初中数学代数式化简因式分解课件

1、第07招看菜吃饭-一代数式化简绝招式连连看【绝招传授】看菜吃饭，量体裁衣，说的是遇到具体问题要具体分析。在数学中，遇到不同特点的代 数式，它们最有效的化简方法也各不相同；适用于一类重要代数式的化简方法，在高中的代 数式运算中有着不可替代的作用，也是数学学习中必备技能。熟练掌握代数式化简，首先要理解、记住并用熟以卞公式： 平方差公式a2-b2 =(a + b)(a-b) 立方(和)差公式：a3 +b5 = (a ± b)a2 + ab + b2) 完全平方公式(a±b)2 = a2 ±2ab + b2, (a+b+cf =a2 +b2 +c2+ 2ab+2ac+2b

2、c 全立方公式(a ± bf =±3a2b + 3ab2 土在高中数学学习中，必须熟练掌握以下类型的代数式及它们的化简方法。(1)含根式代数式化简：利用(左边两个因式叫做互为共轨根式)代数式的拆与并：利用-_=k(B'A). _KA B AB顶+ A-B>77 Y + >? n> r* + Y + C(3)分离常数：如一-类型式子，通常把分子配凑成关于分母的式子，消 cix+bax + b去分子中的变量，也可令分母为t,化为关于t的代数式。通常又称作分离常数法。,2x + 3 2(x+1) + 1 f 1X+1X+lX+1b d f如一=、a:b：

3、c=l:2:3,常设其值为k。如演练1(2)。 ace(4)连比(或等)式:女 U y =-一=2 + o【典例分析】 例1.己知兀=£_茫=£+茫,求3扌5小+ 3于的值 V3-V2，、心11111（2） 化|Hj -= H = -= H = = H p= 严 H 产 尸 o1 + V2 v2 + V3 >/3+ V4 V4+ V5 y/5 + yJ6解：（1）+尸芈二+芈瘵=“_7+弟+匝）10,l3 + yj2 Q3-yj2>/3->/2 >/3+>/2 t巧=石二倉石刁?， 3x2一5q + 3y2 = 3（x +y）2-llxy =

4、3xl02-ll = 289 o(2)原式=,V4-V3（5/? 4-若）（v? - >/J）（VIi）|4 忑（V2 + 1）（V2-1）（V3 +5/2）（5/3->/2）辰扬 V6-V5+ (V5 + V4)+ (6 4- >/5)(>/6 - >/5)= >/2-l + V3-5/2+>/4->/3+>/5-5/4+V6-a/5=-1点评：利用共fti根式进行有理化运算，是含根式的代数式化简的基本方法。例2. (1)若壬£ = + _，求常数的值。x(x+2) x x + 2计算：匸r肓+翫罰八、. A B A(x + 2

5、)+ Bx (A + B)x + 2A 5x + 4帕(1) w： += _x x+2x(x+2).pl + B = 5, V2A = 4,(2)解：由(1)可知11 1+. +1x2 2x39x10“ 一丄=2。10 10点评：题中是代数式的裂项相消运算，是拆项化简的一种方法。例3求以下函数的最大值或最小值：,、2x + 3 z 一、4x2 + 4x + 5 z 1、<i)y =(心)尸一(x>-)x+lzx+12解：(i) y = ±=2 + /.-x>l,/.0< < 丄"2vy53；故函数有最大值 3。 X + lX + lX4-1 2

6、4(2)令 2x+1 = r > 0,.*. y = t + ，则 r2-X + 4 = 0,A = y2-16>0。又y当y = 2时取等号，故函数有最小值4。点评：常数分离是分式化简的重要方法，关键是把分子配凑成关于分母的代数式，再 进行约分消元，把分母进行整体代换是常用的技巧，如例3 (2)o【实战演练】1 .若仝,则伫-伫+伫+伫=。2 yJX+1 + yJX-l y/x+1 -,、d b c n. 2a + 3b-c(2)己知一=一=一，则=，2 3 4a+b+cx(x+2)x(x+2)解得(q)+(T+ + ()9 102. 利用完全平方公式化简：(1)(9一4巫:(2

