985院校优秀本科论文--马科维茨的均值—方差模型

1、【摘要】在当今的市场中竞争巳经越来越激烈，很多企业纷纷在寻找新方法以降低经营风险，寻求更加稳 定的收益方法。在中国随着股累交易发展的不断完善，各企业开始从事股累投资的理念逐渐显现出成熟. 在股市投资中组合的股票投资作为一种有效的方法，在耿类很多的国家中股票投资市场巳经占据了重要的 一席并有了非常广泛的应用。虽然目前中国股票市场发展还不長很完善，但長国外那些经典的股票投资组 合理论和企业投资策略可以给与很大的借签作用.所以这一系列的问題就需要我们自己想出更加实用的方 法来解决，为我国企业在股票投资中提供更加有力的帮助。本文的研究容：本文通过研究股票的研究背景及意义，深入研习马科维茨的投资组合理论

2、，通过马 科维茨的均值一方差模型来探讨投资组合的风险性及收益，并优化均值一方差模型便得投资组合更为合理 以增加投资者的净收入.【关键词】：企业股累投资组合；投资组合的风险收益；马科维茨的均值一方差模型引言作为证券投资非常重要的一个投资容，中国股票投资市场已经不知不觉度过了十几个岁 月。这阶段股票投资在中国股票市场迅速发展，上市的股票数量从原来的十几只飞跃到现在 的一两千只，这种发展速度已经超过了好多国家的速度。在日常生活里股票投资早就变成中 国人民闲聊时的话题。利用股票投资増加收入已经成为投资市场的重要手段。但是大家要清 醒的认识到要从股票投资上赚钱并非一件很轻松的事情，本文旨在为股票投资者提

3、供一些帮 助和参考。1.1研究背景当今的全球经济市场呈现岀高速发展的经济全球化和逐渐一体化趋势，给我国企业带来 了快速发展的大好机会，同时中国的市场竞争也随之愈演愈烈。随着股票投资在全球围的不 断推广和普及，中国的股票投资市场也慢漫的变得更加完善。在中国改革开放初期，国股票 市场开始建立和开始发展，经过了十几年来的努力不断发展，已经超过或达到很多国家的发 展水平，获得了全世矚目的优异成就。在1999年9月，国家废除了国有控股公司、国有企 业与上市公司不能购买流通股的条令，为我国股票市场给企业投资的机会更加成熟。很多企业尝试通过投资股票来获得更多的收入，慢慢的股票市场变成很多企业投资的对 象。但

4、是由于中国股票投资市场发展并不成熟正面临着转型阶段的发展，目前还没有相对平 稳的运行规律，所以还是有比较多的问題。近年来，我国的股票市场行情不容乐观，股票在 融资方面的能力减弱，使得投资者的投资风险加大。不过国家解除国有控股公司、国有企业 和上市公司购买流通股的同时，还特别规定了它们在购买股票后的半年不得将股票出售，这 虽然能限制一些企业投机取巧的不良投资行为，但是使得企业在投资股票时的风险加大，还 有就是同时带来投资管理方面的一些问题。在对股票的投资过程当中，我们要知道股票投资的决策因素不但有量化投资的收益和风 险还有科学性的评估等。在西方很多国家股票投资组合作为一种很有效的投资方法已经得到

5、 了很广泛的推广。投资组合理论为西方资本主义国家的繁荣昌盛和国家平稳发展起到了非常 重要的作用。有数据表明：西方资本主义国家投身于股票投资市场的人差不多达到了 7/10 左右，另外统计显示大约33%的投资者都是用这个理论来科学的投资。关于股票投资组合 的理论有很多，其中包括马科维茨的均值一方差理论、套利定价理论和期权定价理论等。本 文将通过运用马科维茨均值一方差理论来解决股票投资组合问题中的风险收益问题。1.2研究意义股票作为一种投资行为难免会有一定的风险，由此利用合理的股票投资组合方案来降低 投资中的风险是非常重要的。在漫长的历史长河中，股票投资组合理论经过漫长的发展和不 断积累，使得它有了

6、非常丰富的容。股票投资组合理论作为股票投资市场的工具为企业投资 时的前期分析给与了有力的帮助。投资者在应用时往往受到限制，因为不能把理论和现实投 资方案很好的联系起来。因此本文将通过优化股票投资组合理论，使得股票投资组合能够更 真实的反映出投资者股票投资的过程。本篇文章主要是在已有的基础上对马科维茨投资理论模型的运用和着重研究企业投资 者如何对股票投资方案优化的问题。从股票投资的不同角度而言，企业进军股票投资的势头 已经成为必然，针对不同规模企业的现状不同和不同的投资需求，就要求做岀不同的并且可 行的投资方案；另外对于控制股票投资风险的能力依然有着很多的问题，特别是企业，它不 同于其它投资个体

