2022版新教材高考数学一轮复习第3章导数及其应用第2节第2课时导数与函数的极值最值学案含解析新人教A版

1、高考复习资料第2课时导数与函数的极值、最值一、教材概念·结论·性质重现1函数的极值与导数条件f (x0)0x0附近的左侧f (x)>0，右侧f (x)<0x0附近的左侧f (x)<0，右侧f (x)>0图象形如山峰形如山谷极值f (x0)为极大值f (x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点(1)函数的极大值和极小值都可能有多个，极大值和极小值的大小关系不确定(2)对于可导函数f (x)，“f (x0)0”是“函数f (x)在xx0处有极值”的必要不充分条件2函数的最值与导数(1)函数f (x)在a，b上有最值的条件一般地，如果在区间a，b上

2、函数yf (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)求函数yf (x)在区间a，b上的最大值与最小值的步骤求函数yf (x)在区间(a，b)上的极值；将函数yf (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值(1)求函数的最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值(2)若函数f (x)在区间a，b内是单调函数，则f (x)一定在区间端点处取得最值；若函数f (x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点(3)函数最值是“整体”概念，而函数极值

3、是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系二、基本技能·思想·活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“×”(1)函数的极大值不一定比极小值大()(2)对可导函数f (x)，f (x0)0是x0点为极值点的充要条件(×)(3)函数的极大值一定是函数的最大值(×)(4)开区间上的单调连续函数无最值()2f (x)的导函数f (x)的图象如图所示，则f (x)的极小值点的个数为()a1b2c3d4a题目解析：由题意知在x1处f (1)0，且其两侧导数符号为左负右正，f (x)在x1左减右增故选a3函数f (x)2xxln x的极大

4、值是()a b ce de2c题目解析：f (x)2(ln x1)1ln x令f (x)0，得xe.当0<x<e时，f (x)>0；当x>e时，f (x)<0.所以xe时，f (x)取到极大值，f (x)极大值f (e)e.4若函数f (x)x(xc)2在x2处有极小值，则常数c的值为()a4 b2或6 c2 d6c题目解析：函数f (x)x(xc)2的导数为f (x)3x24cxc2.由题意知，f (x)在x2处的导数值为128cc20，解得c2或6.又函数f (x)x(xc)2在x2处有极小值，故导数在x2处左侧为负，右侧为正当c2时，f (x)x(x2)2的

5、导数在x2处左侧为负，右侧为正，即在x2处有极小值而当c6时，f (x)x(x6)2在x2处有极大值故c2.5函数f (x)2x32x2在区间1,2上的最大值是_8题目解析：f (x)6x24x2x(3x2)由f (x)0，得x0或x.因为f (1)4，f (0)0，f ，f (2)8，所以最大值为8.考点1利用导数求函数的极值综合性考向1根据函数的图象判断函数的极值(多选题)已知函数f (x)在r上可导，其导函数为f (x)，且函数y(1x)f (x)的图象如图所示，则()a函数f (x)有极大值f (2)b函数f (x)有极大值f (2)c函数f (x)有极小值f (2)d函数f (x)有

6、极小值f (2)bd题目解析：由题图可知，当x<2时，f (x)>0；当2<x<1时，f (x)<0；当1<x<2时，f (x)<0；当x>2时，f (x)>0.由此可以得到函数f (x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值根据函数的图象判断极值的方法根据已知条件，分情况确定导数为0的点，及导数为0点处左右两侧导数的正负，从而确定极值类型考向2已知函数题目解析式求极值已知函数f (x)ln xax(ar)(1)当a时，求f (x)的极值；(2)讨论函数f (x)在定义域内极值点的个数解：(1)当a时，f (x)ln xx，定义域为(

