、7、7个数，所以最多可以取1+8+7+7=23个数。（三）、最不利原则【例15】 走美”主试委员会为三八年级准备决赛试题每个年级12道题，并且至少有8道题与其他各年级都不同.如果每道题出现在不同年级，最多只能出现3次.本届活动至少要准备 道决赛

31、试题.【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】填空关键词】 2008 年，第六届，走美杯， 决赛解 析】每个年级都有自己 8道题目，然后可以三至五年级共用4道题目，六到八年级共用 4 道题目，总共有 8 6 4 2 56（道）题目答案】 56巩 固】 一 个口袋中装有 500 粒珠子，共有 5 种颜色，每种颜色各 100 粒。如果你闭上眼睛，至少取出多 少粒珠子才能保证其中有 5 粒颜色相同？考点】抽屉原理 【难度】 3 星 【题型】解答解 析】 至 少要取 （5 1） 5 1 21 （粒）答案】 21粒例 16】 有红、黄、蓝、白 4 色的小球各 10 个，混合放在一个布袋里一次摸出小球8 个，

32、其中至少有几个小球的颜色是相同的？考点】抽屉原理 【难度】 3 星 【题型】解答解 析】 从 最不利的情况考虑，摸出的 8 个小球中有 4 个小球的颜色各不相同，那么余下的 4 个小球无论 各是什么颜色，都必与之前的 4 个小球中的某一个颜色相同即这 8 个小球中至少有 2 个小球的 颜色是相同的答案】 2 个小球巩 固】在100张卡片上不重复地编写上 1100，请问至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出卡片上的 数相乘后之乘积可被 4 整除？考点】抽屉原理【难度】 3 星【题型】解答解 析】当抽出 50个奇数的时候，乘积还是奇数，最多再抽出2张偶数，乘积即可被 4 整除，也就是抽出52个数可以

33、保证乘积能被 4 整除答案】 52 个数例 17】 一个口袋里分别有红、黄、黑球 4， 7， 8 个，为保证取出的球中有 6 个同色，则至少要取小球 个。题型】填空14 题考点】抽屉原理【难度】 3 星关键词】 2008 年，希望杯，第六届，五年级，一试，第解 析】 如 果要保证取到 6 个同色的球，至少要取 4+5+5+1=15 个 答案】 15 个巩 固】 一 幅扑克牌有 54 张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有 2 张牌有相同的点数？考点】抽屉原理 【难度】 2 星 【题型】解答【解析】点数为1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J) 12(Q)、13(K)的牌各取

34、1张，再取大王、小 王各 1 张，一共 15 张，这 15 张牌中，没有两张的点数相同这样，如果任意再取 1 张的话，它 的点数必为113中的一个，于是有 2张点数相同.答案】 16张【综合题】从1, 2, 3, 4, 5,99, 100这100个数中任意选出51个数，证明：(1) 在这 51 个数中，一定有两个数互质；(2) 在这 51 个数中,一定有两个数的差等于50；(3) 在这 51 个数中,一定存在 9个数,他们的最大公约数大于 1.【解析】(1)我们将 1 100 分成(1, 2) ( 3, 4) ( 5, 6)(乙 8)(97, 98) (99, 100)这 50组, 每组内的数

35、相邻,而相邻的两个自然数互质。将这 50 组数作为 50 个抽屉,同一个抽屉内的两个数互质。而现在 51 个数,放进 50 个抽屉里,则必定有两个数在同一个抽屉,于是这两个数互质。问题得证。(2) 我们将 1 100 分成(1 , 51) (2, 52) (3, 53)(40, 90)(50, 100)这 50 组， 每组内的数相差 50.将这 50 组数视为抽屉，则现在有 51 个数放进 50 个抽屉内，则必定有 2 个数在同一抽屉，那么 这两个数的差为 50. 问题得证(3) 我们将1100按2的倍数、3的倍数、既不是2又不是3的倍数的情况分组，有(2, 4, 6, 8,98, 100),

36、 (3, 9, 15, 21, 27,93, 99), (5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,95, 97)这三组，第一、二、三组分别有 50、 17、 33个元素。最不利的情况下， 51 个数中有 33 个元素在第三组，那么剩下的 18个数分到第一、二两组内，那 么至少有 9个数在同一组， 所以这 9个数的最大公约数为 2或 3或他们的倍数， 显然大于 1.问题得证。课堂检测【随练1】把9条金鱼任意放在 8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼.【考点】抽屉原理【难度】1星【题型】解答【解析】略.【答案】在8个鱼缸里面，每个鱼缸放一条，就是8条金鱼；还剩下的一

37、条，任意放在这 8个鱼缸其中的任意一个中，这样至少有一个鱼缸里面会放有两条金鱼.【随练2】证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数.【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】解答【解析】略.【答案】在与整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数a、b,它们除以自然数 m的余数相同，那么它们的差a b是m的倍数.根据这个性质，本题只需证明这8个自然数中有2个自然数，它们除以7的余数相同我们可以把所有自然数按被 7除所得的7种不同的余数0、1、2、3、4、5、6 分成七类.也就是7个抽屉任取8个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就 是它们除以7的余数相同，因此这两个数的差一定是7的

38、倍数【随练3】把十只小兔放进至多几个笼子里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔？【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答【解析】要想保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔，把小兔子当作物品”把 笼子”当作 抽屉”根据抽屉原理，要把10只小兔放进10 1 9个笼里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上 的小兔.【答案】9【作业1】用五种颜色给正方体各面涂色 （每面只涂一种色），请你说明：至少会有两个面涂色相同. 考点】抽屉原理 【难度】 2 星 【题型】解答解析】略答案】五种颜色最多只能涂 5 个不同颜色的面，因为正方体有 6 个面，还有一个面要选择这五种颜色中 的任意一种来涂，不

39、管这个面涂成哪种颜色，都会和前面有一个面颜色相同，这样就有两个面会 被涂上相同的颜色 也可以把五种颜色作为 5个“抽屉 ”，六个面作为六个物品，当把六个面随意 放入五个抽屉时，根据抽屉原理，一定有一个抽屉中有两个或两个以上的面，也就是至少会有两 个面涂色相同作业 2】证明：任取 6 个自然数，必有两个数的差是 5的倍数。考点】抽屉原理 【难度】 3 星 【题型】解答解析】略。答案】把自然数按照除以 5 的余数分成 5 个剩余类，即 5 个抽屉 .任取 6 个自然数，根据抽屉原理，至少 有两个数属于同一剩余类，即这两个数除以 5 的余数相同，因此它们的差是 5 的倍数作业 3】袋中有外形安全一样的红、 黄、蓝三种颜色的小球各 10 个，每个小朋友只能从中摸出 1 个小球， 至少有 个小朋友摸球，才能保证一定有两个人摸的球颜色一样考点】抽屉原理【难度】 2 星【题型】填空关键词】 2007年，第 5届，走美杯， 3 年级，初赛解 析】 本 题属于抽屉原理中构造抽屉解决问题， 每个小朋友从中摸一个小球， 小球的颜色可能为