7、，投资规模往往大很多。因此怎样才能使得股票投资组合最优化是一个具 有研究价值的现实问题。2.1股票投资组合理论传统的股票投资理论主要是建立在定性和经验分析的基础上，包括基本分析方面和技术 分析方面。它认为股票价格的变动由外部环境变化决定，或部因素影响，没有涉及对整个股 市变化规律和投资者影响的研究。现代股票投资组合理论一般都是建立在有效市场假说的基础之上，有效市场假说是最 早研究整个股票市场有效性及其变化规律的系统理论，通过投资者的理性，信息、价格、投 资者之间的反应机制，以及收益率的变化规律等描述了一个均衡、独立、随机的股票市场。 有效市场假说认为，有效市场的股票价格能全方面的体现全部信息，

8、特别对新信息的反应是 快速而精准的。市场竞争是股票价格均平从这个水平到另一个水平的过渡，认为与新信息相 应的股票价格变动是随机的。股票投资组合理论是在理性投资者和有效市场假说基础上，通过定量分析风险和收益 间的关系建立起来的有效投资组合，用最小的风险可能来收获最大的利益的方法。2. 2均值一方差模型1952年，马科维茨创建了均值一方差模型并提出了一系列关于股票有效投资组合的理论。 这一模型是通过二维规划的方法，其中股票投资的预期收益是用期望收益率来度量，投资风 险是用收益率的方差来度量。马科维茨给出了有效投资组合的概念：在相同的风险水平下, 有效投资组合有最高的收益。马科维茨均值一方差模型通过

9、构建有效投资组合来分散非系统 风险，并通过收益、收益方差、收益间的协方差揭示了股票投资收益和风险是成正比的关系。 经典的马科维茨均值一方差模型的假设：（1）股票收益率服从联合正态分布。（2）信息成本为0,每个投资者都事先掌握投资收益率分布的充分信息。（3）投资者都是理性的，他们追求一定收益率水平下风险的最小化或一定风险水平下收益 率的最大化。（4）市场无摩擦，无税收和交易成本。（5）股票可以任意分割。（6）允许投资者卖空。在上述条件成立的情况下，通过计算之后马科维茨总结出投资者选择投资组合的有效边界。 下面，我们对有效投资组合的过程进行推算。假设现在有"种股票风险资产，对于在以后预定

10、时期的期望收益率向量为 X=（X1,X2,.,X/l）r,同期收益率的协方差矩阵为£ = （%），网。假设这"种风险资产的 投资组合向量为W =（吗，叫,叫），叫（i = l,2,.,n）是第j个风险资产的投资权重， 为二叫=1。经过计算，得到该投资组合在以后预定时期的期望收益率，和在该时期的收益 率方差b为r = w1 Xb = W1 X w依据之前的假设，在不变的情况下，使o得到最小的组合称作有效投资组合。当r等于乙 时，由以下的模型可以得到使o最小的组合方式。 1 rvmin -w E w2SJ. W7 X =w1 d = 1其中=1/通过拉格朗日乘数法来计算上述模型

11、优化问題可以求出L = *w1w+&(1 - w，) + 易匕,wTX)其中，入和人是拉格朗日乘子。由(2-1)式求出最优解的一阶条件为(2-1)Lw = S w _ 入 =0* L- = 1_ w = 0 勺厶齐-"x = o(2-2)从(2-2)式中第1式，求出最优解为宀工"(入d + 导)(2-3)将(2-3)式代入(2-2)式的第2式和第3式中，解得1 = dT 工"d + 创 £ - X =Aa + 导(2-4)rp =AxXTXid+A2XTX'1 X =卯?+九c(2-5)其中，a =4 = 1：' X, c = X

12、P X。联立方程(2-4)和(25),解得A =(c-rpb)/(ac-b2).血=(rpa-b)/(ac-b2)(2-6)将(2-6)式代入(2-3)式，求出投资组合的最优解为ac-bac-b经过以上的推论，求解得出马科维茨均值-方差模型的有效投资组合结果。通过上面的介绍 我们知道马科维茨均值一方差模型是一个对未来期的有效投资组合的预测，主要根据未来期 的期望收益率和收益率协方差矩阵。其实，我们在应用的时候所用的数据都是一些历史数据 的协方差矩阵，而这些股票收益率的历史数据得到的协方差矩阵就称为历史协方差矩阵。 本文正是在历史协方差矩阵的基础上根据马科维茨均值-方差模型研究投资组合策略。现引

13、 入，预测期：即用于预测的历史数据所在的时期，投资期：即进行投资的未来期。马科维茨 投资组合在投资期的风险就是该投资组合的经济效果，本文称作马科维茨投资组合风险。设 马科维茨投资组合为v/,投资期中收益率的真正协方差矩阵为为吋,，则马科维茨投资组 合风险为2. 3马科维茨投资组合风险的计算方法设马科维茨投资组合为闪，投资期中收益率为2,收益率的均值为”，收益率的协方差矩阵是则“了的计算方法是crf= £(/-/)(/;-r,)根据马科维茨投资组合风险的定义，马科维茨投资组合风险为J严；通过上述定义计算马科维茨投资组合的风险是最直接和准确的计算方法，但是收益率的 协方差矩阵不能直接得到

