电磁场课件-电磁场教案-第1章-2013

1、章序名称 第1章 电磁场的数学物理基础授课学时7学时教材分析(1) 首先阐述电磁场物理模型的构成，概括了源量、场量以及媒质电磁性能参数等物理概念；(2) 其次，基于电磁场是一种矢量场，重点讨论矢量分析和场论的数学基础；(3) 通过数学和物理概念的结合，进一步深化对电磁感应定律和全电流概念的理解，从数学和物理意义上描述麦克斯韦方程组。学生分析矢量分析的概念虽然在高等数学中已经涉及，但工科的学生很少有机会系统的学习矢量分析这门课程，本章主要从数学和物理相结合的角度来分析宏观电磁理论。教学目标知识目标：1掌握电磁场物理模型构成，理解源量、场量以及媒质电磁性能参数等物理概念。2掌握矢量分析的方法。3理

2、解麦克斯韦方程组在数学和物理意义上的描述。能力目标：1培养学生建立电磁场的物理概念。2培养学生从数学和物理角度分析电磁场的能力。教学重点(1) 电磁场的物理模型(2) 矢量分析(3) 场论(4) 麦克斯韦方程组教学难点(1) 矢量分析(2) 场论(3) 麦克斯韦方程组教学手段多媒体（图像、动画）教学方法启发、讨论、研究教学用具章序名称1.1 电磁场物理模型的构成授课学时7学时教材分析(4) 首先阐述电磁场物理模型的构成，概括了源量、场量以及媒质电磁性能参数等物理概念；(5) 其次，基于电磁场是一种矢量场，重点讨论矢量分析和场论的数学基础；(6) 通过数学和物理概念的结合，进一步深化对电磁感应定

3、律和全电流概念的理解，从数学和物理意义上描述麦克斯韦方程组。学生分析矢量分析的概念虽然在高等数学中已经涉及，但工科的学生很少有机会系统的学习矢量分析这门课程，本章主要从数学和物理相结合的角度来分析宏观电磁理论。教学目标知识目标：1掌握电磁场物理模型构成，理解源量、场量以及媒质电磁性能参数等物理概念。2掌握矢量分析的方法。3理解麦克斯韦方程组在数学和物理意义上的描述。能力目标：1培养学生建立电磁场的物理概念。 2培养学生从数学和物理角度分析电磁场的能力。教学重点(1) 电磁场的物理模型(2) 矢量分析(3) 场论(4) 麦克斯韦方程组教学难点(1) 矢量分析(2) 场论 (3) 麦克斯韦方程组教

4、学手段多媒体（图像、动画）教学方法启发、讨论、研究教学用具教学内容提要备 注1.1电磁场的物理模型根据电磁现象和过程分析的物理模型构造的本质，可建立如下电磁场分析与电路分析的物理模型之间的对比关系。电路分析： 实际的电工、 理想化假设 电路模型(一种具体的电子技术装置 物理模型)图1-1电路分析模型电磁场分析：实际电磁装置中的电磁 理想化假设 电磁场的物理模型 现象和过程 图1-2 电磁场分析模型以上电磁场与电路分析的求解过程均可归结为(1) 给出与所分析的物理模型对应的基本规律性的数学描述（泛定方程）及其定解条件，即构造相应的数学模型；(2) 运用相应的分析计算方法；(3

5、) 解出数学模型中的待求物理量，即得所分析问题的确定解。1.1.1 电磁场的基本物理量源量和场量 电磁场物理模型中的基本物理量可分为源量和场量两大类。 源量激励（输入） 场量响应（输出）10分钟注意：要让学生从比较熟悉的电路入手，类比建立电磁场的物理模型。30分钟电磁场模型中的源量：电荷和电流电磁场模型中的基本场量：电场强度E和磁感应强度B在一般情况下，电磁场的源量和场量分布均随所在空间的位置和时间而变化，即可以表述为空间坐标和时间的函数，如两个基本场量的数学函数式可分别记为、。1. 源量(电荷)q(r¢,t) 电荷是物质基本属性之一。 1897年英国科学家汤姆逊(J.J.

