高考数学总复习(人教A版)配套教案：选修4-5 不等式选讲

1、选修45不等式选讲1两个实数大小关系的基本事实a>b_；ab_；a<b_.2不等式的基本性质(1)对称性：如果a>b，那么_；如果_，那么a>b.即a>b_.(2)传递性：如果a>b，b>c，那么_(3)可加性：如果a>b，那么_(4)可乘性：如果a>b，c>0，那么_；如果a>b，c<0，那么_(5)乘方：如果a>b>0，那么an_bn(nN，n>1)(6)开方：如果a>b>0，那么_(nN，n>1)3绝对值三角不等式(1)性质1：|ab|_.(2)性质2：|a|b|_.性质3：_|a

2、b|_.4绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a0a<0|x|<a|x|>a(2)|axb|c (c>0)和|axb|c (c>0)型不等式的解法|axb|c_；|axb|c_.(3)|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想5基本不等式(1)定理：如果a，bR，那么a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立(2)定理(基本不等式)：如果a，b&

3、gt;0，那么_，当且仅当_时，等号成立也可以表述为：两个_的算术平均_它们的几何平均(3)利用基本不等式求最值对两个正实数x，y，如果它们的和S是定值，则当且仅当_时，它们的积P取得最_值；如果它们的积P是定值，则当且仅当_时，它们的和S取得最_值6三个正数的算术几何平均不等式(1)定理如果a，b，c均为正数，那么_，当且仅当_时，等号成立即三个正数的算术平均_它们的几何平均(2)基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均_它们的几何平均，即_，当且仅当_时，等号成立7柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时等号

4、成立(2)设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1,2，n)时，等号成立(3)柯西不等式的向量形式：设，是两个向量，则|·|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立8证明不等式的方法(1)比较法求差比较法知道a>bab>0，a<bab<0，因此要证明a>b，只要证明_即可，这种方法称为求差比较法求商比较法由a>b>0>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时要证明a&

5、gt;b，只要证明_即可，这种方法称为求商比较法(2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的_，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式_的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立(5)放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地_，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关

6、系更为明显，从而得到欲证不等式成立(6)数学归纳法设Pn是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P1(或P0)成立；(2)在假设Pk成立的前提下，推出Pk1也成立，那么可以断定Pn对一切自然数成立1不等式|2x1|x2|<0的解集为_2不等式1<|x1|<3的解集为_3(2013·福建改编)设不等式|x2|<a(aN*)的解集为A，且A，A.则a的值为_4已知a、b、m均为正数，且a<b，M，N，则M、N的大小关系是_5设a，b，c，则a，b，c的大小关系为_.题型一含绝对值的不等式的解法例1(2012·课标全国)已知函数f(x)

7、|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围思维升华解绝对值不等式的基本方法：(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解已知函数f(x)|xa|.(1)若不等式f(x)3的解集为x|1x5，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)f(x5)m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围题型二柯西不等式的应用例2已知3x22y26，求证：2xy.思维升华使用柯西不等式时

8、，关键是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式子，二维形式的柯西不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时等号成立若3x4y2，试求x2y2的最小值题型三不等式的证明方法例3已知a，b，c(0，)，且abc1，求证：(1)(1)·(1)·(1)8；(2).思维升华用综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加

9、解题思路，开阔视野设a，b，c>0，且abbcca1.求证：(1)abc；(2) ()绝对值不等式的解法典例：(10分)解不等式|x1|x1|3.思维启迪本题不等式为|xa|xb|c型不等式，解此类不等式有三种方法：几何法、分区间(分类)讨论法和图象法规范解答解方法一如图所示，设数轴上与1,1对应的点分别为A，B，那么A，B两点的距离和为2，因此区间1,1上的数都不是不等式的解设在A点左侧有一点A1，到A，B两点的距离和为3，A1对应数轴上的x.4分1x1x3，得x.同理设B点右侧有一点B1到A，B两点距离之和为3，B1对应数轴上的x，x1x(1)3.x.从数轴上可看到，点A1，B1之间

10、的点到A，B的距离之和都大于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3.8分所以原不等式的解集是.10分方法二当x1时，原不等式可化为(x1)(x1)3，解得：x.3分当1<x<1时，原不等式可以化为x1(x1)3，即23.不成立，无解6分当x1时，原不等式可以化为x1x13.所以x.9分综上，可知原不等式的解集为.10分方法三将原不等式转化为|x1|x1|30.构造函数y|x1|x1|3，即y3分作出函数的图象，如图所示：函数的零点是，.从图象可知，当x或x时，y0，8分即|x1|x1|30.所以原不等式的解集为.10分温馨提醒这三种方法是解|xa|xb|c

11、型不等式常用的方法，方法一中关键是找到特殊点，方法二中的分类讨论要遵循“不重不漏”的原则，方法三则要准确画出函数图象，并准确找出零点.方法与技巧1解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求解含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|xa|xb|m或|xa|xb|m (m为正常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简便2不等式的证明方法灵活，要注意体会，要根据具体情况选择证明方法3柯西不等式的证明有多种方法，如数学归纳法，教材中的参数配方法(或判别式法)等，参数配方法在解决其它问题方面应用比较广泛柯西不等式的应用比较广泛，常见的有证

