2-命题及其关系、充分条件与必要条件练习题

1、解析特例法当a > 3时，令a = 3903 = 60°，贝U sin 390°= sin 30°= |< sin60°3，故 sina > sin 3 不成立；当 sina > sin3 时，令 a = 60°，3 = 390° 满§ 1.2命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1.设集合 A= x R|x 2>0, B= x R|xv 0 , C= x R|xx 2 >0，那么“ x AU B 是“ x C'的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D

2、. 既不充分也不必要条件解析：AU B= x R|xv 0 或 x>2 , C= x R|xv 0 或 x>2, AU B= C x AUB是x C的充分必要条件.答案：C2.命题p：? nN,2n> 1 000，那么綈 p 为.A. ? n N,2'1000B.? nN,2n > 1000C. ? n N,2'1000D.? nN,2n < 1000解析 特称命题的否认是全称命题.即p： ? x M px，那么綈p： ? x M綈px.应选A.答案 A3命题“假设1< xv 1，那么x2v 1的逆否命题是2A. 假设 x或 x w 1，贝U

3、 x >1B. 假设 x <1，那么1<x<1C. 假设 x2>1，那么 x>1 或 x< 1D. 假设 x > 1,贝U x>1 或 x< 1解析：假设原命题是“假设 p,那么q，那么逆否命题为“假设綈 q那么綈p，故此命题的逆否命题 是“假设 x2> 1,那么 x >1 或 xw 1.答案：D4.a,卩角的终边均在第一象限，那么“a > 3 是“Sin a > sin卩的.B.必要不充分条件A. 充分不必要条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件a > sin 3的既不充分也不必要条件.足上式，此时

4、 a < 3，故“ a> 3 是“ sin答案 D【点评】 此题采用了特例法，所谓特例法，就是用特殊值特殊图形、特殊位置 代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断特例法的理论依据是：命题的一般性结论为真的先决条件是它的特殊情况为真，即普通性寓于特殊性之中常用的特例有取特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等这种方法实际是一种“小题小做的解题策略，对解答某些选择题有时往往十分奏效5命题“假设f(x)是奇函数，那么f ( X)是奇函数的否命题是()A. 假设f (x)是偶函数，那么f ( x)是偶函数B. 假设f(x)不是奇函数，那么f(

5、 x)不是奇函数C. 假设f( x)是奇函数，那么f(x)是奇函数D. 假设f( x)不是奇函数，那么f(x)不是奇函数解析：否命题是既否认题设又否认结论.答案：B6. 设集合 M= 1,2 , N= a2，那么“ a= 1 是“ N? M'的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件解析：当a=1时，N=1，此时有N?M那么条件具有充分性；当N?M时，有a2= 1或a2=2得到a1 = 1, a2 = 1, a3=飞.：2, a4= ：2，故不具有必要性，所以“ a= 1是“ N? M' 的充分不必要条件.答案：A7. 假设实数

6、a, b满足a>0,b>0,且ab = 0,那么称 a 与 b互补.记0(a,b) =,'a2+ b2 ab,那么0 (a, b) = 0是a与b互补的().A.必要而不充分的条件B.充分而不必要的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件解析 假设0 (a, b) = 0,即+ b = a+ b,两边平方得ab= 0，故具备充分性.假设a>0, b>0, ab= 0,那么不妨设 a= 0. 0 (a, b) = ,'a2 + b2 a b= , b2 b= 0.故具备必要性.应选 C. 答案 C二、填空题1 18. 假设不等式I成立的充分不必要条件是彳

7、2 ,那么实数胡的取值范围是 答案:1 42,39. 有三个命题：(1)"假设x + y= 0,那么x, y互为相反数的逆命题；“假设a>b,贝U a2>b2的逆否命题；(3) “假设 xw 3，贝U x2+ x-6>0 的否命题.其中真命题的个数为 (填序号).解析(1)真，(2)原命题假，所以逆否命题也假，(3)易判断原命题的逆命题假，那么原命题的否命题假.答案 110定义：假设对定义域 D上的任意实数x都有f(x) = 0，那么称函数f(x)为D上的零函数. 根据以上定义，“ f(x)是D上的零函数或g(x)是D上的零函数为“ f(x)与g(x)的积函数 是D

8、上的零函数的 条件.0, x 1, 0,解析设 D= ( 1,1) , f(x)=x, x0, 1,x, x 1, 0,g(x)=显然F(x) = f(x) g(x)是定义域 D上的零函数，但 f (x)与0 , x 0 , 1,g(x)都不是D上的零函数.答案充分不必要11. p： “向量a与向量b的夹角0为锐角是q：“ a b>0的条件.a b解析：假设向量a与向量b的夹角0为锐角，那么cos 0 =>0 ,即a b>0；由a b>0 |b|a b可得cos 0 = >0 ,故0为锐角或0 = 0°,故p是q的充分不必要条件.|a| Tb|答案：充分

