材料力学-第8章 应力状态

1、材料力学材料力学材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析引言引言在前面几章中，讨论了材料的拉伸、压缩、弯曲和扭转问题。在前面几章中，讨论了材料的拉伸、压缩、弯曲和扭转问题。其共同特点是其共同特点是：一是材料的危险截面危险点只承受正应力或剪应力一是材料的危险截面危险点只承受正应力或剪应力二是需要实验直接确定失效时的极限应力，并依此建立强度准则二是需要实验直接确定失效时的极限应力，并依此建立强度准则但是，对于工程上的复杂结构但是，对于工程上的复杂结构危险点同时受正应力和剪应力作用，很难用实验确定极限应力危险点同时受正应力和剪应力作用，很难用实验确定极限应力如何分析材料危险受力情

2、况以及极限荷载？如何分析材料危险受力情况以及极限荷载？材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析引言引言1. 应力状态的基本概念应力状态的基本概念2. 平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析3. 极值应力与主应力极值应力与主应力4. 应力圆应力圆5. 复杂应力状态的最大应力复杂应力状态的最大应力6. 平面应变状态应变分析平面应变状态应变分析7. 各向同性材料的应力应变关系各向同性材料的应力应变关系8. 应变能计算应变能计算材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析应力状态的基本概念应力状态的基本概念材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分

3、析应力状态的基本概念应力状态的基本概念应力状态的概念应力状态的概念过一点、在不同方向面过一点、在不同方向面上应力的集合，称之为这一点的上应力的集合，称之为这一点的应力状态应力状态（State of the Stresses of a Given Point）。材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析应力状态的基本概念应力状态的基本概念应力的点的概念应力的点的概念 同一截面上不同点的应力各不相同同一截面上不同点的应力各不相同横截面上的剪应力分布横截面上的剪应力分布横截面上的正应力分布横截面上的正应力分布Mz材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析应力状态的

4、基本概念应力状态的基本概念应力的面的概念应力的面的概念过同一点不同方向面上的应力各不相同过同一点不同方向面上的应力各不相同材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析应力状态的基本概念应力状态的基本概念应力的面的概念应力的面的概念过同一点不同方向面上的应力各不相同过同一点不同方向面上的应力各不相同材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析应力状态的基本概念应力状态的基本概念应力的面的概念应力的面的概念过同一点不同方向面上的应力各不相同过同一点不同方向面上的应力各不相同xxx材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析应力状态的基本概念应力状态的

5、基本概念应力的面的概念应力的面的概念过同一点不同方向面上的应力各不相同过同一点不同方向面上的应力各不相同材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析应力状态的基本概念应力状态的基本概念应力的面的概念应力的面的概念过同一点不同方向面上的应力各不相同过同一点不同方向面上的应力各不相同xx y xxxxy材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析应力状态的基本概念应力状态的基本概念应力的面的概念应力的面的概念过同一点不同方向面上的应力各不相同过同一点不同方向面上的应力各不相同x y xxyyxxyyxxy材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析应

6、力状态的基本概念应力状态的基本概念 微元平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面微元平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。应力的面的概念。不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力。不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力。材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析应力状态的基本概念应力状态的基本概念应力状态的概念应力状态的概念过一点、在不同方向面过一点、在不同方向面上应力的集合，称之为这一点的上应力的集合，称之为这一点的应力状态应力状态（State of the Stresses of a Given Po

7、int）。材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析应力状态的基本概念应力状态的基本概念材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析应力状态的基本概念应力状态的基本概念材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析应力状态的基本概念应力状态的基本概念材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析应力状态的基本概念应力状态的基本概念不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力。不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力。不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力应力材料力学第材料力学

8、第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析应力状态的基本概念应力状态的基本概念微元及其各面上一点应微元及其各面上一点应力状态的描述力状态的描述材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析应力状态的基本概念应力状态的基本概念yxz x y z xy yx yz zy zx xz材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析应力状态的基本概念应力状态的基本概念( Plane State of Stresses )xyx yyxxy材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析应力状态的基本概念应力状态的基本概念xyxxy( One Dimensional

9、 State of Stresses )( Shearing State of Stresses )材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析应力状态的基本概念应力状态的基本概念材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析应力状态的基本概念应力状态的基本概念F例：画出图示矩形梁在滑动铰支座右侧横截面内不同点的应力状态例：画出图示矩形梁在滑动铰支座右侧横截面内不同点的应力状态QMyz1123455432M材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析应力状态的基本概念应力状态的基本概念例例2：画出图示螺旋桨轴杆表面一点的应力状态：画出图示螺旋桨轴杆

