椭圆复习教案

1、；题目 第八章圆锥曲线椭圆高考要求 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程知识点归纳 1.定义：平面内一个动点到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|，即)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e（0<e<1），则P点的轨迹是椭圆第二定义高考超纲，第二定义、焦半径公式均只能在选填中使用，超纲内容用斜体字表示2.椭圆参数的几何意义，如下图所示：（1）|PF1|+|PF2|=2a，|PM2|+|PM1|=，=e；（2）,；（3）|BF2|=|BF1|=a，|OF1|=|OF2|=c；（4）

2、|F1K1|=|F2K2|=p=，3.标准方程：椭圆标准方程的两种形式 和其中椭圆的焦点坐标是，离心率是，准线方程是，通径的长是焦准距（焦点到准线的距离），焦参数（通径长的一半）范围：，长轴长=，短轴长=2b，焦距2c ， 焦半径：，.4.中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段、2c，有关角()结合起来，建立+、等关系.5.椭圆上的点有时常用到三角换元：；题型讲解 例1 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦中点横坐标为的椭圆方程.解: 设椭圆方程 ,因为弦AB中点,所以由 得,（点差法）所以 又 注：当题目中的已知和结论为弦的中点、斜率时经常使用点差法例2 已知F1为椭圆的左焦点，A

3、、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1F1A，POAB（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.分析：求椭圆的离心率，即求，只需求a、c的值或a、c用同一个量表示.本题没有具体数值，因此只需把a、c用同一量表示，由PF1F1A，POAB易得b=c，a=b.解：设椭圆方程为+=1（ab0），F1（c，0），c2=a2b2，则P（c，b），即P（c，）.ABPO，kAB=kOP，即=.b=c.又a=b，e=.点评：由题意准确画出图形，利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键.例3 如下图，设E：+=1（ab0）的焦点为F1与F2，且PE，F1PF2=2. 求证：PF1F2的面

4、积S=b2tan.分析：有关圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则S=r1r2sin2.若能消去r1r2，问题即获解决. 证明：设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则S=r1r2sin2，又|F1F2|=2c，由余弦定理有（2c）2=r12+r222r1r2cos2=（r1+r2）22r1r22r1r2cos2=（2a）22r1r2（1+cos2），于是2r1r2（1+cos2）=4a24c2=4b2.所以r1r2=.从而有 S=·sin2=b2=b2tan.点评：解与PF1F2（P为椭圆上的点）有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合

5、|PF1|+|PF2|=2a来解决.我们设想点P在E上由A向B运动，由于PF1F2的底边F1F2为定长，而高逐渐变大，故此时S逐渐变大.所以当P运动到点B时S取得最大值.由于b2为常数，所以tan逐渐变大.因2为三角形内角，故2（0，），（0，）.这样，也逐渐变大，当P运动到B时，F1PF2取得最大值.故本题可引申为求最值问题，例4 若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且OAOB，求椭圆的方程.分析：欲求椭圆方程，需求a、b，为此需要得到关于a、b的两个方程，由OM的斜率为.OAOB，易得a、b的两个方程.解：设A（x1，y1）

6、，B（x2，y2），M（，）.由 ，（a+b）x22bx+b1=0.=，=1=.M（，）. kOM=，b=a. OAOB，·=1.x1x2+y1y2=0.x1x2=，y1y2=（1x1）（1x2），y1y2=1（x1+x2）+x1x2=1+=.+=0.a+b=2.由得a=2（1），b=2（1）.所求方程为2（1）x2+2（1）y2=1.点评：直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出A（x1，y1），B（x2，y2），但不是真的求出x1、y1、x2、y2，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由OAOB得x1x2+y1y2=0是解决本题的关键.直曲联立的套路适用于直线与

7、圆锥曲线两个交点地位平等时，是核心套路，必须熟练运用。例5 已知椭圆的一条准线方程是,其左、右顶点分别是A、B；双曲线 的一条渐进线方程为 (1)求椭圆的方程及双曲线的离心率; (2)在第一象限内取双曲线上一点P,连接AP交椭圆于点M,连接PB并延长交椭圆 于点N,若求证: (1) 解: (c为椭圆半焦距), 的离心率为 . (2) 证明:设,则即 消去得 因为点M在第一象限代入椭圆方程得: 所以点M、N关于x轴对称. 点评: 对概念的理解要准确到位,注意答案的多种可能性; 擅于将几何关系与代数关系相互转化; 把平面解析几何问题转化为向量、平面几何、三角函数、定比分点公式、不等式、导数、函数、

