没有扩散的年龄结构模型

1、没有扩散的年龄结构模型2.1没有扩散的年龄结构模型的介绍连续的种群动态的理论已经被许多数学家研究。其中最重要的一个改进是考虑到了人口年龄的分布。F.R. Sharpe 和 A. Lotka 在 1911 年与 A.G. McKendrick 在 1926 年分别提出 了两个第一类连续年龄结构模型。考虑了一个单一种群的数量，并且用p(a,t )来表示以个体年龄数a和时间t为参数的密度函数。上面所提到的模型(Sharpe-Lotka-McKendrick ),可以用下面的方程描述。方程如下：Dp(a,t )+R(a)p(a,t ) = 0,a(0,a )t>0 (2.1.3)其中a表示这个种

2、群中年龄的最大值。a)表示死亡率，且仅与年龄a相关。Dp代表p对于方程(1.1 )的方向导数。比如：p a ；,t ； - p a,t dP a,t =明；如果P足够光滑，那么这个导数等同于 史(a,t )+史(a,t)。ca二 t出生过程被所谓的出生定律所描述如下aP(0,t )= B(a )p(a,t da, t>0(2.1.4)其中p(0,t)表示在某一时间t ,新出生的人口数量。B(a)表示出生率仅与年龄a 相关。这里P(a)p(a,t)表示了在父母年龄为a时t时刻的人口出生密度。初始的年龄分布可以表示为p(a,0 )= p0(a ),aw (0,a )(2.1.5)其中Po是一

3、个已知的函数。方程(2.1.3)-(2.1.5)构成了年龄依赖于种群动态的经典线性模型。(1.3)-(1.5)的分析在大时间渐近行为的解决方案上，与马尔萨斯模型得出 了相似的结论。这已经被证明了，仅在少数情况下它的解趋近于一个非平凡的均 衡状态对于t趋近于无穷。事实上，它的实数解是存在的。已被证实，在现实情况下出生率与死亡率也是依赖于人口总数p(t),aP(t )= J0 p(a,t da, t 之0 , 正如在Verhulst模型中。由于过度拥挤和资源限制的影响。死亡率 小是一个关 于函数P的增函数，出生率是一个关于函数 P的减函数。这些考虑导出了 一个非线性的年龄人口依赖模型， 这个模型是

4、具有现实意义 的。这种模型分别被 M.E. Gurtin 和R.C.MacCam在 197的与F. Hoppensteadt 在197期提出。所提出的种群人口数量方程如下：Dp(a,t )+N(a,t, p(t )p(a,t)=0,ae(0,a)t>0(2.1.6 )其中出生过程被非局部边界条件的描述如下：a1 _p(0,t 尸& P (a,t, p(t )p(a,t )da,t >0(2.1.7 )其中，p,民用a , Dp参数的含义，与上面提到的相同。出生率和死亡率是依赖 于三个单独变量的函数。这就是为什么这些非线性人口年龄相关性模型， 提供了 一个生物学上更现实的人口

5、行为的描述。f - Hoppensteadt ,b.Charlesworth,j梅茨和 o .迪克曼72和 j 默里76提供了一个年龄结构模型的适用性的调查。年龄结构人口数量增长的线性模型是 人口统计学的一个基本数学工具。N. Keyfitz 的著作包含了基础理论和一些应用程序的人口数据。2.2没有扩散的年龄结构模型的解的分析a,t Qt, t 0,T , a 0, A .(2.2.1)假设我们所用的系统模型为：Dp (a,t )+N(a,t )p(a,t 户 f (a,t),Ap 0,t 尸：0 : a,t p a,t da,p a,0)=Po a ,其中Dp为方向数,Dp(a,t尸p：)-

6、ptQt = 0,a户(0,T),周定常数a ,T分别表示个体最高寿命和控制周期，a ,TW(0,), p(a,t)表示t时刻年龄为a的个体数量，u表示控制函数.P卅表示出生率和死亡率，它们的结构表明不同年龄的个体对种群的演化有不同的影响，f表示种群数量的增长率Po为初始年龄分布.考虑控制问题(2.2.2)T auMaximize i i u a,t p a,t dadt,其中 u 亡 U =% 亡 L，(Qt 卜；(a,t )Eh(a,t / 4(a,t )a.e. in Q/，pu 是下列方程 组的解a,tQt,t 0,T ,(2.2.3)a 0,a .Dp(a,t)+H(a,t)p(a,

7、t)= f (a,t)u(a,t)p(a,t)aP 0,t = 0 - a,t p a,t daP a,0)=p0 a 这里 J,，2 w L*(Qt ),0 4 G (a,t J(a,t) a.e in Qt . U 为控制集合，u w U 为收获T A,模型(1)假设：A1A2A3A4也a1)在(0,a川控制.积分J0 J0 u (a,t )p (a,t )dadt表示总收获.L二 Qt，: a,t -0aein Qt,JLloc 0a 1 0Tl , J a,t .0 a.ein Qt,1p°uL(0,a ), p°(a )之0 a.e. in (0,a )1f L