10、表面一点的应力状态1. 1. 螺旋桨带动轴杆向前，产生拉力螺旋桨带动轴杆向前，产生拉力FF2. 2. 轴杆带动螺旋桨旋转，有扭转作用轴杆带动螺旋桨旋转，有扭转作用M材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-2 平面应力状态分析平面应力状态分析xxxx材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-2 平面应力状态分析平面应力状态分析yxxyx y 剪应力：剪应力： 引入正负号之后引入正负号之后xyy

11、x 材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-2 平面应力状态分析平面应力状态分析方向角方向角qyxxydA材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-2 平面应力状态分析平面应力状态分析y yxxx y 平衡对象平衡对象x xy材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-2 平面应力状态分析平面应力状态分析xxyy yxdAx y x dxA(d sin)sinyA(d cos)sinxyA0(d cos)cosxA(d sin)cosyxA材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-2 平面应力状态分析平面应

12、力状态分析xxyy yxdAx y x dx yA (d sin)cosyA(d cos)cosxyA0(d cos)sinxA(d sin)sinyxA材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-2 平面应力状态分析平面应力状态分析xxxyyxxyyxxydA根据根据 和和 方向上的平衡条件：方向上的平衡条件：xy0 xF(cos)cos(cos)sin(sin)sin(sin)cos0 xxxyyyxdAdAdAdAdA0yF(cos)sin(cos)cos(sin)cos(sin)sin0 x yxxyyyxdAdAdAdAdA 由三角倍角公式，可得到任意方向面上的正

13、应力和剪应力：由三角倍角公式，可得到任意方向面上的正应力和剪应力：cos2sin222xyxyxxysin2cos22xyx yxy 材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-2 平面应力状态分析平面应力状态分析50701003070例题例题1：图示微元，表面正应力与剪应力已知。求法向与图示微元，表面正应力与剪应力已知。求法向与x轴正向成轴正向成30的斜面上所受正应力与剪应力。所示应力单位为的斜面上所受正应力与剪应力。所示应力单位为MPa。解：解：50, 100, 70, 30 xyxy 30cos2sin222xyxyxy30sin2cos22xyxy50 10050

14、100cos60( 70)sin602273.1()MPa 50 100sin6070cos60230()MPa材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力极值应力与主应力材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力极值应力与主应力主平面主平面 （Principle plane）：）：剪应力剪应力 的方向面称为主平面，的方向面称为主平面，其方向角用其方向角用 表示。表示。0 x y 0由任意方向面上的剪应力公式：由任意方向面上的剪应力公式：sin2cos2

15、2xyx yxy 0令令02tan2xyxy 得：得：xyxyyxxy0材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力极值应力与主应力02tan2xyxy 000 xyxyyx请同学自己验证该公式请同学自己验证该公式材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力极值应力与主应力0/2材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力极值应力与主应力0材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力极值应力与主应力0 材料力学第材料力学第8章章 应力应

16、变状态分析应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力极值应力与主应力0 002tan2xyxy 由主方向方向角公式：由主方向方向角公式：00222221()4221()4220 xyxyxyxyxyxy cos2sin222xyxyxxy材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力极值应力与主应力22221()4221()4220 xyxyxyxyxyxy 将以上三个主应力将以上三个主应力 按照按照代数值代数值由大到小排列，并由大到小排列，并分别用分别用 表示表示, 123, 123则有：则有：材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8

17、-4 极值应力与主应力极值应力与主应力FFFFFF123,FA 0, 0123, 0FA123, 0, FFAA ,FA 0 ,FA 材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力极值应力与主应力yyxxyxxyx y yy x xxy材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力极值应力与主应力材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力极值应力与主应力yyxxyxxy材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力极值应力与主应力与正应力类

18、似，不同方向面上的剪应力也是不同的。因此，存与正应力类似，不同方向面上的剪应力也是不同的。因此，存在一个方向面，使得该面上剪应力为极值。在一个方向面，使得该面上剪应力为极值。sin2cos22xyx yxy 已知：已知：令令 0 x ydd tan22xysxy221()42xyxy 面内面内最大最小剪应力：最大最小剪应力：剪应力为极值时剪应力为极值时材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力极值应力与主应力思考：思考：1. 正应力最大时的方向角正应力最大时的方向角 与剪应力最大时的方与剪应力最大时的方向角向角 有什么关系？有什么关系？0s2. 正应力