7、) Jf+* 2(0vx<1).3. 试证：对任意正整数小 一 + -一 +1x2x32x3x4 n(n + l)(n + 2)4答案：1. (1) y/s ； (2)1 ； 2 Q)- 2 ； (2) x ©曰一1lr 11n(n+1)( + 2) 2 n(n +1) (n+1)( + 2)第08招蛇打七寸-一突破因式分解【绝招传授】因式分解是数学代数式运算的一项重要技能，在代数式化简、解方程、解不等式中都有 重要的应用，主要方法有：十字相乘法、提取公因式法.公式法、分组分解法、待定系数 法、求根法。熟练掌握因式分解技能的关键在哪里呢？“打蛇打七寸3就是打蛇要打蛇致命的地方。

8、要熟练因式分解这项技能，就必须掌握 对不同因式分解方法的关键之处，解题时能得心应手地抓住要害，选择行之有效的方法。提取公因式法，关键要分析式子各部分的相同因式；公式法的关键是分析式子特点，寻找与公式相同的结构，有针对性地应用公式：用十字相乘法分解二次三项式ax2+bx+c(a0)9是因式分解中最重要的内容之一，其 原理是运算关系式ax2 +bx+ c =(aix+bi)( a2x+b2)<>关键是分解a. c,使如、c=bi.bz,并 要求b=ai b2+a2br,可用“拆两边，验中间”六个字来概括。【典例分析】例1用十字相乘法分解因式：(1) X23x+2(2) x2 - (a

9、+ b)xy + aby2(3) X)7 1 + X y(4)2x=7xy22y=5x+35y3解析：(1)如图1,将二次项妒分解成图中的两个;i的枳，再将常数项2分解成一1与 2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一3卅 就是妒一3x+2中的一次项， 所以，F 3x+2=(x1)(x2)vx/_1A-2图1xayX-by图2X：图32aX_11v>X iJ图4(2)由图2,得x2 -(a + b)xy + ciby2 = (x-ay)(x-by)(3) xy-l + x-y =xy+(ay) 1 = (x 1)+1)(如图 3).(4) 如图4,分解F、b系数及常数项，验证十、尸

10、系数分解后交叉相乘的和，是否等于原 式xy系数，十系数、天系数分解后与常数分解后交叉相乘后的和是否分别等于原式X、 y项的系数。得：2x'-7xy-22y=5x+35y-3二(x+2y-3) (2xTly+l)点评：“拆两边，验中间S不是一拆了之，关键还要验算“交叉相乘后，积的和等于中 间项系数”，也是“拆”的目标。例2分解因式:a'+b'+c'3abc,若a、b、c为正数，证明a3+b3+c33abc.分析：分析代数式特点，须用立方和或全立方公式，而直接用立方和公式行不通，所以, 考虑用公式(a+b)9现将此公式变形为a3+b3= (a+b)3-3ab (a+

11、b)解析：原式二(a+b) 3-3ab (a+b) +cs-3abc=(a+b)3+c3 -3ab(a+b+c)=(a+b+c) (a+b) "-c (a+b)+c"l -3ab (a+b+c)=(a+b+c) (a"+b"+c-ab-bcca)考虑分解后的后面一个因式结构特点，联想公式(a±b)2=a2±2ab + b可得：a3+b3+c3-3abc= (a+b+c) (ab)"+ (bc)"+ (ac)MO。2即有£+b'+c»3ab6而且，当且仅当a=b=c时,等号成立。点评：公式

12、法因式分解，首先要熟悉公式特征，灵活运算公式及公式的变形。首先得熟 悉公式的特征，做题时，看到题目中有式子与公式中的形式特征相同，自然就有办法了。【实战演练】1. 分解因式：(1) 4.V4 13x2 + 9 :(2) 2x2 + xy 6y2:(3) W+x(Ka)2. SABC三边a，b , c满足d'+b'+c'=a/? + bc + co ,试判定的形状.3. 若关于x的方程ax2+bx+c = 0(aQ)的两个实数根是儿、兀，则二次三项式 cuc2+bx+c(a0)就可分解为ax-xx-x2),同样，若x=xo时，关于x的代数式等于 零，则该代数式必有一个因式X Xo,这是因式分解方