全等三角形辅助线之倍长中线法

1、全等三角形辅助线之倍长中线法倍长中线法：遇中线，要倍长，倍长之后有全等.AD为ABC的中线延长AD至已使DE=AD,连接BE 在厶ADC和厶EDB中EAD=DE, ZADC=ZEDB, BD=CD 故/XADC AEDB(SAS) 与此札I关的重耍结论ACll BE当倍长后，连接方式不一样，可以产生更多结论如下:AD为ABC的中线延长AD至E,使AD=DE,当连接CE时，结论相似；与倍长中线法类似的辅助线作法当连接BE、CE,则ABEC为平行四边形延长NID至E,使MD=DE,连接CE 可证ABDM MACDE, BMIICEAB如图，在ZkABC中，延长FE至G,使FE=GE 可证AEFQ

2、EGC（平行线夹中点）AD为BC边上的中延长AD至E彳吏DE=AD,连接BE 在 ZXADC 禾 ISEDE 中AD=DE, NADC=NEDB, BD=CD 故AADC AEDB(SAS)AB-BE < AE< AB+BES卩 2 v AE v E 1<AD<4如图，CB是ZkAEC的中线，CD是ZkABC的中线，且AxAC /如图，在ZXABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE=AC, BE的延长线交AC于点F求如图，在正方形ABCD中，CD=BC, ZDCB二90° ,点E在CB的延长线上，过点E作EF丄BE,且EF=BE连接BF, FD,求证：E

3、G=CG且EG丄CG.1. 如图，在C中，巾9为兀边上的中线.(1) 按要求作图：延长月到点£使D&AD;连接E.(2) 求证：AC*EBD.(3) 求证：ABJrAC >2AD.(4) 若力毕5, /!63,求川的取值范围2. 如图，在川?C中，肋平分ZBAC9虫BI>CDC求证：AB=-AC.3. 如图，少是力兌的中线，仞是的中线，且力伊求证：Q)C&2CD；住平分ADCE.4. 如图，在中，是化的中点，E是肋上一点，BB-Aa BE 的延长线交力Q于点F求证：ZAEKZEAF5.6.如图，在肋C中，初交滋于点2点E是的中点，EF/ AD交CA的延长线

4、于点化交AB 于点 G, BG=CF.求证:AD为的角平分线.7.如图，在四边形肋中，AD/BC、邑E桩BC匕 点，且MF丄肋，已知S A&B&5,求6F的长的中E BC8.如图，在正方形ABCD , CD-Ba,点F在力的延长线上，过点F作莎丄础且昭；连接BF, FD,取皿的中点G,连接, CG.求证：E4CG 社 EGlCG.【参考答案】课前预习1. (1)相等，SSS；夹角，SAS；夹边，ASA；对边，AAS；直角，HL(2) 全等，三，边2. (1)证明：如图TO是初的中点. AgBo在C和磁中AO = BO< ZAOC = ZBODOC = OD：.AOC BO

5、D (SAS)(2)证明：如图TO是初的中点AO-BOT AC/ BD：.ZA=ZB在川疋和磁中ZA = ZB< AO = BOAOC = ZBoD.AOCBOD (ASA)典型题型1.解：（1）如图,(2) 证明：如图，.月为边上的中线：.BD-CD在宓和ZXGM中BD = CD< Z1 = Z2ED = AD：.BDECDA (SAS)(3) 证明:如图，'：BDEcCDA：.BE=AC'：DB-ADIAE-(I AD在/!滋中，ABE)AE：.AB+AO2AD(4) 在/!滋中，EAB BE<AE<ABBE由(3)得停2AD, B&ACVJ

6、63,.53 如从 5+32<2JZK81<JZK42.证明：如图，延长49到E僅DED,连接滋在/!C和沏中'CD = BDZADC = ZEDBAD = ED：.ADC EDB (SAS)AOEB, Z2=ZET初平分ABACZ1=Z2AZl=ZiF；.ABBE：.AB=AC3. 证明：如图，延长仞到F,使仍仞，连接新. CR2CDT仞是用的中线. BD-AD在妙和血疋中BD = AD< ZADC = ZBDFDF = DC：.BDF ADC (SAS)：.B&AC, ZI=ZF.Q?是的中线. BBABT AoAB：.BBBFVZl=ZF：.BF/ AC

7、Zl+Z2+Z5+Z6=180o 又 T AOABZ1+Z2=Z5又 T Z4+Z5=180o. Z4=Z5+Z6即 ZCBE=ZCBF 在za和za中CB = CB< ZCBE = ZCBFBE = BF：.ACBECBF (SAS)：.CBCF, Z2=Z3/. CB2CDCB辛分乙DCE4. 证明：如图，延长49到.H,使D治AD,连接T 是边的中点：.BXCD在血疋和.«站中CD = BD< ZADC = ZMDBAD = MD：.ADM WlDB (SAS)Z 1=Z；IA AOMBT BBAC：.BEMB：.Z扫Z3Z1=Z3T Z3=Z2Z1=Z2即 AAE