19、最大的平面上剪应力是否一定为零？正应力最大的平面上剪应力是否一定为零？3. 剪应力最大的平面上正应力是否一定为零？剪应力最大的平面上正应力是否一定为零？4. 平面内最大剪应力是否是过一点所有方向面中剪平面内最大剪应力是否是过一点所有方向面中剪应力的最大值？应力的最大值？ B.B.不一定不一定5. 平面内最大正应力与最大剪应力之间有何关系？平面内最大正应力与最大剪应力之间有何关系？A.A.是是222211()4 , ()4222xyxyxyxyxy 5. 5. 答：答：通过比较，可知通过比较，可知 2 材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力极值应力与

20、主应力 考察微元三对面上分考察微元三对面上分别 作 用 着 三 个 主 应 力别 作 用 着 三 个 主 应 力（123 0）的应力）的应力状态。状态。 材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力极值应力与主应力x=3, ,y=2，xy022421xyyx 这就是这就是组方向面内的最大剪应力组方向面内的最大剪应力。232 在平行于主应力在平行于主应力1方向的任意方向面方向的任意方向面上，正应力和剪应力都上，正应力和剪应力都与与1无关。因此，当研究平行于无关。因此，当研究平行于1的这一组方向面上的应力时，所的这一组方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为

21、一平面应力状态：研究的应力状态可视为一平面应力状态： 材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力极值应力与主应力 在平行于主应力在平行于主应力2方向的任意方向面方向的任意方向面上，正应力和剪应力都与上，正应力和剪应力都与2无关。因此，当无关。因此，当研究平行于研究平行于2的这一组方向面上的应力时，的这一组方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态：所研究的应力状态可视为一平面应力状态： x=1, ,y=3，xy0。 22421xyyx 132这就是这就是组方向面内的最大剪应力组方向面内的最大剪应力。材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分

22、析应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力极值应力与主应力x=1, ,y=2，xy0。 22421xyyx 122 在平行于主应力在平行于主应力3方向的任意方方向的任意方向面向面上，正应力和剪应力都与上，正应力和剪应力都与3无无关。因此，当研究平行于关。因此，当研究平行于3的这一组的这一组方向面上的应力时，所研究的应力状方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态：态可视为一平面应力状态： 这就是这就是组方向面内的最大剪应力组方向面内的最大剪应力。材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力极值应力与主应力材料力学第材料力学第8章章 应力应变状

23、态分析应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力极值应力与主应力对任意一个应力状态，均可以找到一个特殊的方向角，使得微对任意一个应力状态，均可以找到一个特殊的方向角，使得微元上仅有三个主应力元上仅有三个主应力 作用。作用。123(,) 123231312232 132 122 12313max =2最大剪应力材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力极值应力与主应力例题例题2：图示圆杆分别采用低碳钢（图示圆杆分别采用低碳钢（a）和铸铁（）和铸铁（b）进行扭转实验，）进行扭转实验，低碳钢断裂面垂直于轴线，铸铁的断裂面与轴线成低碳钢断裂面垂直于轴线，铸铁的断

24、裂面与轴线成45角。角。试采用以上最大正应力与最大剪应力理论分析该两种材料不试采用以上最大正应力与最大剪应力理论分析该两种材料不同的断裂特性。同的断裂特性。（a）（b）材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力极值应力与主应力解：解：圆杆扭转，微元为平面应力状态。取圆杆表面微元，可知该圆杆扭转，微元为平面应力状态。取圆杆表面微元，可知该微元的应力状态为纯剪。微元的应力状态为纯剪。由由tan22xysxy知，最大剪应力的方向角知，最大剪应力的方向角s0与低碳钢的断裂面一致，所以与低碳钢的断裂面一致，所以低碳钢是剪力引起破坏低碳钢是剪力引起破坏。与铸铁的断

25、裂面一致，所以与铸铁的断裂面一致，所以铸铁这种脆性破坏是拉应力引起铸铁这种脆性破坏是拉应力引起。由由02tan2xyxy 知，最大拉应力的方向角知，最大拉应力的方向角0 045材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力极值应力与主应力pFpFeMeM30DxxD例题例题3： 如图，薄壁圆管受扭转和拉伸同时作用。圆管平均直径如图，薄壁圆管受扭转和拉伸同时作用。圆管平均直径D50mm，壁厚，壁厚2mm。外加力偶矩。外加力偶矩Me600Nm，轴向载荷，轴向载荷22pDWFp20kN。薄壁管截面的扭转截面模量可近似取为。薄壁管截面的扭转截面模量可近似取为 。1