6、Thomson)在实验中发现了电子。 19071913年间，美国科学家密立根(R.A.Miliken)通过油滴实验，精确测定电子电荷的量值为 e =1.602 177 33×10-19 (单位：C)确认了电荷量的量子化概念。换句话说，e 是最小的电荷量，而任何带电粒子所带电荷都是e 的整数倍。宏观分析时，场源电荷常是数以亿计的电子电荷e的组合，故可不考虑其量子化的事实，而认为电荷量q可任意连续取值。类同于由物质密度 r 给定物质的质量m一样，现引入关于电荷的平滑的平均密度函数概念，即以电荷密度分布的方式来给定带电体的电荷量。理想化实际带电系统的电荷分布形态为如下四种形式：（1） 点电

7、荷 q(r¢,t)：（2） 电荷体密度 r(r¢,t)：（3） 电荷面密度 s(r¢,t)： （4） 电荷线密度 t(r¢,t)：2. 源量(电流) i (t)源于电荷定向运动的电流 i 定义为 可见，电流i为一积分量，不是点函数。鉴于电磁场空间中各点电磁现象和过程变化规律性分析的需要， 必须引入对应于源量i(t)分布的点函数形式的描述面电流密度(简称电流密度)J(r,t),其量值为 (单位: A/m2)其方向习惯上定义为正电荷运动的方向。 3. 场量(电场强度)E 1785年法国物理学家库仑（C.A.Coulomb）定量的研究了电场对静止电荷的作用力：

8、 (单位：N/C或V/m)要求试体电荷携带的电荷量必须小到不至于影响被研究的电场。电场强度即单位电荷受到的电场力。电场不只存在于静止电荷的周围空间，在通有电流的导体中，在由交变电流激励的电磁装置的周围空间内都存在着电场。对于电场问题，研究和分析的首要任务是在给定源量的作用下求其电场强度E（r,t）随空间和时间变化的规律性。4. 场量(磁通密度)B磁通密度也称为磁感应强度是用来描述运动电荷受到的磁场力，其值等于单位运动电荷以单位速度在与磁场相垂直方向上运动时所受到的磁场力。 (单位：T或Wb/ m2)上式仅表明当B的方向与运动电荷速度v的方向相互垂直时B的数量关系。一般情况下，B的数值和方向应满

9、足下式的关系对于导体内电流产生的磁场力可以表示为：上式可以表述为元电流Idl在磁场中受到的力。因为电流 导线内以速度v运动的元电荷dq，在dt时间内对应的元位移为 因此 同理，磁场也不只存在于磁铁或恒定电流的周围空间，也存在于电磁波中，存在于由交变电流激励的电磁装置的周围空间内。因此，对于广泛的磁场问题，也将首先聚焦于场分布，即磁感应强度B（r,t）随空间和时间变化规律的分析。1.1.2 电磁场中的媒质及其电磁性能参数在电磁场源量的作用下，电磁场物理模型所对应的各种电气装置中的电磁现象，本质上将取决于构成装置和场域的各种媒质的几何结构及其电磁性能。在本课程中，主要研究宏观电磁现象，即研究媒质的

10、微观结构在与电磁场相互作用下所表征的宏观统计平均效应。1. 电磁性能参数采用若干个宏观等效的性能参数来描述媒质的电磁性能1） 电导率：反映了材料的导电性能2） 磁导率：反映了材料宏观的磁化性能3） 介电常数：材料在电场作用下的极化性能2. 媒质的本构关系方程电路中的两个约束：基尔霍夫定律、欧姆定律电磁场中的两个约束：宏观上的麦克斯韦方程组、材料（媒质上的几何结构及其电磁性能）1） 针对电介质：引入电通量面密度（电位移矢量）D（库/米2（C/m2）（各向同性媒质中）2） 针对磁介质：引入磁场强度矢量H（安/米（A/m）3） 针对导电媒质：引入传导电流密度矢量（A/m2）（导电媒质中的电流密度）l