12、明不等式，求函数最值，解方程等应用时，通过拆常数，重新排序、添项，改变结构等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式失误与防范1理解绝对值不等式的几何意义2掌握分类讨论的标准，做到不重不漏3利用基本不等式必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合几个著名不等式的特征4注意检验等号成立的条件，特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立.A组专项基础训练1已知集合AxR|x3|x4|9，BxR|x4t6，t(0，)，求集合AB.2(2013·江苏)已知ab>0，求证：2a3b32ab2a2b.3若a、b、c均为实数，且ax22y，by22z，cz22x.求证：a、b、c中至少有

13、一个大于0.4(2013·课标全国)设a、b、c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcac；(2)1.5设不等式|2x1|<1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，bM，试比较ab1与ab的大小6(2013·辽宁)已知函数f(x)|xa|，其中a1.(1)当a2时，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集为x|1x2，求a的值B组专项能力提升1若nN*，Sn，求证：<Sn<.2(2013·课标全国)已知函数f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当a2时，求不等式f(x)<g

14、(x)的解集；(2)设a>1，且当x时，f(x)g(x)，求a的取值范围3(2012·福建)已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为1,1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求证：a2b3c9.4设a，b，c为正实数，求证：abc2. 答案要点梳理1ab>0ab0ab<02(1)b<ab<ab<a(2)a>c(3)ac>bc(4)ac>bcac<bc(5)>(6)>3(1)|a|b|(2)|ab|a|b|a|b|4(1)x|a<x<ax|x>a或x<ax|xR且x0

15、R(2)caxbcaxbc或axbc5(2)ab正数不小于(即大于或等于)(3)xy大xy小6(1)abc不小于(2)不小于a1a2an8(1)ab>0>1(2)充分条件(4)相反(5)放大或缩小夯基释疑1x|1<x<12.(4，2)(0,2)314.M<N5.a>b>c题型分类·深度剖析例1解(1)当a3时，f(x)当x2时，由f(x)3得2x53，解得x1；当2<x<3时，f(x)3无解；当x3时，由f(x)3得2x53，解得x4.所以f(x)3的解集为x|x1或x4(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.当x1,2时，|x

16、4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由条件得2a1且2a2，即3a0.故满足条件的a的取值范围为3,0跟踪训练1解方法一(1)由f(x)3得|xa|3，解得a3xa3.又已知不等式f(x)3的解集为x|1x5，所以解得a2.(2)当a2时，f(x)|x2|，设g(x)f(x)f(x5)，于是g(x)|x2|x3|所以当x<3时，g(x)>5；当3x2时，g(x)5；当x>2时，g(x)>5.综上可得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)f(x5)m，即g(x)m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(，5方法二(1)同方法一(2)当a2时，f(x)|x2|.

17、设g(x)f(x)f(x5)由|x2|x3|(x2)(x3)|5(当且仅当3x2时等号成立)，得g(x)的最小值为5.从而，若f(x)f(x5)m，即g(x)m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(，5例2证明由于2xy(x)(y)，由柯西不等式(a1b1a2b2)2(aa)(bb)得(2xy)2()2()2(3x22y2)()×6×611，|2xy|，2xy.跟踪训练2解由柯西不等式(3242)·(x2y2)(3x4y)2，得25(x2y2)4，所以x2y2.不等式中当且仅当时等号成立，x2y2取得最小值，由方程组解得因此当x，y时，x2y2取得最小值，最小值为

18、.例3证明(1)a，b，c(0，)，ab2，bc2，ca2，(1)·(1)·(1)8.(2)a，b，c(0，)，ab2，bc2，ca2，2(abc)222，两边同加abc得3(abc)abc222()2.又abc1，()23，.跟踪训练3证明(1)要证abc，由于a，b，c>0，因此只需证明(abc)23.即证：a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即证：a2b2c2abbcca.而这可以由abbccaa2b2c2 (当且仅当abc时等号成立)证得原不等式成立(2) .在(1)中已证abc.因此要

19、证原不等式成立，只需证明.即证abc1，即证abcabbcca.而a，b，c.abcabbcca (abc时等号成立)原不等式成立练出高分A组1解|x3|x4|9，当x<3时，x3(x4)9，即4x<3；当3x4时，x3(x4)79恒成立；当x>4时，x3x49，即4<x5.综上所述，Ax|4x5又x4t6，t(0，)，x262，当t时取等号Bx|x2，ABx|2x52证明2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因为ab>0，所以ab0，ab>0,2ab>0，从而(ab)(ab)(2ab

20、)0，即2a3b32ab2a2b.3证明假设a、b、c都不大于0，即a0，b0，c0，所以abc0.而abc(x22x)(y22y)(z22z)(x1)2(y1)2(z1)23.所以abc>0，这与abc0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0.4证明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.5解(1)由|2x1|<1得1<2x1<1，解得0<x<1.所以Mx|0<x<1(2)由(1)和a，bM可知0<a<1,0<b<1