26、. 求圆管表面上过求圆管表面上过D点与母线夹角为点与母线夹角为30的斜截面上的应力。的斜截面上的应力。2. 求求D点的主应力与最大剪应力。点的主应力与最大剪应力。30120120120材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力极值应力与主应力解：解：1. 取微元，利用拉伸和圆轴扭转公式计算微元各面上的应力：取微元，利用拉伸和圆轴扭转公式计算微元各面上的应力：3220 1063.7/63.7502ppFFNN mmMPaADmmmm2. 求斜截面上的应力，首先：求斜截面上的应力，首先：xDx3012012012063.7, 0, 76.4, 120 xy

27、xyMPaMPa 120cos2sin222xyxyxy120sin2cos22xyxy则则232322 60076.4(50 10)(2 10)eepMMN mMPaWDmm50.3MPa 10.7MPa材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力极值应力与主应力解：解：3. 确定主应力与最大剪应力：确定主应力与最大剪应力：根据最大主应力计算公式根据最大主应力计算公式221()4 22xyxyxy 114.6, 50.9MPaMPa求得面内主应力求得面内主应力0 另因为平面应力状态，有另因为平面应力状态，有按照代数值大小排序，按照代数值大小排序，D点的

28、三个主应力为：点的三个主应力为：123114.6, 0, 50.9MPaMPa D点的最大剪应力为：点的最大剪应力为：13max114.6( 50.9)82.7522MPa 材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力极值应力与主应力三向应力状态如图所三向应力状态如图所示，图中应力的单位为示，图中应力的单位为MPa。例例 题题 4主应力及微元内的最主应力及微元内的最大剪应力。大剪应力。材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力极值应力与主应力故微元上平行于故微元上平行于 的方向面上的应力值与的方向面上的应力值与

29、无关。因此，无关。因此，当确定这一组方向面上的应力，以及这一组方向面中的主当确定这一组方向面上的应力，以及这一组方向面中的主应力应力 和和 时，可以将所给的应力状态视为平面应力状态。时，可以将所给的应力状态视为平面应力状态。 所给的应力状态中有一个主应力是已知的，即所给的应力状态中有一个主应力是已知的，即60MPa 材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力极值应力与主应力这与平面应力状态相类似。于是，平面应力状态下主应这与平面应力状态相类似。于是，平面应力状态下主应力力 和和 公式可直接应用公式可直接应用 0421222xyxx0421222 xyx

30、x所给的应力状态中有一个主应所给的应力状态中有一个主应力是已知的，即力是已知的，即60MPa 材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力极值应力与主应力 本例中本例中 x x=20 Mpa， xyxy=40 MPa。据此，求得。据此，求得 622662010120 10440 10Pa=31.23MPa22 622662010120 10440 10Pa51.23MPa22 60MPa0421222xyxx0421222 xyxx材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力极值应力与主应力根据根据 1 2 3的排

31、列顺序，可以写出的排列顺序，可以写出 MPa2351MPa2331MPa60321.微元内的最大剪应力微元内的最大剪应力 55.6MPaMPa1055.6Pa21023511060266631max.622662010120 10440 10Pa=31.23MPa22 622662010120 10440 10Pa51.23MPa22 60MPa例 题 5应力状态如图所示。应力状态如图所示。1.确定主应力确定主应力 1写出主应力写出主应力 1、 2、 3的表达式；的表达式； 2若已知若已知 x63.7 MPa， xy=76.4 MPa，当坐标轴，当坐标轴x、y反时针方向反时针方向 旋转旋转 =

32、120 后至后至x、y ，求，求: x、xy 。应用平面应力状态主应力公式应用平面应力状态主应力公式 221422xyxyxy 221422xyxyxy 材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力极值应力与主应力1.确定主应力确定主应力应用平面应力状态主应力公式应用平面应力状态主应力公式 因为因为 y0，所以有，所以有0421222xyxx0421222 xyxx又因为是平面应力状态，故有又因为是平面应力状态，故有0 221422xyxyxy 221422xyxyxy 材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力

