课时作业(六十)　离散型随机变量的均值与方差

1、课时作业(六十)离散型随机变量的均值与方差1已知某射手射击所得环数 X 的分布列如表所示X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22此射手“射击一次命中环数不大于 8”的概率为()A0.49B0.88C0.79D0.51AP(X8)1P(X9)P(X10)10.290.220.49.故选 A2已知随机变量 X 的分布列如表所示，若 E(X)2，则 mn()X024P14mnA18B14C13D12B由题意，得mn141，E（X）2m4n2，解得 m12，n14，所以 mn14.3(多选)(2020山东聊城二模)随机变量的分布列为012Pab2b2其中 ab0，下

2、列说法正确的是()Aab1BE()3b2CD()随 b 的增大而减小DD()有最大值ABD根据分布列的性质得 ab2b21，即 ab1，故 A 正确；根据数学期望公式得 E()0a1b22b23b2，故 B 正确；根据方差公式得 D()03b22a13b22b223b22b294b252b94b5922536，因为 0b1，所以当 b59时，D()取得最大值2536，故 C 不正确，D 正确故选 ABD.4(多选)(2020烟台期中)袋内有大小完全相同的 2 个黑球和 3 个白球，从中不放回地每次任取 1 个小球，直至取到白球后停止取球，则()A抽取 2 次后停止取球的概率为35B停止取球时，

3、取出的白球个数不少于黑球的概率为910C取球次数的期望为 2D取球次数的方差为920BD袋内有大小完全相同的 2 个黑球和 3 个白球，从中不放回地每次任取 1 个小球，直至取到白球后停止取球，对于 A，抽取 2 次后停止取球的概率为：2534310，故 A 错误；对于 B，停止取球时，取出的白球个数不少黑球的概率为：352534910，故 B 正确；对于 C，P(1)35，P(2)2534310，P(3)251433110，E()1352310311032，故 C 错误；对于 D，取球次数的方差为：D()13223523223103322110920，故 D 正确故选 BD.5随机变量的分布

4、列如下表：0123Px0.20.30.4则随机变量的均值 E()_解析： 由 x0.20.30.41 得 x0.1， 所以 E()00.110.220.330.42.答案：26(2020北仑区校级期中)在 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 9 个自然数中，任取 3 个数， 则这 3 个数恰有一个是偶数的概率_， 记为这 3 个数中两个数相邻的组数(例如：取出 1，2，3 则有两组相邻的数 1，2 和 2，3，此时是 2)，则 E()_解析：3 个数中恰中有一个偶数的概率 PC14C25C391021，2，则数组为：123，234，345，456，567，678，789，共 7 个，此时

5、P(2)7C39112；1，则数组为：124，125，126，127，128，129，235，236，237，238，239，341，346，347，348，349，451，452，457，458，459，561，562，563，568，569，671，672，673，674，679，781，782，783，784，785，891，892，893，894，895，896，共 42 个，此时 P(1)42C3912；P(0)8442784521；E()05211122102123；故答案为：1021；23.答案：1021；237袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上

6、n 号的有 n 个(n1，2，3，4)，现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号(1)求 X 的分布列、期望和方差；(2)若 YaXb，E(Y)1，D(Y)11，试求 a，b 的值解析：(1)X 的取值为 0，1，2，3，4，其分布列为X01234P1212011032015E(X)0121120211033204151.5，D(X)(01.5)212(11.5)2120(21.5)2110(31.5)2320(41.5)2152.75.(2)由 D(Y)a2D(X)得 2.75a211，得 a2，又 E(Y)aE(X)b，当 a2 时，由 121.5b，得 b2；当 a2 时，由 121.5b

7、，得 b4，a2，b2或a2，b4.8某糕点房推出一类新品蛋糕，该蛋糕的成本价为 4 元，售价为 8 元受保质期的影响，当天没有销售完的部分只能销毁经过长期的调研，统计了一下该新品的日需求量现将近期一个月(30 天)的需求量展示如下：日需求量 x(个)20304050天数510105(1)从这 30 天中任取 2 天，求 2 天的日需求量均为 40 个的概率；(2)以表中的频率作为概率，根据分布列求出该糕点房一天制作 35 个该类蛋糕时，对应的利润的期望值 E(X)3203.现有员工建议扩大生产，一天制作 45 个该类蛋糕，试列出生产45 个时，利润 Y 的分布列并求出期望 E(Y)，并以此判

8、断此建议该不该被采纳解析：(1)从这 30 天中任取 2 天，基本事件总数 nC230，2 天的日需求量均为 40 个包含的基本事件个数 mC210，2 天的日需求量均为 40 个的概率 PC210C230329.(2)设该糕点房制作 45 个蛋糕对应的利润为 Y，P(Y20)16，P(Y60)13，P(Y140)13，P(Y180)16，Y 的分布列为Y2060140180P16131316E(Y)2016601314013180162803.该糕点房一天制作 35 个该类蛋糕时，对应的利润的期望值 E(X)3203，28033203，此建议不该被采纳9(多选)(2020扬州期末)已知随机变

