复合函数的求导法则(2)课件

1、-链式法则链式法则 第四节第四节 复合函数的求导法则复合函数的求导法则证证),()(tttu 则则);()(tttv 情形一情形一:中间变量为一元函数中间变量为一元函数定定理理如如果果函函数数)(tu 及及)(tv 都都在在点点t可可导导，函函数数),(vufz 在在对对应应点点),(vu具具有有连连续续偏偏导导数数，则则复复合合函函数数)(),(ttfz 在在对对应应点点t可可导导，且且其其导导数数可可用用下下列列公公式式计计算算： dtdvvzdtduuzdtdz ，获得增量获得增量设设tt 一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则由由于于函函数数),(vufz 在在点

2、点),(vu有有连连续续偏偏导导数数,21vuvvzuuzz 当当0 u，0 v时时，01 ，02 tvtutvvztuuztz 21 当当0 t时时， 0 u，0 v,dtdutu ,dtdvtv .lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt 定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz单路全导单路全导, , 叉路偏导叉路偏导口诀口诀 :dxdzxwxvxuuvwz求求：例例,cos,sin,12 )x(wwz)x(vvz)x(uuzdxdz

3、 法法二二x2sin2xxcosxsinxz22 解解：法法一一x2cosxx2sinxz2 )xsin(uvxcosuwx2vw x2cosxx2sinxxsinxxcosxxcosxsinx222222 情形二情形二: 中间变量为多元函数中间变量为多元函数),(),(yxyxfz 如如果果),(yxu 及及),(yxv 都都在在点点),(yx具具有有对对x和和y的的偏偏导导数数，且且函函数数),(vufz 在在对对应应点点),(vu具具有有连连续续偏偏导导数数，则则复复合合函函数数),(),(yxyxfz 在在对对应应点点),(yx的的两两个个偏偏导导数数存存在在，且且可可用用下下列列公公

4、式式计计算算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz . uvxzy链式法则如图示链式法则如图示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 可见可见：在树形图中，函数有几个自变量，：在树形图中，函数有几个自变量，就有几个导数公式，有几个中间变量，就有几个导数公式，有几个中间变量，就有几项之和，每项的构成都是函数对就有几项之和，每项的构成都是函数对中间变量的导数再乘以中间变量对自变中间变量的导数再乘以中间变量对自变量的导数。量的导数。关键关键:在于函数的复合结构，主要搞清楚在于函数的复合结构，主要搞清楚“谁对谁谁对谁”求导，哪些是中间变量，哪求导，哪些是中间变量，哪些些是自

5、变量，明确每次求导是对哪一层次是自变量，明确每次求导是对哪一层次的变量求导，为直观显示，可结合的变量求导，为直观显示，可结合“树树形图形图”，另应注意何时为全导数，何时，另应注意何时为全导数，何时为偏导数。为偏导数。 类类似似地地再再推推广广，设设),(yxu 、),(yxv 、),(yxww 都都在在点点),(yx具具有有对对x和和y的的偏偏导导数数，复复合合函函数数),(),(),(yxwyxyxfz 在在对对应应点点),(yx两两个个偏偏导导数数存存在在，且且可可用用下下列列公公式式计计算算 xwwzxvvzxuuzxz , ywwzyvvzyuuzyz .zwvuyx则则若若特特别别)

6、,(),(:yxuuufz yu)u(fyz,xu)u(fxz 解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeuyzxzufyxxfz ,)()(322可可微微，求求，且且：例例yx2fyz),xy21(fxz22 解：解：情形三情形三:中间变量既有一元函数中间变量既有一元函数,又有多元函数又有多元函数 z=f(x,y), x=u(s,t) ,y=v(t) ,则则 zfxsxszfxf d ytxty d t 特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu 即即,),(y

7、xyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv , yw 其中其中, 1 xv, 0 xw, 0 yv. 1 yw把把复复合合函函数数,),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数两者的区别两者的区别区别类似区别类似yxu,ue)y, x,u( fz2xy 如如：解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 解解令令, zyxu ;xyzv 记记,),(1uvuff ,),(212

8、vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf xyzxzxyxfz 2222),(6及及求求：例例 222 21 12 1121 22 21 12 11122221fy)ff (xy2fx4f2)yfx2f (y)yfx2f (x2f2xzxfyz,yfx2fxz 解：解： 22

9、 2122 22 2122xyffx2f)yfx2f (xf)yz(xxyz 课课 堂堂 练练 习习 题题22(2)2xxxy11.zf(xy)y (xy),f,xz.x yyz2.ff(x,),fc,.xxxy3.uyf( )xg( ),f,g,yxxuyu . 设设其其中中具具有有二二阶阶连连续续导导数数求求设设求求具具有有二二阶阶连连续续导导数数 求求.,),cos,2(. 6.,),(. 5.,),(),()sin(. 422222222yxzyzxzfxyyxfzyxzfyxyxfzyxzcvuyxxxyz 求求具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数求求具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏

10、导数求求 7. ,yxzzzxxy求链式法则链式法则（分三种情况）（分三种情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）二、小结二、小结设设),(xvufz ，而而)(xu ，)(xv ，则则xfdxdvvfdxduufdxdz ，试试问问dxdz与与xf 是是否否相相同同？为为什什么么？思考题思考题思考题解答思考题解答不不相相同同.等等式式左左端端的的z是是作作为为一一个个自自变变量量x的的函函数数，而而等等式式右右端端最最后后一一项项f是是作作为为xvu,的的三三元元函函数数， 写写出出来来为为 xxvuxdxduufdxdz),(.),(),(xvuxxvuxfd

11、xdvvf 一、填空题一、填空题: : 1 1、设、设xyyxzcoscos , ,则则 xz_； yz_. .2 2、 设设22)23ln(yyxxz , ,则则 xz_； yz_._. 3 3、设、设32sinttez , ,则则 dtdz_._.二二、设设uvuez , ,而而xyvyxu ,22，求求yzxz , . .练练 习习 题题三、设三、设)arctan(xyz , ,而而xey , ,求求dxdz. .四、设四、设),(22xyeyxfz ( (其其具具中中f有一阶连续偏导有一阶连续偏导 数数) ), ,求求yzxz ,. .五、设五、设)(xyzxyxfu ,(,(其其具具

12、中中f有一阶连续偏导有一阶连续偏导 数数),),求求.,zuyuxu 六、设六、设),(yxxfz ,(,(其其具具中中f有二阶连续偏导数有二阶连续偏导数),),求求 22222,yzyxzxz . .七、设七、设,)(22yxfyz 其中为可导函数其中为可导函数, , 验证验证: :211yzyzyxzx . .八、设八、设 ,),(其中其中yyxxz 具有二阶导数具有二阶导数, ,求求 .,2222yzxz 一一、1 1、xyyyyxxxyxxxy222cos)cossin(cos,cos)sin(coscos ； 2 2、,)23(3)23ln(2222yyxxyxyx 2232)23(2)23ln(2yyxxyxyx ； 3 3、.)43(1)41(3232ttt 二二、,)(22222222yxxyeyyxyxyxxz )(22222)(22yxxyeyxxyxyyz . .练习题答案练