导数大题的常用找点技巧和常见模型

1、导数大题的常用找点技巧和常见模型引子：（2017年全国新课标 1·理· 21）已知 f x ae2x a 2 ex x.1）讨论 f x 的单调性；2） 若 f x 有两个零点，求 a 的取值范围 .解析：（ 1） f ' x 2ae2x a 2 ex 1 2ex 1 aex 1若a0 ，则 f ' x 0 恒成立，所以 f x 在 R 上递减；若a110 ，令 f ' x 0 ，得 ex 1,x ln 1 . a当x1ln 时， f ' x 0 ，所以 f x 在 a,ln 1 上递减； a当xln1时， f' x 0，所以 f x

2、 在 aln 1, 上递增 . a综上，当 a 0时， f x 在 R 上递减；当1 上递增 .a 0 时， f x 在 ,ln 1 上递减，在 ln 1, a2） f x 有两个零点，必须满足 f x min 0，即 a 0 ，且 f x min11f ln 1 1 1 ln 1 0.a a a1构造函数 g x 1 x lnx，x 0. 易得 g' x 10，所以 g x 1 x ln x单调递减 .x1111又因为 g 1 0，所以 1ln 0 g g 1 1 0 a 1.aaaa面只要证明当 0 a 1时， f x 有两个零点即可，为此我们先证明当 x 0时， x ln x.1

3、事实上，构造函数 h x x lnx ，易得 h' x 1 ， h x min h 1 1，所以 h x 0，即 x lnx. x min2a a 2 a ea e2 2 当 0 a 1 时， f 1 a2 a 2 1 20 ，f ln 3 a aa 3a 1 a 2 a3 1eeln 3 1 3 1 ln 3 1 0 ，a a a上各有一个零点 .1 3 a 1 1 1 其中 1 ln ， ln ln ，所以 f x 在 1,ln 和 ln ,lnaaa a a故 a 的取值范围是 0,1 .方面：2x x 2x x x xae a 2 e x 0 ae a 2 e e 0 ae a

4、 3 0x 3 a exx ln 3 1 a另一方面： x 0 时， ae2x a 2 ex x 0 a 2 ex x 0 x 1（目测的）常用的放缩公式 （考试时需给出证明过程）第一组：对数放缩（放缩成一次函数） ln x x 1， ln x x ， ln 1 x x1111（放缩成双撇函数） ln x x x 1 ， ln xx 0 x 1 ，2x2x11ln x x x 1 ， ln x x 0 x 1 ，xx放缩成二次函数）ln x x2 x， ln 1 x x 1x2 1 x 0 ，ln 1 x x 12x2 x 0（放缩成类反比例函数） lnx 1 1，lnx 2 2x 2xln

5、1 x ， ln 1 x x 0 ， ln 1 x x 01 x 1 x 1 x第二组：指数放缩（放缩成一次函数） ex x 1，ex x， ex ex，（放缩成类反比例函数） ex1 x 0 ， ex1 x 0 ，1 x x111（放缩成二次函数） ex 1 x x2 x 0 ， ex 1 xx2x3 ，226第三组：指对放缩ex ln x x 1 x 1 2第四组：三角函数放缩12 sinx x tanx x 0 ， sinx x x ， 第五组：以直线 y x 1 为切线的函数x 1 2y ln x ， y e1， y x x ， y 1 1 x 1 ，lnx 2 x 1 0 x 1 ，

6、1 1x2 cosx 1 1sin2 x.221， y xlnx.xx x 1 x 1几个经典函数模型经典模型一：ln x xy 或 yx ln x例 1】讨论函数 f x lnx ax 的零点个数 .11）a时，无零点 .e111f ' x a ， f x max f ln 1 0.xaa12）a时， 1个零点 .e11f' x ， f x max f e lne 1 0.xe13）当 0 a 讨论 f x ln x m x 的零点个数 （令 x t ， m a ）；2 1时， 2个零点 .e1 1 a 1 a 1f 1 a 0 （目测）， f ln 1 0 ，其中 1e .

7、（放缩）1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 af e 1 ea 0.4）12ln 12 11 aa2 a2 aa1 a 0 ，其中 12 e2 e. aa2用到了 ln x x11x x 1 ）a 0时， 1个零点 .f ' x 1 a 0 ，单调递增 . f 1 a 0 ， xa1e1a aeaa 1aa 1a2ae1 12 a 1 0.ea3. 讨论f x xln x mx 的零点个数 （考虑gx4. 讨论fxln xmx的零点个数3考虑 g x xf x ，令 t x2 ，32m a）；变式】经过换元和等价变形之后均可以转化到例1： f x ln x ax ）：225.

8、讨论 f x lnx mx 讨论 f x x mlnx 的零点个数 （令 a ）； m 的零点个数（ 令 t x2 ， 2m a ）；6. 讨论 f x ax ex 的零点个数 （令 ex t ）xx经典模型二： y e 或 y exx讨论函数 f x ex ax 的零点个数 0 时， 1 个零点 .xf ' x ex a 0 ，f x ex ax 单调递增 .且 f 0 1 a 0 ， f 1a1 ea1 0 ，所以在 1,0 上有一个零点；a0 时，无零点 .f x ex 0 恒成立；a e 时，无零点 .f x min f ln a a 1 lna0；e 时， 2 个零点 .f

9、1e1a 1 0 ，af 2ln a a a 2ln a a e 2 0.（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题2： f x ex ax ）：f x e2x mx的零点个数（ 令2x t， m a ）；2mx 的零点个数 e去分母后与 1 等价 ）；【例 2】（1）a（2）a（3）0（ 4） a【变式】1. 讨论2. 讨论3. 讨论4. 讨论5. 讨论6. 讨论7. 讨论f x ex m x 的零点个数（ 移项平方后与 1 等价 ）；f x ex mx2 的零点个数（ 移项开方后换元与 1 等价 ）；x1f x ex 1 mx的零点个数（ 乘以系数 e，令 em a ）；f xln x mx

10、的零点个数（ 令 x et ，转化成 2）xx 1 mf x ex 1 mx m 的零点个数（ 令 x 1 t ， 2 a ）；e经典模型三： y xlnx或 y xex讨论函数1）0 时，af x ln x 的零点个数 .x1 个零点 .xa f' x x2xa0 ， f x ln x 单调递增 .xa 1 af 1 a ln 1 a 1 0.1 a 1 a 1 a2）0 时，1 个零点 （ x0 1） .3）1 时，无零点 .ef'xxa2x， f x minf a ln a 1 04）1时， 1个零点 . e1 x0ef x min1ln 1 0e5）2 2 1 111f a2 ln a2 aa 0 ，faaaea 0 时， 2 个零点 .变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题1 ea 0 ， f 1 a 0 ，3： f x ln x a ）：x1.讨论 f x 1 aln x 的零点个数；x2. 讨论f x m xln x 的零点个数（ 考虑 g xf xx ，令 x t ）； x3. 讨论4. 讨论f