8、Qt , f a,t _ 0 a.e. in Qt, a i ia,t - a a da -：,一",0)上延拓到0.系统(1)解的存在性：系统(1)的解可表示为函数pWL0,T;L1(0,a ), p在几乎所有特征线a -1 = k (a,t卢Qt ,k w R )上绝对连续且p应满足Dp(a,t )+N(a,t )p(a,t ) = f (a,t )a.e. in Qt ,alimm.p ,t； = 0 : a,t p a,t da a.e.t 0,T ,(2.2.4)或+p(a )= p°(a )a.ea10,a ),定理1系统(2.2.1)存在唯一非负解.证明设p为

9、方程(2.2.1)的解，由于p在几乎所有特征线上绝对连续，所以 上述关系(2.2.4)的2、3有意义，且p 0,t = lim p ,t ； a.e. t 三 i 0,T , p a,0 = lim p a , ； a.e. a 三0,a . 一j0由特征线法可将p表示为p(a,t ) = exp-10 N(s,t-a+s )dsb(t-a )(2.2.5 )+ j0 exp N(T,t a + e )d"f (s,t a + s)ds,对任意(a,t 卢 Qra <t及dspo a -t(2.2.6)p a,t = exp、0 口 a-t s,s+j0 exp-l(a -t

10、+t,t jdC f (at +s,s)ds,对于任意(a,t产 Qt，a>t. 其中a _ _b t = ° : a,t p a,t da ae t 0,T .(2.2.7)若bw L*(0,T ),则由(2.2.5)、(2.2.6)表示的p是下述方程的解，'Dp(a,t )+R(a,t )p(a,t )= f (a,t )(a,t 卢 Qt,p 0,t =b tt 0,T ,(2.2.8)p(a,0)=p0(a)aw(0,a).此时的p也满足(2.2.4)式,所以也是方程(2.2.1)的解.对于几乎所有0 :二t :二min lT,a ) a - b t =: a,

11、t p a,t daat - J s,t -a s ds：b t -a daa ., tt : a,t exp-Ja -t s, s ds? p0 a - t daa .t tt - a,t 0exp-Ja -t , d ' f a -t s, s dsda,对于几乎所有minT,a <t <T (若a <T )b t = 0 : a,t p a,t daa _ a=0 : a,t expl- 0s，t-a s dsb t - a daa -a ； a0 : a,t 0exP-s ,t。a ：d ' f s,t -a s dsda.则b满足Volterra 方

12、程tb t )=F t oK t,a b t -a da令t-a=s,上式等价于tb t = F t oK t,t -s b s ds这里t -a ，aF (t Af0 P (a,t "0 exp-1 y,t-aet w (0,T ),a.e.t0,T ,(2.2.9)a df s,t - a s dsda(2.2.10)a,t exp* - J a -t s, s ds' p0 a -t da:a,t i i expt-a T , d ? f a -t s, s dsdaa.e. t (0,min 什，a ，),aa . a,t -a d Jf s,t -a s dsda(

13、2.2.11)F t = 0 : a,t 0eXP-sa.e. t 三 i：min IT, a ,T )(若 a <T ),且a.|.R . a,texp' s,t - a s ds/a.e. a, tQT, a < t,0其他.(2.2.12)由假设(A1)(A3)及式(2.2.10) -(2.2.12)可得K L二 Qt ,K t,a _0 a.e. a,tQT以及F e L0°(0,T F(t 户0 aetJ0,T ).(2.2.13)(2.2.14)在空间L8（0,T ）上定义等价范数：|qhesssup(e q(tb,对于任意的qwLq0,T).(其中Q

14、0为常数) t 0,T定义算子：P: L°°(0,T )t L°°(0,T ),tPq t =F t 0K t,t -s q s dsae t0,T .对于四小270,丁）,有Pb1 t - Pb2 t= esssup et qo,T10KHt-sXb1-b2Xs)dsJ工esssup et. 0,T= esssup(et-| k|t.o,TtS 5L 二 Qt0e ebi -b2 s ds«esssup(e日| Kt.0,Tt nIIlQt j|b1 -b2|0e"ds)瑞印eK伟Jg吐门.可得，对于血刃Kl2）, p为（l注0,t）|）到自身的压缩映射.根据压缩映像原理，P在Lq0,T )上存在唯一的不动点，即(2.2.9)有唯一解b w LQC(0,T ),所以系统(1)有唯一解P .b0 t =F t进一步，(2.2.9)的解可通过以下迭代步骤得到：ae t 0,Ttbn 1 t ) = F t 0 K t,t