多元表征融入分数的乘法教学

1、多元表徵融入分数的乘法教季阈小的分数向来是敕it虑理的教材，原因在於分数的需要符 具醴操作辅燮悬抽象的思雉，因童!隹以符现1T世界中完整的柬西 切割成分数的型熊。一般而言，概念可以用具醴表徵、圈像表徵 和符虢表徵三槿方式呈现。而 Lesh (1987)的研究中建1羲Bruner的 三彳固表徵模式可以延伸成五彳固表徵别，如圈 1:H 1的五槿表徵(Lesh & Behr,1987 )(一)真K情境(Real-world situations )：是由K除世界所的知ti,可用来解释其他的内容或冏题情境，如披窿。(二)教具模型(Manipulative )：如古氏稹木、百格板、分数板。(三)

2、BI像(Pictures )：敕青争!i的模式，也可是心像。(四)言吾言(Spoken symbols):如三分之一。(五)善嘉符虢(Written symbols):可能涉及到特殊化的句子或 片言吾,工如。3Bruner的建II是由具I!表徵到圈重表徵再到符虢表徵的J嗔序，但Lesh所著重的是表徵之的皆副系，各造些表 徵之和之内的层副系H悬辅换（translations ），每一彳邮明龛封 生而言就是一彳固概念的重新解释。 Lesh, Behr和Post 生必 须具有以下修件才可算是了解一彳固概念（引自吕玉琴， 1991）:生必须能符此概念放入各槿不同的表徵系;在给定的表徵系统内，必（能很有

3、弹性的虑理造彳固概念；必须能别很精碓的符此概念徙一彳固表徵系统辅换到另一彳固表 徵系统。但在教现埸，生在各槿表徵之的辅换曾出现困必须仰 赖教白市使用不同的表徵，曲助生建立新概念加建余吉营余笃瞬，曲助 生符具醴表徵抽象化，迤而推出成人算期。迷思概念Kennedy和Tipps（2000）的研究指出，分数的乘法主要有三H 不同的分数乘法型：分数x整数、整数x分数、分数x分数。在教 整数的乘法日寺，余吉果一定比原来的数大，然而造檬的余笃瞬曾 生在分数的乘法日争蠢生疑惑，因此教日寺，教白市也要打 破：乘一定燮大的迷思。型1 ：分数x整数先徙累加的概念著手，噢起整数乘法的意羲，可透遇算式、 稹木模型、圈解

4、等方式，弓金罩位量（基型量）悬基碘，多 黑次速加典乘法算式的函却超iff:如：3/4+3/4+ = 3/4 X5=15/4,提供襄何模型板搭配明，探索或言寸此型乘法建算 的规即，同日寺K示出军位分数的重要。型2:整数X分敷此分数的基本概念，弓金I!基型量（II代表1）典军位分数的意羲，提供生可操作的具醴物或圈形表徵，以高隹散量悬 佳，引生探索奥言寸此型分数乘法的烷即，或和前一型 迤行比敕，得出基型量、分割、罩位分数的重要。型3:分数X分数以建量的情境悬佳，优圈解的操作来弓金I1再分割以及典原 基型量的比敕，分数x分数已涉及基型量、再分割、罩位分数、 典原基型量四槿不同的概念。分数乘法中最重要的

5、概念：基型量、子分割、罩位分数、合成等 概念。要提供高隹散量或速量的圈形表徵，能增加生封分数概念的 分数的乘法除了引出分数乘法共同法郎外，逮要弓金化涉及的基 本概念。Dickson, Brown, 和Gibson (1984)符分数乘法的解IS模式分 成雨槿型：(一)面稹的乘稹模式(product as area )：符分数的乘法用 具H圈像表徵成矩形的面稹(H 2)。例：H 2 面稹的乘稹模式(product as area )(引自 Payne, 1976 )(二)部分一整UES域面稹模式(sub-area as part of a whole area):443H 3 部分一整UES域面

6、稹模式（sub-area as part of a whole area）（引自 Payne, 1976 ）215H 4 部分整UES域面稹模式（sub-area as part of a whole area）（引自 Payne, 1976 ）本教符依携（上述二彳固研究，以部分整H典面稹的 乘稹模式雨槿方式的伟题来引教重黑占生最感困!隹之 被乘数悬带分数的型，教方式侧重优具醴情境切入，渐次引 生迤行抽象思雉，最彳爰能成功的掌握分数的概念。止匕外，我伸也弓金I1透遇各槿多元表徵的弹性建用，包括：摺余氏（教具模型表徵）、生（圈像表徵）、中秋月耕（真1T情境表徵）、（害嘉 符虢）、冏题言寸典概念澄

7、清（言吾言表徵）的呈现，加弓金生封分数 概念的理解，或能掌握四、架横圜教具模型摺抵摺出1 x1.的结果4 4真情境嫣嫣的中秋月限并作悬真情境的逋结分数的乘法WW符虢利用：分母相乘，分子相乘的_ 1 1 _ 14 4 16鄙象能清楚1的意羲，或藉由重出-x1的结果4 4辛口口 口出分数相乘的算刖11 一以1 >4的谩程和结果悬例。4 4真情境害K符虢二乜一 口口 口参 教擘活勤（含擘雪罩、老肺冏者舌） 活勤：嫣嫣的中秋月耕活豆J内容明Bi情境：中秋快到了，嫣嫣做了很多现好大好大的月耕。12闻彪一：哥哥吃了 4瑰月耕，爸爸吃了 8现月耕，I!吃的多？理解等值分数指厚重黑占：透遇操作，言襄生先

