2017-2018学年人教A版高中数学选修2-3检测第一章计数原理单元质量评估（一）

单元质量评估(一)(第一章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.某小组有8名男生,6名女生,从中任选男生和女生各1名去参加座谈会,则不同的选法有()A.48种 B.24种 C.14种 D.12种【解析】选A.男生有8种选法,女生有6种选法,共有8×6=48种选法.2.(2017·银川高二检测)某市有甲、乙、丙、丁四个某种品牌的牛奶代理商,某天早上送货员小张从工厂出发依次送货至各个代理处,然后再回到工厂,小张的不同的送货方式共有()A.12种 B.16种 C.20种 D.24种【解析】选D.由题意知,该问题属于排列问题,所以不同的送货方式共有A43.从0,1,2,…,9这10个数字中,任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点的坐标,能够确定不在x轴上的点的个数是()A.100个 B.90个 C.81个 D.72个【解析】选C.要使点不在x轴上,则纵坐标不能为0,故纵坐标上的数字只能有9种选择,纵坐标选好后,因任取两个不同数字,所以横坐标不能与之相同.故也有9种选择,由分步乘法计数原理得,N=9×9=81(个).【补偿训练】设直线方程为Ax+By=0,从1,2,3,4,5中每次取两个不同的数作为A,B的值,则所得不同直线的条数为()A.20 B.19 C.18 【解析】选C.确定直线只需依次确定A,B的值即可,先确定A有5种取法,再确定B有4种取法,由分步乘法计数原理得5×4=20,但x+2y=0与2x+4y=0,2x+y=0与4x+2y=0表示相同的直线,应减去,所以不同直线的条数为202=18.4.设k=1,2,3,4,5,则(x+2)5的展开式中xk的系数不可能是()A.10 B.40 C.50 D.80【解析】选C.展开式中xk的系数为C5k·25.(2017·全国卷Ⅲ)(x+y)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为()A.80 B.-40 C.40 D.80【解析】选C.由二项式定理可得,原式展开式中含x3y3的项为:x·C53(2x)2(y)3+y·C52=40x3y3+80x3y3=40x3y3,故展开式中x3y3的系数为40.6.x2A.12 B.-12 C.6 【解析】选A.展开式中的通项公式为Tr+1=C3r·x(2)r·xr=(2)r·C3r·x令63r=0,求得r=2,故展开式中的常数项为4×3=12.7.在(1x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn中,若2a2+an5=0,则自然数n的值是()A.7 B.8 C.9 D.10【解析】选B.a2=Cnan5=(1)n5Cnn-5=(1)n5所以2Cn2+(1)n5所以120(-1所以(n2)(n3)(n4)=120且n5为奇数,所以n=8.8.某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流,每所中学至少派一名教师,则不同的分配方法有()A.80种 B.90种 C.120种 D.150种【解题指南】先根据分到各学校的教师人数分类,再根据去各学校教师人数将教师分成三组,然后将这三组教师全排列即可.【解析】选D.有两类情况:第一类其中一所学校3名教师,另两所学校各一名教师的分法有C53A9.(2017·双鸭山高二检测)在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一步或最后一步,程序B和C实施时必须相邻,请问实验顺序的编排方法共有()A.24种 B.48种 C.96种 D.144种【解析】选C.因为由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步,所以从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列,有A21=2种结果,因为程序B和C实施时必须相邻,所以把B和C看作一个元素,同除A外的3个元素排列,注意B和C之间还有一个排列,共有A410.将标号为1,2,…,10的10个球放入标号为1,2,…,10的10个盒子内,每个盒内放一个球,则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数有()A.120 B.240 C.360 D.720【解析】选B.首先确定3个球,有C103种方法,要求与其所在盒子的标号不一致有2种放法,故共有211.(2017·南昌高二检测)某领导人会议上,某五国领导人A,B,C,D,E除B与E,D与E不单独会晤外,其他领导人两两之间都要单独会晤,现安排他们在两天的上午,下午单独会晤(每人每个半天最多进行一次会晤)那么安排他们单独会晤的不同方法共有()A.48种 B.36种 C.24种 D.8种【解析】选A.五国领导人单独会晤的有AB,AC,AD,AE,BC,BD,CD,CE共八场,现将八场会晤分别安排在两天的上午和下午进行,每个半天安排两场会晤同时进行,能同时会晤的共有(AB,CD),(AC,BD),(AD,CE),(AE,BC)和(AB,CE),(AC,BD),(AD,BC),(AE,CD)两种情况,故不同的安排方案共有A4412.(2017·重庆高二检测)若二项式(2+x)10按(2+x)10=a0+a1(1x)+a2(1x)2+…+a10(1x)10的方式展开,则展开式中a8的值为()A.90 B.180 C.360 【解析】选D.由题意得,(2+x)10=(2x)10=[3+(1x)]10,所以展开式的第9项为T9=C108(3)2=405(1x)8,即a8=405.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.设ABCDEF为正六边形,一只青蛙开始在顶点A处,它每次可随意地跳到相邻的两个顶点之一.若在5次之内跳到D点,则停止跳动;若5次之内不能到达D点,则跳完5次也停止跳动.那么这只青蛙从开始到停止,可能出现的不同跳法共__________种.