33、极值应力与主应力于是，根据于是，根据 1 2 3的排列顺序，得的排列顺序，得 2232221421204212xyxxxyxx0421222xyxx0421222 xyxx0 材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力极值应力与主应力2.计算方向面法线旋转后的应力分量计算方向面法线旋转后的应力分量 将已知数据将已知数据 x63.7 MPa， y0， xy yx=76.4 MPa， =120 等代入任等代入任意方向面意方向面上应力分量的表达式上应力分量的表达式 ，求得：，求得：66663 7010 cos 2 1202 76 4 10 sin 2 120

34、282.1 10 Pa82.1MPax .6663 7010sin 2 12076 4 10 cos 2 1202x y .MPa865Pa108656.材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力极值应力与主应力材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-3 应力圆应力圆材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-3 应力圆应力圆cos2sin222xyxyxxysin2cos22xyx yxy

35、 由微元任意方向面上的正应力和剪应力公式由微元任意方向面上的正应力和剪应力公式cos2sin222xyxyxxysin2cos22xyx yxy 两方程等号左右两边同时平方后相加：两方程等号左右两边同时平方后相加：222221()422xyxx yxyxy 材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-3 应力圆应力圆应力圆方程：应力圆方程：222221()422xyxx yxyxy 该方程描述了以该方程描述了以 为横轴，为横轴， 为纵轴的坐标系。这种圆称为为纵轴的坐标系。这种圆称为应力圆（应力圆（stress circle）或莫尔圆（）或莫尔圆（Mohr circle）。应

36、力圆的）。应力圆的圆心位于横轴，圆心位于横轴，圆心坐标为：圆心坐标为：圆半径为：圆半径为：xx y (,0)2xy221()42xyxyOx y x2xyR221()42xyxyR材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-3 应力圆应力圆yyxxyx材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-3 应力圆应力圆Ax y xA(,)xx y 材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-3 应力圆应力圆yyxxyxx y xADnxAD2材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-3 应力圆应力圆材料力学第材料力学第8

37、章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-3 应力圆应力圆xx y Oca( x , xy) y yxB y yxBb( y , yx) xyA y yxBxx xyAx xyA y yxB y yxB材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-3 应力圆应力圆xx y Oca( x , xy) y yxB y yxBb( y , yx) xyA y yxBxx xyAx xyA y yxB y yxB（20, 0）例 题 6材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-3 应力圆应力圆40103020某点处两截面应力如图（单位某点处两截面应力如图（单位M

38、Pa），画出该点应力圆。），画出该点应力圆。x y x A (30, -20) B (40, 10)所以，图示两截面夹角所以，图示两截面夹角135AB材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-3 应力圆应力圆Ox y x2xyR221()42xyxyR221()422xyxyxy221()42xyxy 180 /29090 /245材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-3 应力圆应力圆 x x xy xo245245BEADadcbeE EB B4545材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-3 应力圆应力圆拉中有剪的例子

39、：拉中有剪的例子：c xy xo245245adbe x xEBEB x x材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-3 应力圆应力圆EB x x 轴向拉伸时，轴向拉伸时，45方向方向面上面上既既有正应力又有剪应力，正应力不有正应力又有剪应力，正应力不是最大值，剪应力却最大。是最大值，剪应力却最大。材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-3 应力圆应力圆o xy x245245 y x BEDA A d(0,- )Ca (0, )eb材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-3 应力圆应力圆剪中有拉的例子：剪中有拉的例子： y

40、 x BEDA A y x BE材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-3 应力圆应力圆 在纯剪应力状态下，在纯剪应力状态下，4545方向面上方向面上只有只有正应力没有剪正应力没有剪应力，而且正应力为最大值。应力，而且正应力为最大值。DA A y x BE材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-3 应力圆应力圆 xy x y yx xy xoadA AD主平面主平面（p principal plane）：）： = 0,= 0,与应力圆上和横轴交点对应的面。与应力圆上和横轴交点对应的面。cbe PB PE2 p材料力学第材料力学第8章章 应力应变状

41、态分析应力应变状态分析8-3 应力圆应力圆由应力圆找主平面，主应力：由应力圆找主平面，主应力： x y yxA AD xy PE PB xy xoadcbe2 p 主应力主应力（p principal stresses）：）：主平面上的正应力。主平面上的正应力。材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-3 应力圆应力圆材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-3 应力圆应力圆 xy xoadcbe adcbe adcbe 材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-3 应力圆应力圆 有几个主应力有几个主应力？ xy xoadcbe