14、，所以这个方法在实际中的可行性不高。因为马科维茨投 资组合风险不能直接计算，所以通常使用样本协方差矩阵来估计马科维茨投资组合的风险。 假设源于斥_怦=1,2，,n)的样本数据有一斤(i = l,2,.，霍加= 1,2,.,T),样本的协 方差矩阵是场：-，则场等于1 T一1加依据该样本协方差矩阵计算的马科维茨投资组合的风险为ij因为马科维茨投资组合不是通过投资期样本协方差矩阵建立的，所以可以求出) = !；偲川=2衍艸；(2 7)LjiJ其中表示均值。由(2-7)式可以知道，依捋样本协方差矩阵计算得到的风险是马 科维茨投资组合风险的无偏估计量。以上说明，依据样本协方差矩阵估计马科维茨投资组合

15、风险是一种非常可行的方法。3.1实例分析这有三只股票分别是中国移动、中国联通、中国电信的一些数据如下表(表1)所示, 对它们进行马科维茨投资组合模型运算并运行MATLAB程序得到最优投资组合方案。表1相关的股票数掲类别收益率均值(%)收益率标准差()样本协方差矩阵(*0. 0001)中国移动0. 06642. 595. 232. 783. 24中国联通0. 03652. 252. 864.591.78中国电信0. 02351.751.821.711.89马科维茨投资组合模型为:min 或 m< max E(rp) = X" RX： = 1.r-1R =，其中，R严E(rJ为第，

16、种资产的预期收益率；X=(X1,X2,.,X)r是投资组合的权重向量；工= (%),“是"种资产的协方差矩阵； E(G)是投资组合的期望回报率加是投资组合的方差。3. 1.1已知投资组合权重计算收益与风险在投资组合权重相同的情况下，在MATLAB中可以调用portstats函数计算收益与风险 公式为：(r, p)二portstats ( ep, e, w)。其中r和p为输出变量ep、e、w为输入变呈。(理投资 组合风险；p%投资组合预期收益；ep%投资组合预期收益率；e%投资组合协方差矩阵；曲投 资组合权重) 相应的MATLAB代码为：ep=0. 0664,0. 0365.0. 02

17、35/100；e=5. 23,2. 7&3. 24；2.86,4. 59,1.78；1.82,1.74.1.891/10000；w=ones(l,3)/3；r,p二portstats(ep,etw)以上程序运行结果：风险为0.0170,收益率为0. 0421%.3. 2最优投资组合的确定在不知道权重的时候，我们可以通过最小风险的组合计算得到相关权重。马科维茨投资 组合模型是带约束的二次优化问题，当期望收益一定的时候有唯一的方差最小解。这种类型 的问题在MATLAB中用frontcon函数解答。页脚front con函数的计算公式为:minb； = XX< maxE() = XRn

18、Xj = 1mins.t.<XTR = l, izT1-1(r, p,w) =frontcon (ep, e)o 相应的matlab代码为：ep= 0.0664.0. 0365,0. 02351/100；e=5. 23.2. 78.3. 24；2. 86,4.59丄 78；1.82J. 74 J. 891/10000；w=ones(1.3)/3；r.p.w=frontcon(ep,e)plot(r.p)；grid on计算结果如下表2所示：表2 MATLAB程序计算结果表中国移动权重中国联通权重中国电信权重风险收益（%）收益风险比00. 04390. 95610.01370. 02407

19、0.017570. 08640. 12060. 79300.01430. 028770. 020120. 19370. 12830. 67800.01500. 033480. 022320. 30100. 13610. 56300.01590. 038180. 024010. 40380. 14380. 44790.01680. 042880. 026590.51560. 15150. 33290.01790. 047590. 026590. 62280. 15930.21790.01900. 052290. 027520. 73010. 16700. 10290. 02020. 056990

20、. 028210. 84270. 157300. 02140. 061700. 028831.0000()()0. 02290. 066400. 02900上图1表示凤险与收益的关系图(注:纵坐标表示收益，横坐标表示凤险)假如投资组合的权重有上下限的话，通过frontcon函数中的assetbound参数来设置, 设投资组合权重不高于55%。相应修改后的mat lab代码为：ep= 0. 0664 0. 0365.0. 0235/100；e=5. 23,2. 7&3 24；2. 86,4.59丄 78；I. 82.1.74,1. 891/10000；w=ones(l,3)/3；assetbound二0.0.0；0. 55.0. 55.0. 55；r,p,w=frontcon(epte. . .assetbound)plot(r.p)；grid on相应的计算结果如表3所示。表3MATLAB程序计算结果表中国移动权重中国联通权重中国电信权重风险收益(%)收益风险比0. 08920. 36080. 55000.01530. 032020. 020930. 16700. 28300. 55000.01540. 034340. 022300. 24480. 20520. 55000.01560. 036670. 023510.31950. 1