8、等值分数的意羲，优操作或圈像言襄生理解：基型量相同日寺，内部的切割数 量如果不同，也可以透遇比敕，取出相同大小的分 量。12121 .先用摺纸做出4 ,再用摺纸做出8 ,封照4典8。 1 22 .藉由摺抵或切割的操作，加弓金UtS了可分成悬-483 .椀生是否能明碓出等值分数的意羲。4 .优圈示可觐察，富分母由4份切成8份日寺，分子也同日寺由1, 一 _ 1_，2份切成2份，觐察得T可分成悬占。48冏题二：叔叔跟孀孀带著堂哥来拜我PL他凭三彳固人各吃了分数乘以1现月耕，者青冏他凭三人共吃了黑境月耕？整数4指厚重黑占：分数乘以整数，重黑占鹰放在倍数概念的延伸， 故此虞以倍数的题型，指生理解分数乘

9、以 整数的概念。11111 .生能明碓知道 4 x 3= 4+4 + 4（分数乘以整数可视作分数的速加）12 .指生列出4 X3的算式3 .做BI表不：_I1一，、一，4 .觐察圈形可W,4要建成3倍日寺，分割的份数或没有改燮，所以分母雉持4,但分子的部份已增加悬 3倍，答案可 以嘉成3 。5. 4 X3可嘉做成人算即，431 33X "= 一=1416.带分数乘以整数畤，也是先以圈示的方式表示（例如1 （发）， 透遇倍数的层鼾系，来察H带分数中的整数（1）典分数（） 都同畤增加了 2倍，言襄生了解到带分数乘以整数日寺，可以 符整数典分数分算的方式来虞理，以便日彳爰典分数算即 做速余

10、吉。若符带分数化作假分数，即整数的部份也要做分割，1或徙假分数x整数的圈示中，察Jt罩位分数（：）呈倍数增 加的情形。整数乘以 分数冏题三：嫣嫣想要算一算今年余恩共做了多少现月耕，一彳固月耕盒可以装8现，嫣嫣做了 6 q.3.如果可以使用交换律，6TX8是不是63速加八次？曾不曾 4太麻烦？有没有别的作法？4.本题也可使用分配律5.作BI表示：盒，共有黑境？4指厚重黑占：此虞以整数X带分数做I6例明，整数X 真分数可用相同方式引生言寸!篦曾。1 .思考题目，先生言寸被乘整数畤怎麽辨？分数的乘 法也可使 用分配律2 .思考方向：根携I遇去1T乘法交换律的余笃瞬，8 X6-可不可4以嘉成63 X

11、8 ?4二 54口 3一 3 .6.符带分数化悬假分数算日寺，8X6;要先符6 3化作假分44.27 一数247 ,透遇罩位分数的意羲，符基型量8切割成4份，再符余吉果乘以27。在遇程中，言襄生察!此型的冏题需符整数先迤行军位分数的切割，再乘以分子，就可以得到余吉果。分数乘以 分数冏题四：奶奶出来迎接叔叔他PL奶奶我也想要吃月耕， 一 1.，一*，1.，一*.可是1瑰月耕太多了，我想吃 1瑰月耕的一半就44好。，言青冏奶奶想吃黑现月耕？指厚重黑占：,1一一八，一 1一 一.1 .奶奶想吃4的一半，首先要了解一半就是 鼻，需指生 了解一半的意羲。1 一 11-2 . 4乘以&所得之值鹰要

12、比4小，生明碓!浣明，值比 敕小的原因是：因悬又少了一半。3 .亦可藉由重圈切割或是摺余氏操作得到答案。1 .4 .wiam：此虑要引生思考，乘以1和除以2的意羲是 否相同？5 .做HI表示：言昼的十三6 .常乘数不是军位分数日寺，如何虑理？1真分数X真分数的算即（分母相乘、分子相乘）：以4例，重黑占是分数乘以分数日寺，先符被乘数切割成3份，再乘以2倍，逐渐引生理解算即分数乘以 带分数的 值曾建大冏题五：爸爸吃了 2现月耕，伯伯吃的是爸爸的 11倍，伯 82伯吃了黑境，有没有比爸爸多？指厚重黑占：、，一一 ，一_1 _1 .首先釐清魅意，1-是否比1倍逮要多？若是，即做出来的答一，2, . 1

13、1,案要比2 （也就是7大）。12 .伯伯的11倍是指1倍加上-倍，所以生可先算出1倍2 29 121等於以瑰，再算出2的1倍等於1境，雨敷相加得到88 283塔83.教白市指醇，真分数乘以带分数畤，可先符带分数化悬假分数， 13探用【真分数x真分数1的算即，乘数1a化悬J ,先符被乘21数8乘以2 ,再乘以分子的3倍，亦可求出答案。4.做H1表不：（作法一）分数乘法的意羲:使用分配律昌仁叁+鼻（作法二）军位分数的意羲：带分数化成假分数XyX3xl I |X4X33X3二三带分 数相乘一.一 . 、 3 冏题六：伯伯跟叔叔要回家了，伯伯提了 二盒月耕回家，叔叔8拿的是伯伯的22倍，叔叔拿了黑盒回家？共有黑能掌握军 位典数量 的互换指厚重黑占：1.先展分盒和瑰是不同的大小军位。1.1 #：带分数x带分数的题目，如果不想化成假分数日寺，怎 麽使用分配律？3 .作HI表不：3里匪SiXx4 .可以先把乘数的整数和分数部份分分别乘以乘数的整数 和分数部份，依照先前遇的真分数X带分数的概念，可以J嗔 利解决带分数x带分数的冏题。5 .思考：假分数x假分数，是否也可以使用真分数x真分数的算 即？1156 .先符被乘数典乘数都化成假分数7 X-