多元函数微分学(共17页)

1、 多元函数微分学一、 本章提要基本概念多元函数，二元函数的定义域与几何图形，多元函数的极限与连续性，偏导数，二阶偏导数，混合偏导数，全微分，切平面，多元函数的极值，驻点，条件极值，方向导数，梯度基本方法二元函数微分法：利用定义求偏导数，利用一元函数微分法求偏导数，利用多元复合函数求导法则求偏导数隐函数微分法：拉格朗日乘数法定理混合偏导数与次序无关的条件，可微的充分条件，复合函数的偏导数，极值的必要条件，极值的充分条件二、要点解析问题 比较一元函数微分学与二元函数微分学基本概念的异同，说明二元函数在一点处极限存在、连续、可导、可微之间的关系解析 多元函数微分学的内容是与一元函数微分学相互对应的由

2、于从一元到二元会产生一些新的问题，而从二元到多元往往是形式上的类推，因此我们以二元函数为代表进行讨论如果我们把自变量看成一点，那么对于一元函数，点在区间上变化；对于二元函数，点将在一平面区域中变化这样，无论对一元、二元或多元函数都可以统一写成，它称为点函数利用点函数，我们可以把一元和多元函数的极限和连续统一表示成（）二元函数微分学与一元函数微分学相比，其根本区别在于自变量点的变化从一维区间发展成二维为区域在区间上的变化只能有左右两个方向；对区域来说，点的变化则可以有无限多个方向这就是研究二元函数所产生的一切新问题的根源例如，考察二元函数的极限，容易看出，如果先让再让，那么，同样，先让再让，也得

3、到，但是如果让沿直线而趋于，则有，它将随的不同而具有不同的值，因此极限不存在，从这里我们可以体会到，从一维跨入二维后情况会变得多么复杂又如，在一元函数中，我们知道函数在可导点处必定连续，但是对于二元函数来说，这一结论并不一定成立考察函数，同样 ，所以在点可导然而，我们已经看到极限不存在，当然在不连续多元可导函数与一元可导函数的这一重大差异可能使初学者感到诧异，其实仔细想一想是可以理解的因为偏导数实质上是一元函数在处关于的导数它的存在只保证了一元函数在点的连续同理，偏导数的存在保证了在点的连续，从几何意义来看，是一张曲面，为它与平面的交线，为它与平面的交线函数在（）处的可导，仅仅保证了上述两条交

4、线在（）处连续，当然不足以说明二元函数即曲面本身一定在（）处连续（）在一元函数中，可微与可导这两个概念是等价的但是对于二元函数来说，可微性要比可导性强，我们知道，二元函数的可导不能保证函数的连续，但若在可微，即全微分存在，那么有全增量的表达式其中当时，从而，因此函数在可微，那么它在必连续函数是否可微从定义本身可以检验，但不太方便然而我们有一个很简便的充分条件：若在不仅可导而且偏导数都连续，那么必在可微函数的偏导数是容易求得的，求出两个偏导数后在它们连续的点处，全微分立即可以写出：（）二元函数的极限、连续、偏导、可微关系图：问题如何求多元函数的偏导数？解析求多元函数的偏导数的方法，实质上就是一元

5、函数求导法例如，对求偏导，就是把其余自变量都暂时看成常量，从而函数就变成是的一元函数这时一元函数的所有求导公式和法则统统可以使用对于多元复合函数求导，在一些简单的情况，当然可以把它们先复合再求偏导数，但是当复合关系比较复杂时，先复合再求导往往繁杂易错如果复合关系中含有抽象函数，先复合的方法有时就行不通这时，复合函数的求导公式便显示了其优越性由于函数复合关系可以多种多样，在使用求导公式时应仔细分析，灵活运用例1 设求解 直接求偏导数 ，利用全微分求偏导数，所以例2 设求解 由复合函数求导法则，得，其中分别表示对的偏导数问题3 二元函数的极值是否一定在驻点取得？解析 不一定二元函数的极值还可能在偏

6、导数不存在的点取得例3说明函数在原点的偏导数不存在，但在原点取得极大值解 ，此极限不存在，所以在处不存在同理，此极限不存在，所以，在点处，不存在但函数，即在点取得极大值1问题4 在解决实际问题时，最值与极值的关系如何？无条件极值问题与有条件极值问题有何区别？如何用拉格朗日乘数法求极值？解析 在实际问题中，需要我们解决的往往是求给定函数在特定区域中的最大值或最小值最大、最小值是全局性概念，而极值却是局部性概念，它们有区别也有联系如果连续函数的最大、最小值在区域内部取得，那么它一定就是此函数的极大、极小值又若函数在区域内可导，那么它一定在驻点处取得由于从实际问题建立的函数往往都是连续可导函数，而且

7、最大（最小）值的存在性是显然的因此，求最大、最小值的步骤通常可简化为三步：（1） 根据实际问题建立函数关系，确定定义域；（2） 求驻点；（3） 结合实际意义判定最大、最小值从实际问题所归纳的极值问题通常是条件极值条件极值和无条件极值是两个不同的概念例如，二元函数的极小值（无条件极值）显然在点取得，其值为零但是显然不是此函数的约束条件下的条件极小值点事实上根本不满足约束条件容易算出，这个条件极小值在点处取得，其值为，从几何上来看，它们的差异是十分明显的无条件极小值是曲面所有竖坐标中的最小者，如图所示；而条件极小值是曲面对应于平面上，即空间曲面上各点的竖坐标中最小者我们所说的把条件极值化成无条件极