11、 对于电磁场运动状态的描述，在数学上可以归结为研究空间矢量函数，即电场强度E、磁通密度B、电通密度D和磁场强度H随时间和空间变化的规律。l 也就是围绕源量、场量、媒质本构关系展开。10分钟1.2 矢量分析电磁场是一种矢量场，矢量分析是学习、研究电磁场理论及其应用的基本数学工具之一。1.2.1 矢量代数 标量和矢量一 标量和矢量1. 标量：只有大小，没有方向的物理量(电流I，电压U、电荷量Q、能量W等）2. 矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度）二 矢量的表示1. 矢量的代数表示矢量可表示为： 其中为模值，表征矢量的大小；为单位矢量，表征矢量的方向。2. 矢量的几

12、何表示：用一条有方向的线段来表示3. 矢量用坐标分量表示zxy (单位矢量)10分钟注意：该部分尽量采用图形形式说明，增强学生的空间想象能力。 矢量的运算一 矢量的加法和减法说明：1. 矢量的加法符合交换律和结合律： 2. 矢量相加和相减可用平行四边形法则求解： 二 矢量的乘法1. 矢量与标量相乘标量与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。2. 矢量的标积（点积）结果是标量直角坐标系下的点积为：说明：矢量的点积符合交换律和分配律：3. 矢量的矢积（叉积）结果是失量大小：平行四边形面积；方向：右手定则获得。说明：矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律： 恒等式：20分钟直角坐标系下的叉

13、积为：4. 矢量的积分1）环量积分（线积分）定义 （安培环路定理：磁场强度矢量的环量等于封闭曲面截得的面积上的电流和）。2）通量积分（面积分）定义 （电磁测量中的磁通：磁场中穿过任意有向曲面的磁感应强度总量）。1.2.2 三种常用的正交坐标系 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交线的交点来确定。三条正交线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交坐标系；三条正交线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。 直角坐标系坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 线元矢量 面元矢量 体积元 10分钟

14、 圆柱坐标系 坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 线元矢量 面元矢量 体积元 圆柱坐标系下矢量运算方法：加减：标积：矢积： 球面坐标系 坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 10分钟10分钟线元矢量 面元矢量 体积元 球面坐标系下矢量运算： 加减：标积：矢积： 坐标单位矢量之间的关系 直角坐标与圆柱坐标系00001可以作为作业留给学生推导。圆柱坐标与球坐标系00010直角坐标与球坐标系0三种坐标系有不同适用范围：1、直角坐标系适用于场呈面对称分布的问题求解，如无限大面电荷分布产生电场分布。2、柱面坐标系适用于场呈轴对称分布的问题求解，如无限长线电流产生磁场分布。3、球面坐

15、标系适用于场呈点对称分布的问题求解，如点电荷产生电场分布。1.3 场论1.3.1 场的基本概念 1. 场的定义确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。2. 标量场和矢量场1）如果物理量是标量，称该场为标量场。 例如：温度场、电位场、高度场等。（室内的温度） 2）如果物理量是矢量，称该场为矢量场。 例如：流速场、重力场、电场、磁场等。3. 静态场和动态场如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。静态标量场和矢量场可分别表示为： 时变标量场和矢量场可分别表示为： 1.3.2 标量场的梯度 一 标量场的等值面标量场空间中，由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。即

16、若标量函数为 ，则等值面方程为： 二 方向导数1. 方向导数定义：方向导数表征标量场空间中，某点处场值沿特定方向变化的规律。方向导数与选取的考察方向有关。 30分钟注意：该部分尽量采用图形和动画形式讲解，提高学生对场的理解。2. 方向导数的计算：式中： 分别为与x,y,z坐标轴的夹角。 P点沿的方向余弦。 3. 方向导数物理意义：，标量场在P处沿方向增加率； ，标量场在P处沿方向减小率； ，标量场在P处沿方向为等值面方向（无改变） 三 标量场的梯度1. 梯度的定义：定义： 为标量场的梯度· 标量场的梯度为矢量，且是坐标位置的函数；2. 梯度的计算：1）直角坐标系： （nabula）为