42、 123材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-3 应力圆应力圆一点处的所有主应力：一点处的所有主应力： xy xoadcbe 有几个主应力有几个主应力？123材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-3 应力圆应力圆 224212xyyxyx 224212xyyxyx 0 2 p xy xocbead 材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-3 应力圆应力圆 对应应力圆上的最高点对应应力圆上的最高点的面上剪应力最大，称为的面上剪应力最大，称为“ 面内最大剪应力面内最大剪应力” （maximum shearing stres

43、s in plane）。 224212xyyx xy xoc 材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-3 应力圆应力圆材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-3 应力圆应力圆1.1. 证明：对于确定的主应力，例如证明：对于确定的主应力，例如 , ,其方向角其方向角 由下式确定由下式确定02. 正应力最大时的方向角正应力最大时的方向角 与剪应力最大时的方向角与剪应力最大时的方向角 有什么关系？有什么关系？0s3. 正应力最大的平面上剪应力是否一定为零？正应力最大的平面上剪应力是否一定为零？4. 剪应力最大的平面上正应力是否一定为零？剪应力最大的平面

44、上正应力是否一定为零？x y xACxOB(,)xxy D材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析 考察微元三对面上分考察微元三对面上分别 作 用 着 三 个 主 应 力别 作 用 着 三 个 主 应 力（123 0）的应力）的应力状态。状态。 材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-5 复杂应力状态的最大应力复杂应力状态的最大应力 xy x由由 2 、 3可作出应力圆可作出应力圆 I 3 2II 1 2 3材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-5 复杂应力状态的最

45、大应力复杂应力状态的最大应力由由 1 、 3可作出应力圆可作出应力圆IIIIII 1 3III 2 3 xy xO 2 3 1材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-5 复杂应力状态的最大应力复杂应力状态的最大应力III xy xO 3由由 1 、 2可作出应力圆可作出应力圆 IIIIII 2 1III 2 1 3材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-5 复杂应力状态的最大应力复杂应力状态的最大应力 1III 3III 2O xy x 微元任意方微元任意方向面上的应力对向面上的应力对应着三个应力圆应着三个应力圆之间某一点的坐之间某一点的坐标。标

46、。材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析max1min313max28-5 复杂应力状态的最大应力复杂应力状态的最大应力最大正应力：最大正应力：最大剪应力：最大剪应力：最小正应力：最小正应力：三向应力状态下：三向应力状态下：材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-5 复杂应力状态的最大应力复杂应力状态的最大应力 例例 题题 7 yx xo max20030050(MPa)平面应力状态的主应力平面应力状态的主应力 1 1、 2 2 、 3 3和和最大切应最大切应 力力 max。材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-5 复杂应

47、力状态的最大应力复杂应力状态的最大应力 xO x y 2005030050(MPa) max平面应力状态的主应力平面应力状态的主应力 1 1、 2 2 、 3 3和最大剪应力和最大剪应力 max。材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-5 复杂应力状态的最大应力复杂应力状态的最大应力 O x x y 300100(MPa) max例例 题题 9平面应力状态的主应力平面应力状态的主应力 1 1、 2 2 、 3 3和和最大切应力最大切应力 max。ab材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-5 复杂应力状态的最大应力复杂应力状态的最大应力材料力学第

48、材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析平面应变状态：平面应变状态：构件内某点处变形均平行于某一平面构件内某点处变形均平行于某一平面2材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-6 平面应变状态应变分析平面应变状态应变分析平面应变状态分析的结论与平面应力状态分析的结论平面应变状态分析的结论与平面应力状态分析的结论极其类似，只需将平面应力状态分析结果中的极其类似，只需将平面应力状态分析结果中的任意方向正应变和剪应变：任意方向正应变和剪应变：cos2sin2222xyxyxysin2cos2222xyxy材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-

49、6 平面应变状态应变分析平面应变状态应变分析2maxOA(,)2应变圆：应变圆：()2xy22()()22xyxyRmin材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析11 泊松比泊松比材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-7 各向同性材料的应力应变关系各向同性材料的应力应变关系材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-7 各向同性材料的应力应变关系各向同性材料的应力应变关系y x 材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-7 各向同性材料的应力应变关系各向同性材料的应力应变关系材料力学第材料力学第8章章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-