8、值来处理，并不是化成原来函数的无条件极值，而是代入条件后化成减少了自变量的新函数的无条件极值例如把条件代入函数，便将原来的条件极值化成了一元函数的无条件极值用拉格朗日乘数法求出的点可能是极值点，到底是否为极值点还是要用极值存在的充分条件或其他方法判别但是，若讨论的目标函数是从实际问题中得来，且实际问题确有其值，通过拉格朗日乘数法求得的可能极值点只有一个，则此点就是极值点，无需再判断例4 求在约束条件下的极值解 作辅助函数，则有，解方程组得现在判断是否为条件极值点：由于问题的实质是求旋转抛物面与平面的交线，即开口向上的抛物线的极值，所以存在极小值，且在唯一驻点处取得极小值问题5 方向导数和梯度对

9、于研究函数有何意义？解析 二元函数在点处的方向导数刻画了函数在这点当自变量沿着射线变化时的变化率，梯度的方向则是函数在点处方向导数最大的射线方向因此沿梯度方向也是函数值增加最快的方向，所以梯度对寻找函数的最大值很有帮助例5 求函数在点处函数值下降最快的方向解 负梯度方向是函数值下降最快的方向，因 ，故所求方向为三、例题精选例6 求函数的定义域，并作出定义域图形解 要使函数有意义，需满足条件即定义域如图阴影部分所示例7 设求 解一 因为 所以 ，所解二 由复合函数求导法则得，所以例8 设，其中为可微函数，且，验证证 这是带有抽象符号的函数，其复合关系如图所示，同理有，例设，其中由方程所确定，求解

10、 对求偏导，并注意到是由方程所确定的的函数，得下面求，由得，代入得，于是例10求曲面平行于平面的切平面方程解析 此题的关键是找出切点如果平面上的切点为，则曲面过该点的法向量可由表示要使所求的切平面与已知平面平行，一定有切平面的法向量与已知平面的法向量对应坐标成比例于是切点的坐标可找出解 设曲面平行于已知平面的切平面与曲面相切于，故该切平面的法向量过的切平面方程为，该切平面与已知平面平行，所以，又由于在曲面上，所以，联立与式，解得 将这两组值分别代入，最后得到切平面方程为及例11求函数的极值解 第一步：由极值的必要条件，求出所有的驻点解出 第二步：由二元函数极值的充分条件判断这两个驻点是否为极值

11、点，为了简明列表如下：结论是极值点，且为极大值点不是极大值点因此，函数的极大值为例12 求曲线与直线之间的最短距离解一 切线法若曲线上一点到已知直线的距离最短，则过该点平行与已知直线的直线必与曲线相切；反之曲线上在该点处的切线必平行与已知直线据此，我们先求的导数令（已知直线上的斜率为1），得，这时，故曲线上点到直线的距离最短，其值为解二 代入条件法（利用无条件极值求解）设为曲线上任意一点，则点到已知直线的距离为，将代入上式得，易知，故令，则，由，得，这是函数在内唯一驻点，由问题本身可知，距离的最小值一定存在于是由式得所求的最短距离为解三 拉格朗日乘数法设为曲线上任意一点，则该点到直线的距离为，

12、令，则，显然，在上式中，即引入辅导函数 ，解方程组，得因为，故，代入，得，于是是唯一可能的极值点，由问题本身可知，距离的最小值一定存在，故曲线上点到已知直线的距离最短，其值为四、 练习题1判断正误 表达式成立； （ ）解析 表示在对的偏导数；表示对的偏导数在处的值；表示先固定后，函数在处的导数由偏导数定义及偏导数意义可知，三个表达式是相等的 若在处偏导数存在，则在处一定可微；（ ）解析 由可微的充分条件知，只有在点处的两个偏导数存在且连续时，函数在该点一定可微例如在（0，0）处偏导数存在，但不可微 若为的极值点，则一定为驻点； （ ）解析 偏导数不存在的点也可能是极值点例如 在（0，0）处取得

13、极小值，但在（0，0）处偏导数不存在，不是驻点就是函数在处沿轴方向的方向导数 （ ）解析 沿x轴方向的方向导数 2选择题 设，则下列式中正确的是（ C ）； ； ； ； 解析 是关于，的对称函数，故设，则（ D ）； ； ； ； 解析 ，已知，则（ C ）； ； ； 解析 设 ，则 =变换为 ， ，所以 =函数的驻点为（ B ）；和； 和；和；和解析 求两个偏导数 与所以驻点为和函数的极值点为（ D ）； ； ；不存在解析 求两个偏导数 得驻点为（0，0），又因为，则，所以，驻点不是极值点，极值点不存在3填空题 的定义域为 ；解 要使函数有意义，应满足0，即 已知，则 ；解 设 ，则，关于的偏

14、导数 = 设，则；解 设 ，则 ，所以 ， ，从而 = 曲面在点处的切平面方程为 ；解 令 ，则 ，曲面的切平面方程为 ，即 设，则 ；解一 令，则 ， ，所以 =解二 设，两边对求偏导数，有+=x ， 即 =4解答题设可微函数求；解 偏导数为 =+=+设，且可微，证明解 设 ，则，从而 =， =，则 =0，所以，原结论成立 设，其中为可微函数，求解 令=，设，则 =，从而 =，=，所以 在曲线上求一点，使其在该点的切线平行与平面，并写出切线方程；解 设所求点为（，），=1，=2，=3，故切线方程为 ，由于切线与平面平行，切线的方向向量=1，2，3与平面的法向量=1，2，1垂直，有=1，2，3·1，2，1=1+4+3=0，解方程，得 =或，当=时，切点为（，1，），