17、矢量微分算子2）柱面坐标系：3）球面坐标系：4）梯度的其他运算相关公式：式中：为常数； 为坐标变量函数。3. 梯度的含义：1）标量场某点的梯度的幅值是过这一点所有方向导数的幅值中最大的2）标量场某点梯度的方向垂直于该点所在的等值面，方向为法线方向，是标量场的值增加最快的方向；3）标量场在给定点P沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向投影梯度的运算： 例题：设一标量点函数描述了空间标量场。试求： (1)该点函数在点P(1，1，1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量； (2)求该点函数沿单位矢量 方向的方向导数，并以点P(1，1，1)处该方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。1.3.3

18、 矢量场的通量与散度 一 矢量线（力线）· 矢量线的疏密表征矢量场的大小· 矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向二 矢量场的通量1. 通量的定义为定量描述矢量场的大小引入了通量的概念：若矢量场分布于空间中，在空间中存在任意曲面S，则定义：为矢量沿有向曲面 S 的通量。 若S 为闭合曲面 物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。 说明：1) 面元矢量定义：面积很小的有向曲面。 ：面元面积，为微分量，无限小 ：面元法线方向，垂直于面元平面。 2) 面元法向的确定方法： 对非闭合曲面：由曲面边线绕向按右手螺旋法则确定； 对闭合曲面：闭合面外法线方向50分钟2. 通过闭合

19、面S的通量的物理意义 · 若，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发出矢量线的正源；· 若，有净的矢量线进入，闭合面内有汇集矢量线的负源；· 若，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内无源，或正源负源代数和为0。三 矢量场的散度1. 引入散度的意义是为考察通量“源”在场中各点的分布情况及其强弱程度。例如：有一个喷泉，做一个包围这一个喷泉的闭合曲面，则通过这一封闭曲面的通量是已知的，如果封闭曲面所限定的体积不断减小，当时，则收缩为“源”点，即描述了矢量场给定点的通量密度。2. 散度的定义在场空间中任意点M 处作一个闭合曲面，所围的体积为，则定义场矢量在M 点处

20、的散度为：即流出单位体积元封闭面的通量（通量的体密度）。3. 散度的物理意义· 矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性(体密度)；· 矢量场的散度是标量；· 矢量场的散度是空间坐标的函数；· 矢量场的散度值表征空间中某点处通量源的密度。4. 散度的计算· 直角坐标系：· 柱面坐标系：· 球面坐标系： · 散度运算相关公式：四 散度定理（矢量场的高斯定理）散度定理是矢量场中体积分与面积分之间的一个变换关系。 （S为包含体积V的外表面）好处：1. 在数学上，应用散度定理可以将矢量函数的面积分转化为标量函数的体积分，

21、或反之。2. 物理上，散度定理建立了某一空间中的场与包围该空间的边界场之间的关系。1.3.4 矢量场的环流与旋度一 矢量的环量1. 涡旋源例1：脸盆盛满水，用带翅的筷子在水中旋转，水会旋转例2：一根通电导线周围形成的磁场2. 环量的定义在场矢量 空间中，取一有向闭合路径 ，则称 沿 积分的结果称为矢量 沿 的环流。即：式中，线元矢量：长度趋近于0，方向沿路径切线方向。 3.环量的意义若矢量场环量不为零，则矢量场中存在产生矢量场的漩涡源。但是：1） 沿不同方向得到的环量是相同的，仅靠安培环路定理无法描述矢量场中任意一点的涡旋的强度情况。2） 能否定义一个类似散度的量来描述涡旋源的强度？二 矢量的

22、旋度1. 环流面密度：空间某点M处单位面元边界闭合曲线的环流。 称为矢量场 在M点处沿 方向的漩涡源密度。环流面密度大小与所选取的单位面元方向 有关。2. 旋度：矢量场在M点的旋度为该点处环流面密度最大时对应的矢量，模值等于M点处最大环流面密度，方向为环流密度最大的方向，表示为 ，即：式中： 表示矢量场旋度的方向；50分钟3. 旋度的物理意义：· 矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数 · 矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度 · 若，则该矢量场称为有散场，r为源密度；若处处成立，则该矢量场称为无散场4. 旋度的计算：· 直角坐标系：