【解析】青蛙不能经过跳1次、2次或4次到达D点,故青蛙的跳法只有下列两类.第一类,青蛙跳3次到达D点,有ABCD,AFED,共2种跳法.第二类,青蛙跳5次后停止,那么,前3次的跳法一定不能到达D,只能到达B或F,则共有AFEF,ABAF,AFAF,ABCB,ABAB,AFAB,共6种跳法,而后2次跳法各有4种,例如,由点F出发的有FEF,FED,FAF,FAB,共4种跳法,因此共有6×4=24(种)跳法.因此共有24+2=26(种)不同跳法.答案:2614.已知C28x=C28【解析】由题意得x=3x8或x+3x8=28,解得x=4或9.答案:4或915.(2017·烟台高二检测)x-1x【解析】展开式通项为Tr+1=C5r(x)5r-1x令5-3r2=1,r=1,所以x项的系数为(1)1答案:516.在直角坐标系xOy中,已知△AOB三边所在直线的方程分别为x=0,y=0,2x+3y=30,则△AOB内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数是__________.【解析】因为2x+3y=30,所以令x=0得y=10;令y=0得x=15,所以A(0,10),B(15,0).将△AOB补成一个矩形,则OB边上的整数有16个,OA边上的整数有11个,对角线AB上的整数点有6个,从而△AOB内部和边上整点的总数为C161·C11答案:91三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2017·石家庄高二检测)已知f(x)=(2x3)n展开式的二项式系数和为512,且(2x3)n=a0+a1(x1)+a2(x1)2+…+an(x1)n.(1)求a2的值.(2)求a1+a2+a3+…+an的值.【解析】(1)由二项式的系数和为512知2n=512,所以n=9.(2x3)9=[2(x1)1]9,所以a2=C9222(1)(2)令x=1,得a0=(2×13)9=1,令x=2,得a0+a1+a2+a3+…+a9=(2×23)9=1.所以a1+a2+a3+…+a9=(a0+a1+a2+…+a9)a0=2.【补偿训练】已知(12x+3x2)7=a0+a1x+a2x2+…+a13x13+a14x14.(1)求a0+a1+a2+…+a14.(2)求a1+a3+a5+…+a13.【解析】(1)令x=1,则a0+a1+a2+…+a14=27=128.①(2)令x=1,则a0a1+a2a3+…a13+a14=67.②①②得2(a1+a3+a5+…+a13)=2767=279808.所以a1+a3+a5+…+a13=139904.18.(12分)(2017·沈阳高二检测)已知10件不同产品中有4件是次品,现对它们进行一一测试,直至找出所有4件次品为止.(1)若恰在第5次测试,才测试到第一件次品,第十次才找到最后一件次品,则这样的不同测试方法数是多少?(2)若恰在第5次测试后,就找出了所有4件次品,则这样的不同测试方法数是多少?【解析】(1)先排前4次测试,只能取正品,有A64种不同测试方法,再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试,有C42·A22所以共有不同排法A64·A4(2)第5次测试恰为最后一件次品,另3件在前4次中出现,从而前4次有一件正品出现.所以共有不同测试方法A41·(C61·19.(12分)已知(x2x2)n(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10(1)求展开式中各项系数的和.(2)求展开式中含x

(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.【解析】由题意可知,第5项系数为:Cn4·(2)第3项系数为Cn2·(2)所以Cn4·(2)4=10Cn2(1)令x=1得各项系数的和为:(12)8=1.(2)通项为:Tk+1=C8k·(x)8k=C8k·(2)k·令8-k22k=所以展开式中含x32的项为T2=16(3)设第k+1项的系数绝对值最大,所以C8k-1·2k-1所以系数最大的项为T7=1792·1x由n=8知第5项二项式系数最大.T5=1120·1x20.(12分)把4位男售票员和4位女售票员平均分成4组,到4辆公共汽车里售票,如果同样两人在不同汽车上服务算作不同的情况.(1)有几种不同的分配方法?(2)每小组必须是一位男售票员和一位女售票员,有几种不同的分配方法?(3)男售票员和女售票员分别分组,有几种不同的分配方法?【解析】(1)男女合在一起共有8人,每个车上2人,可以分四个步骤完成,先安排2人上第一辆车,共有C82种,再安排第二辆车共有C62种,再安排第三辆车共有C42种,最后安排第四辆车共有C22种,这样不同的分配方法有(2)要求男女各1人,因此先把男售票员安排上车,共有A44种不同方法,同理,女售票员也有A44种方法,由分步乘法计数原理,男女各1人的不同分配方法为(3)男女分别分组,4位男售票员平分成两组共有C422=3种不同分法,4位女售票员平分成两组也有C422=3种不同分法,这样分组方法就有3×21.(12分)已知等比数列{an},首项a1是x+15x25的展开式中的常数项,公比q=(1)求Sn=a1+a2+…+an.(2)求Cn1S1+Cn2S2+…+【解析】(1)Tk+1=C5k(x)5k·15x2k=所以a1=C51·151由4m≥2m+8,m≤4,⇒m所以q=x24·C1616因为x≠1.所以Sn=a1+a2+…+an=a1·1-qn1-q=1·(2)Cn1S1+Cn2S2+Cn3S3=1-x1-xCn1+1-=11-x[(Cn1+Cn2+Cn3+…+Cnn)][xCn1+x=11-x[(2n1)(1+xCn1+x2Cn2+x3Cn3+…+xnCnn22.(12分)(2017·鹤岗高二检测)用0,1,2,3,4,5六个数字排成没有重复数字的6位数,分别有多少个?①0不在个位;②1与2相邻;③1与2不相邻;④0与1之间恰有两个数;⑤1不在个位;⑥偶数数字从左向右从小到大排列.【解析】①0不在个位,也不在首位,所以这两个位置就从其他5个元素选2个排列,剩下的位置不再受限,所以就全排列,有A5②1和2相邻,所以捆绑