9、不必要12. a与b均为单位向量，其夹角为0 ,有以下四个命题2nP1 ： | a+ b| > 1? 0 0 ,2nP2： | a+ b| > 1?0 , n3np3： | a b| > 1? 0 0 ,nP4： | a b| > 1? 0 , n其中真命题的个数是.2 2 1解析 由| a+ b| > 1可得a + 2ab + b > 1,因为| a| = 1, | b| = 1,所以ab> ，故B2 n2 n1222 0,言.当 B 0，丁 时，ab> 2， la+ b| 2= a + 2ab + b > 1,即 | a+ b| >

10、; 1,1QQ|故 p1 正确.由 | a b| > 1 可得 a 2a b+ b > 1,因为 | a| = 1, | b| = 1，所以 a b v?故nM9 , n ，反之也成立，p4正确.答案 2三、解答题I x a |13.设P :函数f(X) 2在区间(4, +8)上单调递增；q：loga2 1，如果“ P 是真命题，“p或q 也是真命题，求实数a的取值范围。解析：pQ f(x) »戲在区间(4, +8)上递增，u 1 x a 1 在(4, +8)上递增，故 a 4.(3 分)q :由 log a 21 loga a 0 a 1 或a 2.( 6 分)如果“

11、p 为真命题，那么 p为假命题，即a 4.(8 分) 又因为p或q为真，那么q为真，即0 a 1或a 20 a 1 或a 2由a 4可得实数a的取值范围是a 4. ( 12分)14.函数f (x)是(一8,+8)上的增函数，a、b R,对命题“假设a+ b>0,贝U f (a) +f (b) > f ( a) + f ( b) .(1) 写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2) 写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论.解(1)逆命题是：假设 f (a) + f ( b)?f ( a) + f ( b),那么a+ b>0为真命题.用反证法证明：假设 a+ bv0,贝

12、U av b, bv a./ f (x)是(8,+8 )上的增函数，那么 f(a) vf( b) , f(b) vf( a),f(a) + f (b) v f ( a) + f ( b)，这与题设相矛盾，所以逆命题为真.(2)逆否命题：假设 f (a) + f (b) v f ( a) + f ( b),那么a+ bv 0为真命题.因为原命题？它的逆否命题，所以证明原命题为真命题即可.a+ b?0,二 a?一b, b?一a.又 f(x)在(8,+)上是增函数，-f(a)?f( b), f(b)?f( a),f(a) + f(b)?f( a) + f( b).所以逆否命题为真.15. 判断命题“

13、假设 a?0,那么x2 + x a= 0有实根的逆否命题的真假.解 法一 写出逆否命题，再判断其真假., 2原命题：假设a?0,贝U x + x a = 0有实根.逆否命题：假设x2+ x a= 0无实根，那么av 0.判断如下：/x2+ x a= 0 无实根，1-A = 1 + 4a v 0,. a v 二 v 0,4 “假设x2+ x a= 0无实根，那么av 0为真命题.法二 利用原命题与逆否命题同真同假 (即等价关系)判断a?0 , 4a?0 , 4a+ 1> 0,方程x2+ x a= 0的判别式 A = 4a + 1 > 0,方程x2+ x a= 0有实根，故原命题“假设

14、a?0,那么x2+ x a= 0有实根为真.又 原命题与其逆否命题等价， “假设a?0,贝U x2+ x a= 0有实根的逆否命题为真命题.法三利用充要条件与集合关系判断.命题p： a?0, q： x2+x a= 0有实根， p： A= a R|a?0,q： B= a R|方程 x2+x a= 0有实根 = a R|a?一1 .即A? B, “假设p,那么q为真， “假设p,那么q的逆否命题“假设綈 q,那么綈p为真. “假设a?0,贝U x2+ x a= 0有实根的逆否命题为真.222x 一x一6W 0,16. 设p：实数x满足x 4ax + 3a <0，其中a*0, q：实数x满足 2x + 2x 8>0.(1)假设a= 1,且pA q为真，求实数x的取值范围；(2)假设p是q的必要不充分条件，求实数 a的取值范围.解：(1)由 x2 4ax + 3a2<0，得(x-3a)( x-a)<0 ,当a= 1时，解得1<x<3，即p为真时实数x的取值范围是1<x<3.2x x 6W0由2，得2<xw 3,即q为真时实数x的取值范围是2<x< 3.x + 2x 8>