复合函数的求导法则续课件

1、12.2 复合复合函数的求导法函数的求导法则（续）则（续）第二章第二章 导数与微分导数与微分2xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1. 常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 一、基本求导法则与导数公式一、基本求导法则与导数公式211)(arcsinxx 211)(arccosxx 211)(arctanxx 211)cotarc(xx 32. 函数的线性组合、积、商的求导法则函数的

2、线性组合、积、商的求导法则)(),(xvvxuu 设设都可导都可导, 则则3. 反函数的求导法则反函数的求导法则)(1 )(1yfxf 或或.dd1ddyxxy 内内单单调调、在在某某区区间间如如果果函函数数yIyfx)( ,0)( yf且且在在对对应应区区间间则则它它的的反反函函数数)(1xfy 且且可可导导.,R ,)()1(vuvu .)()2(vuvuvu . .).0()3(2 vvvuvuvu,内也可导内也可导xI44. 复合函数的求导法则复合函数的求导法则,)()()(),(都都可可导导及及且且而而设设xgufxguufy 初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.注

3、注的导数为的导数为则复合函数则复合函数)(xgfy ).()()(ddddddxgufxyxuuyxy 或或 利用上述公式及法则初等函数求导问题利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决可完全解决.5例例.的的导导数数求求函函数数xxxy 解解 y xxx21)211(211(21xxxxxx .812422xxxxxxxxxx )( xxxxxx 21 1()(21 xxxx6 例例 y sinnx sinn x (n为常数为常数) 求求y. . n sinn 1x sin(n 1)x. . ncos nx sinn x n sinn 1x cos x (sin x) n sinn 1x

4、sin nx sinn x ncos nx sin nx (sinn x) (sin nx) sinn x 解解 y 7例例. 设设)100()2)(1 ()(xxxxf求求)3(f解解: 显然用公式显然用公式(2)非常麻烦非常麻烦,)100()4)(2)(1(lim3xxxxx3)3()(lim)3(3xfxffx30)100()3)(2)(1 (lim3xxxxxx!972)3100()34)(32)(31 (由导数定义由导数定义8例例 . )( ,0),1ln(0,)( xfxxxxxf 求求设设解解xxf )(, 0 时时当当 x, 0 时时当当 xxxxxxfx )1ln()1ln(

5、lim)(0)11ln(1lim0 xxxx ;11x ; 1 xxxxxx 10)11ln(lim11, 0 时时当当 x01lnlim)0(0 xxfx, 1 01ln)1ln(lim)0(0 xxfx, 1 . 1)0( f.0,110, 1)( xxxxf9xexeexxxx22sin)1(sin)1(cos 解解 21sin11xex 1sinxex y.1sinarctan的导数的导数求函数求函数 xexy10练习练习).(000sin)(2xfxxxxxf 求求设设解解,0时时 x,0时时 xxxxx0sinlim20 220sinlimxxx 22sin2sinxxxx xxx

6、f2sin)(0)0()(lim)0(0 xfxffx1 所以所以 010sin2sin)(22xxxxxxxf11例例与两坐标轴的交点所与两坐标轴的交点所过曲线过曲线证明证明24: xxy, 0 x令令证证, 0 y令令);2 , 0(Ay轴的交点为轴的交点为曲线与曲线与),0 , 4(Bx轴轴的的交交点点为为曲曲线线与与. 2 y得得. 4 x得得 24xxy,210 xy,214 xy由于斜率相等由于斜率相等,知二切线平行知二切线平行.(1) 求交点求交点,)2(22 x 221x分别为曲线在分别为曲线在A, B点点的切线斜率的切线斜率.(2) 求导数求导数作的曲线的切线彼此平行作的曲线

7、的切线彼此平行.12例例.,可可导导其其中中函函数数的的导导数数求求g xgey1解解 xg1 xge1 2111xxgexg xgexxg121 y xge1 xg1 x113解解),(ufy 设设 yxxf3cos)3(sin3 注注xu3sin uy )(ufx3cos3则则xu .的导数的导数对对不表示不表示xf上式中上式中是函数是函数 f 对括号中的中间对括号中的中间变量求导变量求导,?( () ).,3sin可导可导其中函数其中函数的导数的导数求求fxfy )3(sin xf )3(sin)3(sin xfxf14.)(,)(的的导导数数求求是是可可导导函函数数设设xfxeefyf

8、 解解 分析分析 这是抽象函数与具体函数相结合的导数这是抽象函数与具体函数相结合的导数, 综合运用函数线性组合、积、商求导法则以及综合运用函数线性组合、积、商求导法则以及 复合函数求导法则复合函数求导法则.)()( xfxeefy )( )(xfxeef)(xfe )()()()(xfefeefexxxxf )()( xfxeefxxeef )()()(xfexf )(xef15求求解解: :,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx设设),0( aaaxyxaaaxa解解: :1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求求.yaaxln16求求解解: :,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sinxe2sin xe2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cosx2sinxe112xx关键关键: : 搞清复合函数结构搞清复合函数结构 由外向内逐层求导由外向内逐层求导17求求,1111ln411arctan212