2022版新教材高考数学一轮复习第2章函数的概率与基本初等函数Ⅰ第6节对数与对数函数学案含解析新人教A版

1、高考复习资料第六节对数与对数函数一、教材概念·结论·性质重现1对数的概念一般地，如果axn(a>0，且a1)，那么数x叫做以a为底n的对数，记作xlogan，其中a叫做对数的底数，n叫做真数2对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0，且a1，m>0，n>0，那么loga(mn)logamlogan；logalogamlogan；logamnnlogam (nr)(2)对数的性质loga10；logaa1；an；logaann(a>0，且a1)(3)对数的换底公式logab(a>0，且a1；b>0；c>0，且c1)换底

2、公式的三个重要结论(1)logab.(2)logbnlogab.(3)logab·logbc·logcdlogad.其中a>0，且a1，b>0，且b1，c>0，且c1，m，nr.3对数函数(1)一般地，函数ylogax(a>0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，). (2)对数函数的图象与性质0<a<1a>1图象定义域(0，)值域r性质过定点(1,0)，即x1时，y0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0减函数

3、增函数对数函数图象的特征(1)由图可知，0<d<c<1<b<a.(2)对数函数ylogax(a>0，且a1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，函数图象只在第一、第四象限4反函数指数函数yax(a>0，且a1)与对数函数ylogax(a>0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称二、基本技能·思想·活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“×”(1)loga(mn)logamlogan(×)(2)logax·logayloga(xy)(×)(3)函数ylog2x及y

4、log3x都是对数函数(×)(4)对数函数ylogax(a>0，且a1)在(0，)上是增函数(×)(5)函数yln 与yln(1x)ln(1x)的定义域相同()2计算log29×log342log510log50.25()a0b2 c4d6d题目解析：原式2log23×(2log32)log5(102×0.25)4log525426.3函数yloga(x1)2(a0，且a1)的图象恒过定点_(2,2)题目解析：当x2时，函数yloga(x1)2(a0，且a1)的值为2，所以图象恒过定点(2,2)4函数ylg|x|()a是偶函数，在区间(，

5、0)上单调递增b是偶函数，在区间(，0)上单调递减c是奇函数，在区间(0，)上单调递减d是奇函数，在区间(0，)上单调递增b题目解析：ylg|x|是偶函数，由图象知(图略)，函数在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增5若函数yf (x)是函数yax(a>0，且a1)的反函数，且f (2)1，则f (x)()alog2x b clog0.5x d2x2a题目解析：由题意知f (x)logax(a>0，且a1)因为f (2)1，所以loga21.所以a2.所以f (x)log2x.考点1对数运算问题基础性1填空：(1)lg 25lg 2lglog29×log32的值是_(

6、2)已知2x12，log2y，则xy的值为_(3)设2a5bm，且2，则m_.(1)(2)2(3)题目解析：(1)原式lg 5lg 2212.(2)因为2x12，所以xlog212，所以xylog212log2log242.(3)因为2a5bm>0，所以alog2m，blog5m，所以logm2logm5logm102.所以m210.所以m.2(2021·北京二中高三月考)在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/l，记作h)和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/l，记作oh)的乘积等于常数1014.已知ph值的定义为phlgh，健康人体血液的ph

7、值保持在7.357.45之间，那么健康人体血液中的可以为(参考数据： lg 20.30，lg 30.48)()a b c dc题目解析：由题设有1014h2.又107.45h107.35 ，所以100.91014h2100.7.所以0.9lg1014h20.7.又lg 0.3，lg 0.48，lg 0.78，lg 1，只有lg 在范围之中故选c解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简(2)将同底对数的和、差、倍合并(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用(4)利用常用对数中的lg 2lg 51.考点2对数函数的图象及