8、复数等问题;注意参量的个数及转化;养成化简整理的习惯.点代入的核心就是表达与消元，一定注意要思路清晰，在多个方程的时候想清楚消去哪个未知量。例6 设椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率.已知点到这个椭圆上的点的最远距离为,求这个椭圆方程. 并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标. 解:设椭圆方程为, 为椭圆上的点,由得 若,则当时最大,即, ,故矛盾. 若时,时, 所求方程为 把y=代入，求得M的坐标是(,)或(,).点评：二次曲线的最值问题，常常归结为二次函数的最值问题，解题时要注意对自变量的范围进行讨论.例7 设椭圆与双曲线有共同焦点F1(4,0),F2(4,0), 并且椭圆长轴长是双曲线实

9、轴长的2倍，试求椭圆与双曲线的交点的轨迹.解法一：设交点为P(x,y), 双曲线的实半轴长为a (2<a<4),则椭圆长半轴长为2a, 由半焦距为4, 得它们的方程分别为： (1) 和=1 (2)(2)´4(1)得： (3),代入(1)得：a2=2|x|再代入(3)化简得：(x5)2+y2=9 或(x+5)2+y2=9 .解法二：用定义法求解. |F1P|+|F2P|=2|F1P|F2P|, 解得：|F1P|=3´ |F2P| 或3´ |F1P|=|F2P| .即：3或 3, 化简得：(x5)2+y2=9 或(x+5)2+y2=9 .例8 如

10、图 ,椭圆的中心在原点, 焦点在x轴上, 过其右焦点F作斜率为1的直线, 交椭圆于A、B两点, 若椭圆上存在一点C, 使. (1) 求椭圆的离心率;(2) 若15, 求着个椭圆的方程.解: (1)设椭圆的方程为, 焦距为, 则直线l的方程为:,代入椭圆方程, 得, 设点、,则, C点坐标为.C点在椭圆上, .又(2) 由已知从而. .故椭圆的方程为: .例9 已知常数a0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a， O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且=，P为GE与OF的交点（如下图）.问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若

11、不存在，请说明理由.分析：根据题设条件首先求出P点坐标满足的方程，据此可判断是否存在两点，使得点P到两定点距离的和为定值.解：按题意，有A（2，0），B（2，0），C（2，4a），D（2，4a）.设=k（0k1），由此有E（2，4ak），F（24k，4a），G（2，4a4ak）.直线OF的方程为2ax+（2k1）y=0. 直线GE的方程为a（2k1）x+y2a=0. 由消去参数k，得点P（x，y）满足方程2a2x2+y22ay=0.整理得+=1.当a2=时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.当a2时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长.当a2时，点P到椭圆两个

12、焦点（，a），（，a）的距离之和为定值.当a2时，点P到椭圆两个焦点（0，a），（0，a+）的距离之和为定值2a.点评：本题主要考查根据已知条件求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.在解题过程中蕴涵着方程思想、分类讨论思想和构造法.小结：椭圆的定义、方程、几何性质.难点是理解参数a、b、c、e的关系，及利用第二定义解决问题，关键是注意数形结合，函数与方程的思想，等价转化的运用.为此在教学中注意以下几点：（1）椭圆中有一个十分重要的三角形OF1B2（如图），它的三边长分别为a、b、c.易见c2=a2b2，且若记OF1B2=，则cos=e.（2）应理解椭圆是平面内到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹，本质上，它与坐标系无关，而坐标系是研究的手段.实际上，人们研究圆锥曲线的记录早于笛卡儿发明坐标系，从而椭圆本身所固有的性质并不依赖于坐标系，这些性质不因坐标系的选择而改变.例如上述的OF1B2、公式cos=e等，均不因坐标系的改变而改变.（3）椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|.因为当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和等于|F1F2|时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和小于|F1F2|时，其轨迹不存在.（4）椭圆标准方程中两个参数a和b确定了椭圆的形状和大小.两种标准方程中，总