8、FAEAF5. 证明：如图，延长应'到必使E治EF,连接.点疋是的中点：.BBCE在?疋和必中FE = ME< ZCEF = ZBEM /CE = BE：./ CFE BME (SAS)：CeB存厶f： B4CF. BG-BM Zl=ZJ/AZl=ZFAD/EFZ3=Z Zl=Z2. Z2=Z3即M为/!%的角平分线6. 解：如图，延长力F交兀的延长线于点CT AD/ BCZ3=Z6,T点尸是仞的中点. DRCF杜'ADF和'GCF申Z3 = ZGAAFD = ZGFCDF = CF：./ADF/GCF (AAS)：.AD-CG： AA：.CG=T AE-BE Z

9、l=ZZ?JABLAFZl+Z2=90oZZ690o. Z2=Z6,. EGA：.CEEG CG=57. 证明：如图，延长交仞的延长线于点於由题意，Z阳片90。，ZDCB0°：.ZDCB+ZFEB=-ISOo：.EF/ CD：.AFEGAM.点G为FD的中点、：.FG=DG在磁和加H中ZI = ZMZFGE = ZDGMFG = DG：./FGE/DGM (AAS)：.EnD, EG=JfG： 'FEB是等腰直角三角形：.EF=-EB：.BEMD在正方形力救中，BoCD：.BE+BO M陕 CD即 EoMC：'ECH是等腰直角三角形T E(MGS：.EGICG, Z3

10、=Z4=450. Z2=Z3=450. EG=CG三角形全等之倍长中线（实战演练）.在用中，J65,中线血匕1,则边月的取值范围是思路分析： 画出草图，标注条件： 根据题目条件，见,考虑;添加辅助线是 9 倍长之后证全等：丝(),证全等转移边：: 全等转移条件后，利用三角形三边关系可以得到力的取值范围.2.-X如图，在正方形川如9中，AD/Ba E为月边的中点，G, F分别为L9, BC 边上的点，且AG=It BP2.若GElEF,则防的长为多少【参考答案】1. 3<Ji5<13 图略 中线肋倍长中线延长初到点E,使D&AD,连接佯 'ADC EDB SAS AC

11、 EB 略2. AD/BC1 E为血?边的中点，平行夹中点；A4BH, GBHE；到线段两端点的距离相等，FH、AG+BF解：如图，延长血交伪的延长线于点t: AD/BC： ZGABZHBE：E为的边的中点. AEBE在力血和砸中，ZAEG = ABEH< AE = BEZGAE = ZHBE：.AGE BHE (ASA)：.BlAG, HBGE'：GEA. EF：.GF=-HF：BP2, AG=I=BF+AG=2+1=3三角形全等之倍长中线(作业)例题示范例1：已知：如图，在初C中，ABHAC, D, E征BC上,且DBEC,过作DF/BA交胚于点F, DF-AC.求证：平分A

12、BAC.【思路分析】读题标注：见中线，要倍长，倍长之后证全等结合此题，DE二EU邑E是DC的中駅 考虑倍长，有两种考虑方法:考虑倍长阳如图所示:G考虑倍长如图所示:G（这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点）倍长中线的目的是为了证明全等：以方法为例，可证济M化G由全等转移边和角，重新组织 条件证明即可【过程书写】证明：如图，延长朋到G悅EgEF、连接CE桩'DEF和'CEG中、ED = EC< ZDEF = ZCEGEF = EG：.DEFCEG (SAS)：.D住CG, ADFE=AGT DeAC：.CG-AC：.AG-ACAE:乙DFgzCAE'：DF/A

13、B：.ADFB-ABAE ：.ABAB-ACAE.血平分ABAC巩固练习1. 已知：如图，在/!%中，力庐4, /102,点为必边的中D点，且M是整数，则力莎2. 已知：如图，血平分AABC交川7于从点E为 仞上一点，HAADE、EF/BC交加于尸3.求证：AB-EF.已知：如图，在中，/L9是滋边上的中线，分别以月仗/C为直 角边向外作等腰直角三角形，AB-AEy AoAFy ZBAB-ZCAOo求证：EF=-IAD.5.如图，在/虑中，AB >AC9 E为边的中点，AD为ZBAC的平分线，过F作力的平行线, 交肋于F,交Gl的延长线于G求证：BF-CG.E DC6.如图，在四边形肋少

14、中，AD/BC.点F在滋上，点尸是仞 中点，连接廿；EF、AE.若ZDAF-ZEAF.求证：AFLEF.思考小结1. 如图，在中，初平分ZBAC,且妙G求证：AB-AC.比较下列两种不同的证明方法，并回答问题.方法1：如图，延长肋到幺使於初，连接处在宓和ZXGM中BD = CD< ZBDE = ZCDADE = DA：./BDE/CDA (SAS)AD的：.AoBEy Z庐Z2.初平分ABACZ1=Z2.：Zl=ZE. AB-BE：.AB=AC方法2：,E如图，过点作BE/AC,交月的延长线于点E'：BE/AC.Z 庐 Z2在陆和加中ZE = Z2< ZBDE = ZCDABD = CD：.ABDEACDA (AAS)；.BBACT初平分ABACZ1=Z2AZl=ZiF. AB-BE：.AgAC相同点：两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题.方法1是看到中点考虑通过构造全等，方法2是通过平行夹中点构造全等.不同点：倍长中线的方法在证明全等时，利用的判定是,实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹中点证明全等时，利用的判定是,实质是利用平行构造了一组相等.2. 利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：直角三角形斜边中线等于 斜边的一半.请你尝试进行证明.已知：如图，在Rt肋C中，Z=90