9、量的分布列是101p121p2p2随机变量的分布列是123p121p2p2则当 p 在(0，1)内增大时，下列选项中正确的是()AE()E()BD()D()CE()增大DD()先增大后减小BC对于 A，2，E()E()2，故 A 错误；对于 B，2，D()D()，故 B 正确；对于 C，E()1212p，当 p 在(0，1)内增大时，E()增大，故 C 正确；对于 D，E()1221p23p232p2，D()12p221212p221p232p2p214(p2)254，当 p 在(0，1)内增大时，D()单调递增，故 D 错误故选 BC.10(2020太原模拟)已知排球发球考试规则：每位考生最

10、多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到 3 次结束为止某考生一次发球成功的概率为 p(0p1.75，则 p 的取值范围为()A(0，12)B(0，712)C(12，1)D(712，1)A由题可知 P(X1)p，P(X2)(1p)p，P(X3)(1p)2p(1p)3(1p)2，则 E(X)P(X1)2P(X2)3P(X3)p2(1p)p3(1p)21.75，解得 p52或 p12，由 p(0，1)可得 p(0，12).11(2020广东四校联考)某地有种特产水果很受当地老百姓欢迎，但该种特产水果只能在 9 月份销售，且该种特产水果当天食用口感最好，隔天食用口感较差某超市每年 9 月份

11、都销售该种特产水果，每天计划进货量相同，进货成本每千克 8 元，销售价每千克 12 元，当天未卖出的水果则转卖给水果罐头厂，但每千克只能卖到 5 元根据往年销售经验，每天需求量与当地最高气温(单位：)有一定关系若最高气温不低于 30，则需求量为 5 000 千克； 若最高气温位于25， 30)， 则需求量为 3 500 千克； 若最高气温低于 25， 则需求量为 2 000千克为了制订今年 9 月份订购计划，统计了前三年 9 月份的最高气温数据得下面的频数分布表：最高气温15，20)20，25)25，30)30，35)35，40)天数414362115以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于

12、该区间的概率(1)求今年 9 月份这种特产水果一天需求量 X(单位：千克)的分布列和数学期望；(2)设 9 月份一天销售这种特产水果的利润为 Y(单位：元)，当 9 月份这种特产水果一天的进货量 n(单位：千克)为多少时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为多少？解析： (1)今年 9 月份这种特产水果一天的需求量 X 的可能取值为 2 000， 3 500， 5 000.P(X2 000)4149015，P(X3 500)369025，P(X5 000)21159025.于是 X 的分布列为X2 0003 5005 000P152525X 的数学期望 EX2 000153 500255 000

13、253 800.(2)由题意知，这种特产水果一天的需求量至多为 5 000 千克，至少为 2 000 千克，因此只需要考虑 2 000n5 000.当 3 500n5 000 时，若最高气温不低于 30，则 Y4n；若最高气温位于25，30)，则 Y3 5004(n3 500)324 5003n.若最高气温低于 25，则 Y2 0004(n2 000)314 0003n.此时 EY254n25(24 5003n)15(14 0003n)12 60015n11 900.当 2 000n3 500 时，若最高气温不低于 25，则 Y4n；若最高气温低于 25，则 Y2 0004(n2 000)31

14、4 0003n.此时 EY454n15(14 0003n)2 800135n11 900.所以 n3 500 时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为 11 900.12(2020山东枣庄、滕州联考)2017 年 11 月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”， 吸引了大批投资商的目光 一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中 某投资公司准备在 2018 年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中项目一： 天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式， 是人类“穴居”发展史演变的实物见证现准备投资建设 20 个天坑院，每个天坑院投资 0.2 百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立

15、的，据市场调研，到 2020 年底每个天坑院盈利的概率为 p(0p1)，若盈利则盈利投资额的 40%，否则盈利额为 0.项目二： 天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、 文化和人文地理于一体的自然山水景区 据市场调研， 投资到该项目上， 到 2020 年底可能盈利投资额的 50%， 也可能亏损投资额的 30%，且这两种情况发生的概率分别为 p 和 1p.(1)若投资项目一，记 X1为盈利的天坑院的个数，求 E(X1)(用 p 表示)；(2)若投资项目二，记投资项目二的盈利为 X2百万元，求 E(X2)(用 p 表示)；(3)在(1)(2)两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由解析：(1)由题意 X1B(20，p)，则盈利的天坑院个数 X1的数学期望 E(X1)20p.(2)若投资项目二，则 X2的分布列为X221.2Pp1p盈利 X2的数学期望 E(X2)2p1.2(1p)3.2p1.2.(3)项目一若盈利，则每个天坑院盈利 0.240%0.08(百万元)，所以投资建设 20 个天坑院，盈利的数学期望为 E(0.08X1)0.08E(X1)0.0820p1.