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文档简介
1、导数大题的常用找点技巧和常见模型引子:(2017年全国新课标 1·理· 21)已知 f x ae2x a 2 ex x.1)讨论 f x 的单调性;2) 若 f x 有两个零点,求 a 的取值范围 .解析:( 1) f ' x 2ae2x a 2 ex 1 2ex 1 aex 1若a0 ,则 f ' x 0 恒成立,所以 f x 在 R 上递减;若a110 ,令 f ' x 0 ,得 ex 1,x ln 1 . a当x1ln 时, f ' x 0 ,所以 f x 在 a,ln 1 上递减; a当xln1时, f' x 0,所以 f x
2、 在 aln 1, 上递增 . a综上,当 a 0时, f x 在 R 上递减;当1 上递增 .a 0 时, f x 在 ,ln 1 上递减,在 ln 1, a2) f x 有两个零点,必须满足 f x min 0,即 a 0 ,且 f x min11f ln 1 1 1 ln 1 0.a a a1构造函数 g x 1 x lnx,x 0. 易得 g' x 10,所以 g x 1 x ln x单调递减 .x1111又因为 g 1 0,所以 1ln 0 g g 1 1 0 a 1.aaaa面只要证明当 0 a 1时, f x 有两个零点即可,为此我们先证明当 x 0时, x ln x.1
3、事实上,构造函数 h x x lnx ,易得 h' x 1 , h x min h 1 1,所以 h x 0,即 x lnx. x min2a a 2 a ea e2 2 当 0 a 1 时, f 1 a2 a 2 1 20 ,f ln 3 a aa 3a 1 a 2 a3 1eeln 3 1 3 1 ln 3 1 0 ,a a a上各有一个零点 .1 3 a 1 1 1 其中 1 ln , ln ln ,所以 f x 在 1,ln 和 ln ,lnaaa a a故 a 的取值范围是 0,1 .方面:2x x 2x x x xae a 2 e x 0 ae a 2 e e 0 ae a
4、 3 0x 3 a exx ln 3 1 a另一方面: x 0 时, ae2x a 2 ex x 0 a 2 ex x 0 x 1(目测的)常用的放缩公式 (考试时需给出证明过程)第一组:对数放缩(放缩成一次函数) ln x x 1, ln x x , ln 1 x x1111(放缩成双撇函数) ln x x x 1 , ln xx 0 x 1 ,2x2x11ln x x x 1 , ln x x 0 x 1 ,xx放缩成二次函数)ln x x2 x, ln 1 x x 1x2 1 x 0 ,ln 1 x x 12x2 x 0(放缩成类反比例函数) lnx 1 1,lnx 2 2x 2xln
5、1 x , ln 1 x x 0 , ln 1 x x 01 x 1 x 1 x第二组:指数放缩(放缩成一次函数) ex x 1,ex x, ex ex,(放缩成类反比例函数) ex1 x 0 , ex1 x 0 ,1 x x111(放缩成二次函数) ex 1 x x2 x 0 , ex 1 xx2x3 ,226第三组:指对放缩ex ln x x 1 x 1 2第四组:三角函数放缩12 sinx x tanx x 0 , sinx x x , 第五组:以直线 y x 1 为切线的函数x 1 2y ln x , y e1, y x x , y 1 1 x 1 ,lnx 2 x 1 0 x 1 ,
6、1 1x2 cosx 1 1sin2 x.221, y xlnx.xx x 1 x 1几个经典函数模型经典模型一:ln x xy 或 yx ln x例 1】讨论函数 f x lnx ax 的零点个数 .11)a时,无零点 .e111f ' x a , f x max f ln 1 0.xaa12)a时, 1个零点 .e11f' x , f x max f e lne 1 0.xe13)当 0 a 讨论 f x ln x m x 的零点个数 (令 x t , m a );2 1时, 2个零点 .e1 1 a 1 a 1f 1 a 0 (目测), f ln 1 0 ,其中 1e .
7、(放缩)1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 af e 1 ea 0.4)12ln 12 11 aa2 a2 aa1 a 0 ,其中 12 e2 e. aa2用到了 ln x x11x x 1 )a 0时, 1个零点 .f ' x 1 a 0 ,单调递增 . f 1 a 0 , xa1e1a aeaa 1aa 1a2ae1 12 a 1 0.ea3. 讨论f x xln x mx 的零点个数 (考虑gx4. 讨论fxln xmx的零点个数3考虑 g x xf x ,令 t x2 ,32m a);变式】经过换元和等价变形之后均可以转化到例1: f x ln x ax ):225.
8、讨论 f x lnx mx 讨论 f x x mlnx 的零点个数 (令 a ); m 的零点个数( 令 t x2 , 2m a );6. 讨论 f x ax ex 的零点个数 (令 ex t )xx经典模型二: y e 或 y exx讨论函数 f x ex ax 的零点个数 0 时, 1 个零点 .xf ' x ex a 0 ,f x ex ax 单调递增 .且 f 0 1 a 0 , f 1a1 ea1 0 ,所以在 1,0 上有一个零点;a0 时,无零点 .f x ex 0 恒成立;a e 时,无零点 .f x min f ln a a 1 lna0;e 时, 2 个零点 .f
9、1e1a 1 0 ,af 2ln a a a 2ln a a e 2 0.(经过换元和等价变形之后均可以转化到例题2: f x ex ax ):f x e2x mx的零点个数( 令2x t, m a );2mx 的零点个数 e去分母后与 1 等价 );【例 2】(1)a(2)a(3)0( 4) a【变式】1. 讨论2. 讨论3. 讨论4. 讨论5. 讨论6. 讨论7. 讨论f x ex m x 的零点个数( 移项平方后与 1 等价 );f x ex mx2 的零点个数( 移项开方后换元与 1 等价 );x1f x ex 1 mx的零点个数( 乘以系数 e,令 em a );f xln x mx
10、的零点个数( 令 x et ,转化成 2)xx 1 mf x ex 1 mx m 的零点个数( 令 x 1 t , 2 a );e经典模型三: y xlnx或 y xex讨论函数1)0 时,af x ln x 的零点个数 .x1 个零点 .xa f' x x2xa0 , f x ln x 单调递增 .xa 1 af 1 a ln 1 a 1 0.1 a 1 a 1 a2)0 时,1 个零点 ( x0 1) .3)1 时,无零点 .ef'xxa2x, f x minf a ln a 1 04)1时, 1个零点 . e1 x0ef x min1ln 1 0e5)2 2 1 111f a2 ln a2 aa 0 ,faaaea 0 时, 2 个零点 .变式】(经过换元和等价变形之后均可以转化到例题1 ea 0 , f 1 a 0 ,3: f x ln x a ):x1.讨论 f x 1 aln x 的零点个数;x2. 讨论f x m xln x 的零点个数( 考虑 g xf xx ,令 x t ); x3. 讨论4. 讨论f
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