8、应用综合性(1) 已知函数f (x)是定义在r上的偶函数，且当x0时，f (x)ln(x1)，则函数f (x)的大致图象为()c题目解析：先作出当x0时，f (x)ln(x1)的图象，显然图象经过点(0,0)，再作此图象关于y轴对称的图象，可得函数f (x)在r上的大致图象，如选项c中图象所示(2)当0x时，4xlogax，则实数a的取值范围是()abc(1，)d(，2)b题目解析：易知0a1，函数y4x与ylogax的大致图象如图由题意可知只需满足loga4，解得a，所以a1.故选b1将本例(2)中“4xlogax”变为“4xlogax有解”，则实数a的取值范围为_题目解析：若方程4xlog

9、ax在上有解，则函数y4x与函数ylogax的图象在上有交点由图象可知解得0a，即a的取值范围为.2若本例(2)变为：已知不等式x2logax<0对x恒成立，则实数a的取值范围为_题目解析：由x2logax<0得x2<logax.设f 1(x)x2，f 2(x)logax，要使x时，不等式x2<logax恒成立，只需f 1(x)x2在上的图象在f 2(x)logax图象的下方即可当a>1时，显然不成立；当0<a<1时，如图所示要使x2<logax在x上恒成立，需f 1f 2，所以有loga，解得a，所以a<1.即实数a的取值范围是.利用对数

10、函数的图象解决的两类问题及技巧(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解1下列函数中，其图象与函数yln x的图象关于直线x1对称的是()ayln(1x)byln(2x)cyln(1x)dyln(2x)b题目解析：易知yln x与yln(x)的图象关于y轴对称，将yln(x)的图象向右平移2个单位长度所得图象yln(x2)ln(2x)即与yln x的图象关于直线x1对称2已知函数f (x)关于x的方程f (x)xa0有且只有一个实根，则

11、实数a的取值范围是_(1，)题目解析：问题等价于函数yf (x)与yxa的图象有且只有一个交点，结合图象可知a>1.考点3对数函数的性质及应用应用性考向1比较函数值的大小设a0.50.4，blog0.40.3，clog80.4，则a，b，c的大小关系是()aa<b<c bc<b<a cc<a<b db<c<ac题目解析：因为0<a0.50.4<0.501，blog0.40.3>log0.40.41，clog80.4<log810，所以c<a<b.比较对数值大小的常见类型及解题方法常见类型解题方法底数为同一

12、常数可由对数函数的单调性直接进行判断底数为同一字母需对底数进行分类讨论底数不同，真数相同可以先用换底公式化为同底后，再进行比较底数与真数都不同常借助1,0等中间量进行比较考向2对数方程或不等式问题(1)设函数f (x)若f (a)f (a)，则实数a的取值范围是()a(1,0)(0,1)b(，1)(1，)c(1,0)(1，)d(，1)(0,1)c题目解析：或解得a1或1a0.故选c(2)方程log2(x1)2log2(x1)的解为_x题目解析：原方程变形为log2(x1)log2(x1)log2(x21)2，即x214，解得x±.又x>1，所以x.简单对数不等式问题的求解策略(

13、1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解(2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解考向3对数函数性质的综合问题若函数f (x)log2(x2ax3a)在区间(，2上单调递减，则实数a的取值范围是()a(，4) b(4,4c(，4)2，)d4,4)d题目解析：由题意得x2ax3a>0在区间(，2上恒成立，且函数yx2ax3a在(，2上单调递减，则2且(2)2(2)a3a>0，

14、解得4a<4.所以实数a的取值范围是4,4)故选d解决对数函数性质的综合问题的注意点(1)要分清函数的底数a(0,1)，还是a(1，)(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行(3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性1(2019·全国卷)已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，则()aa<b<cba<c<bcc<a<bdb<c<ab题目解析：因为alog20.2<log210，b20.2>201,0<c0.20.3<0.201，所以a<c<b.故选b2已知不等式logx(2x21)<logx3x<0成立，则实数x的取值范围是_题目解析：原不等式