7、0，)，且f (x).令f (x)0，解得x2.于是当x变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表.x(0，2)2(2，)f (x)0f (x)ln 21故f (x)在定义域上的极大值为f (2)ln 21，无极小值(2)由(1)知，函数的定义域为(0，)，f (x)a.当a0时，f (x)>0在(0，)上恒成立，即函数f (x)在(0，)上单调递增，此时函数f (x)在定义域上无极值点；当a>0，x时，f (x)>0，x时，f (x)<0，故函数f (x)在x处有极大值综上可知，当a0时，函数f (x)无极值点；当a>0时，函数f (x)有一个极大值点，且为

8、x.求函数极值的一般步骤(1)先求函数f (x)的定义域，再求函数f (x)的导函数；(2)求f (x)0的根；(3)判断在f (x)0的根的左、右两侧f (x)的符号，确定极值点；(4)求出函数f (x)的极值考向3已知函数的极值求参数设函数f (x)ax2(4a1)x4a3ex.(1)若曲线yf (x)在点(1，f (1)处的切线与x轴平行，求a；(2)若f (x)在x2处取得极小值，求a的取值范围解：(1)因为f (x)ax2(4a1)·x4a3ex，所以f (x)ax2(2a1)x2ex，f (1)(1a)e.由题设知f (1)0，即(1a)e0，解得a1.所以a的值为1.(

9、2)由(1)得f (x)ax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)ex.若a>，则当x时，f (x)<0；当x(2，)时，f (x)>0.所以f (x)在x2处取得极小值若a，则当x(0,2)时，x2<0，ax1x1<0，所以f (x)>0.所以2不是f (x)的极小值点综上可知，a的取值范围是.已知函数极值点或极值求参数的两个关键(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证该点左右两侧的正负1(多选题)定义在区间上的函数f (x)

10、的导函数f (x)图象如图所示，则下列结论正确的是()a函数f (x)在区间(0,4)单调递增b函数f (x)在区间单调递减c函数f (x)在x1处取得极大值d函数f (x)在x0处取得极小值abd题目解析：根据导函数图象可知，f (x)在区间上，f (x)<0，f (x)单调递减，在区间(0,4)上，f (x)0，f (x)单调递增所以f (x)在x0处取得极小值，没有极大值所以a，b，d选项正确，c选项错误故选abd2(2020·青岛一模)已知函数f (x)(e2.718为自然对数的底数)若f (x)的零点为，极值点为，则()a1 b0 c1 d2c题目解析：当x0时，f

11、(x)3x9为增函数，无极值令f (x)0，即3x90，解得x2，即函数f (x)的一个零点为2；当x<0时，f (x)xex<0，无零点，f (x)exxex(1x)ex，则当1<x<0时，f (x)>0.当x<1时，f (x)<0，所以当x1时，函数f (x)取得极小值综上可知，2(1)1.故选c3函数f (x)的极小值为_题目解析：f (x).令f (x)<0，得x<2或x>1；令f (x)>0，得2<x<1.所以f (x)在(，2)，(1，)上单调递减，在(2，1)上单调递增，所以f (x)极小值f (2).

12、4设函数f (x)ax32x2xc(a0)(1)当a1，且函数图象过点(0,1)时，求函数f (x)的极小值；(2)若f (x)在(，)上无极值点，求a的取值范围解：f (x)3ax24x1.(1)函数f (x)的图象过点(0,1)时，有f (0)c1.当a1时，f (x)3x24x1(3x1)(x1)令f (x)>0，解得x<或x>1；令f (x)<0，解得<x<1.所以函数f (x)在和(1，)上单调递增；在上单调递减，极小值是f (1)132×12111.(2)若f (x)在(，)上无极值点，则f (x)在(，)上是单调函数，即f (x)0或

13、f (x)0恒成立当a0时，f (x)4x1，显然不满足条件；当a>0时，f (x)0或f (x)0恒成立的充要条件是(4)24×3a×10，即1612a0，解得a.综上，a的取值范围为.考点2利用导数求函数的最值应用性(2020·北京卷)已知函数f (x)12x2.(1)求曲线yf (x)的斜率等于2的切线方程；(2)设曲线yf (x)在点(t，f (t)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为s(t)，求s(t)的最小值解：(1)因为f (x)12x2，所以f (x)2x.设切点为(x0,12x)，则2x02，即x01，所以切点为(1,11)由点斜式可得切线