23、3; 柱面坐标系：· 球面坐标系：· 旋度计算相关公式： 5. 散度和旋度比较： 三 斯托克斯定理散度定理是矢量场中面积分与线积分之间的一个变换关系。 （S为围线l所包围的面积；dS方向与dl的方向成右手螺旋关系）好处：1. 在数学上，应用斯托克斯定理可以将矢量旋度的面积分转化为该矢量的线积分，或反之。3. 物理上，斯托克斯建立了场域中某一区域的场与该区域边界上场量之间的关系。1.3.5 无旋场与无散场一 无旋场若矢量场在某区域V内，处处，但在某些位置或整个空间内，有，则称在该区域V内，场为无旋场。重要性质：结论：无旋场场矢量沿任何闭合路径的环流等于零(无漩涡源)。无旋场的

24、旋度始终为0，可引入标量辅助函数表征矢量场，即例如：静电场二 无散场若矢量场在某区域V内，处处，但在某些位置或整个空间内，有 ，则称在该区域V内，场 为无源有旋场。重要性质：结论：无散场通过任意闭合曲面的通量等于零（无散度源）。 无散场的散度始终为0，可引入矢量函数的旋度表示无散场例如，恒定磁场三 无旋、无散场 对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：式中：称为拉普拉斯算符。在直角坐标系中：矢量场的拉普拉斯运算在直角坐标系中：四 有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分20分钟10分钟1.3.6亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理：在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度、旋度和

25、边界条件（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定，且任意矢量场可表示为：· 亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：研究电磁场的一条主线。1.4电磁场的基本规律麦克斯韦方程组本节将围绕麦克斯韦就法拉第电磁感应定律所提出的感应电场的概念，以及为扩充电流概念而提出的位移电流假设，阐述1865年麦克斯韦所提出的电磁场的基本方程组。1.4.1电磁感应定律法拉第电磁感应定律：当穿过导体回路所围面积的磁通量发生改变时，回路中将产生感应电动势，其大小等于回路磁通量的时间变化率。数学表示：“-”号表示回路中产生的感应电动势的作用总是要阻止回路磁通量的改变。l 引起磁通变化的原因分为三类：1. 回路不变，磁

26、场随时间变化15分钟注意：要让学生建立起电磁场的框架结构。20分钟称为感生电动势，这是变压器工作的原理，又称为变压器电势。2. 回路切割磁力线，磁场不变称为动生电动势，这是发电机工作原理，又称为发电机电势。3. 磁场随时间变化，回路切割磁力线实验表明：感应电动势与构成回路的材料性质无关（甚至可以是假想回路），只要与回路交链的磁通发生变化，回路中就有感应电动势。当回路是导体时，才有感应电流产生。二 感应电场（涡旋电场）麦克斯韦假设，变化的磁场在其周围激发着一种电场，该电场对电荷有作用力（产生感应电流），称之为感应电场。感应电动势与感应电场的关系为：在静止媒质中：结论：1）感应电场是非保守场，电力

27、线呈闭合曲线，变化的磁场是产生电场的涡旋源。2）产生电场的源：电荷和变化的磁场。两种共同作用产生合成电场：3）由第2章可知库仑场（静电场）是有源无旋场，所以在静止媒质中：麦克斯韦方程第二式（积分形式）4）利用斯托克斯定理：麦克斯韦方程第二式（微分形式）20分钟1.4.2 全电流定律一 安培环路定律定律表明：磁场强度沿任一闭合回路的线积分等于穿过该回路所限定面积的传导电流的代数和。利用斯托克斯定理：，得到安培环路定理微分形式：上式表明：磁场是有旋场，所以其散度为零： 静态场中传导电流连续性方程的微分形式上式表明：传导电流连续是安培环路定律成立的前提条件。二 电荷守恒定律传导电流和自由电荷之间手电荷守恒定律制约，即上式表明：在单位时间内通过闭合曲面向外流出的电流等于闭合面内单位时间所减少的电荷。利用斯托克斯定理：得到电荷守恒定律的微分形式：上式表明：静态场中传导电流连续性方程只是特例。在时变条件下，但是传导电流不能满足电荷守恒定律描述的电流连续性的物理内涵，安培环路定律必须修正。三 静电场