14、方程为y112(x1)，即2xy130.(2)显然t0，因为yf (x)在点(t,12t2)处的切线方程为y(12t2)2t(xt)，即y2txt212.令x0，得yt212；令y0，得x.所以s(t)×(t212)·，t0，显然为偶函数只需考察t0即可(t<0时，结果一样)，则s(t)，s(t).由s(t)>0，得t>2；由s(t)<0，得0<t<2.所以s(t)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，所以t2时，s(t)取得极小值，也是最小值为s(2)32.综上所述，当t±2时，s(t)min32.求函数f (x)在区

15、间a，b上的最大值与最小值的步骤(1)求函数在区间(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f (a)，f (b)；(3)将函数f (x)的各极值与f (a)，f (b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值已知k，函数f (x)(x1)exkx2.(1)求函数f (x)的单调区间；(2)求函数f (x)在0，k上的最大值解：(1)由题意得f (x)ex(x1)ex2kxx(ex2k)因为k，所以12k2.令f (x)0，所以或解得xln 2k或x0.所以函数f (x)的单调递增区间为(ln 2k，)，(，0)令f (x)0，所以或解得0xln 2k.所以函数f (x)的单

16、调递减区间为(0，ln 2k)所以函数f (x)的单调递增区间为(ln 2k，)，(，0)，单调递减区间为(0，ln 2k)(2)令(k)kln (2k)，k，(k)10.所以(k)在上是减函数所以(1)(k).所以1ln 2(k)k，即0ln (2k)k.所以f (x)，f (x)随x的变化情况如下表：x(0，ln (2k)ln (2k)(ln (2k)，k)f (x)0f (x)极小值f (0)1，f (k)f (0)(k1)ekk3f (0)(k1)ekk31(k1)ek(k31)(k1)ek(k1)(k2k1)(k1)ek(k2k1)因为k，所以k10.对任意的k，yek的图象恒在直线

17、yk2k1的下方，所以ek(k2k1)0.所以f (k)f (0)0，即f (k)f (0)所以函数f (x)在0，k上的最大值f (k)(k1)ekk3.考点3极值与最值的综合应用综合性(2020·山东师范大学附中高三质评)已知函数f (x)x2·eax1bln xax(a，br)(1)若b0，曲线f (x)在点(1，f (1)处的切线与直线y2x平行，求a的值；(2)若b2，且函数f (x)的值域为2，)，求a的最小值解：(1)当b0时，f (x)x2eax1ax，x>0，f (x)xeax1(2ax)a.由f (1)ea1(2a)a2，得ea1(2a)(a2)0

18、，即(ea11)(2a)0，解得a1或a2.当a1时，f (1)e012，此时直线y2x恰为切线，舍去所以a2.(2)当b2时，f (x)x2eax12ln xax，x>0.设tx2eax1(t>0)，则ln t2ln xax1，故函数f (x)可化为g(t)tln t1(t>0)由g(t)1，可得g(t)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，)，所以g(t)的最小值为g(1)1ln 112.此时，t1，函数f (x)的值域为2，)问题转化为：当t1时，ln t2ln xax1有解，即ln 12ln xax10，得a.设h(x)，x>0，则h(x)，故h(x)

19、的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，)，所以h(x)的最小值为h()，故a的最小值为.求解函数极值与最值综合问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，函数的题目解析式含参数时，要讨论参数的大小(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值1(2021·福建三校联考)若方程8xx26ln xm仅有一个解，则实数m的取值范围为()a(，7)b(156ln 3，)c(1261n 3，)d(，7)(156ln 3，)d题目解析：方程8xx26ln xm仅有一个解等价于函数m(x)x28x6ln xm(x>0)的图象与x轴有且只有一个交点对函数m(x)求导得m(x)2x8.当x(0,1)时，m(x)>0，m(x)单