向量值函数的导数与积分ppt课件

1、第九章第九章 向量值函数的导数与积分向量值函数的导数与积分9.2.1 向量值函数的导数与微分向量值函数的导数与微分内容小结与作业内容小结与作业9.2.2 空间曲线的切线及法平面方程空间曲线的切线及法平面方程 1向量值函数导数与微分的概念向量值函数导数与微分的概念义，假设极限( ) trr定义定义9.2.1 设向量值函数设向量值函数在 t 的某邻域内有定00()( )limlimttttttt rrr存在， 那么称向量值函数 r(t) 在 t 处可导， 并称极限值为向量值函数 r(t) 在 t 处的导数， ( ) t rd.dtr记为或者明显地， ( ) t r也是一个向量值函数假设向量值函数

2、r(t) 在 t 处可导，那么r(t) 在 t 处延续. 9.2.1 向量值函数的导数与微分向量值函数的导数与微分( ) t r( )( ( )ttrr与一元数量函数类似，可以进一步定义向量值函数的高阶导数，如 r(t)的二阶导数定义为的导数, 即:向量值函数的导数的几何解释向量值函数的导数的几何解释a二维向量值函数的情形二维向量值函数的情形b三维向量值函数的情形三维向量值函数的情形()( )PQttt rr 假设点 P 和 Q 的位置向量为 r(t) 与 r(t+t), 那么这个向量可以看作是割线向量 ( ) tr0,0t 当时, 割线向量( ) t r假设存在，且趋于曲线在点 P 处的切线

3、向量线这样, 曲线r(t) 在点 P处的切向量为( )( ).ttTr那么称为曲线r(t) 在点 P 处的切向量, 过 P( ) t r点且以为方向向量的直线为曲线 r(t) 在点P处的切( ) t r向量值函数的导数的物理意义向量值函数的导数的物理意义:r(t)表示在平面上与空间中运动的质点在表示在平面上与空间中运动的质点在 t 时辰的位置时辰的位置,对应的几何曲线为质点的运动轨迹, ()( )ttt rrr是质点在时间段 t, t + t 上的位移,tr是质点在这段时间内的平均速度，( ) t r是质点在时辰 t 的瞬时速度 v(t)，即( )( ),ttvr 速度的方向或质点运动的方向是

4、运动轨迹的切线方向,( )( )ttvr是质点在时辰 t 的瞬时加速度 a (t).( )( )( )( ) ,tf tg th trijk( )( )( )( ) .tftg th trijk( )( )( )( ) .tftg th trijk向量值函数的导数可经过计算其分量函数的导数得到.其中各分量函数在点 t 处可导, 那么 r(t) 在点 t 处可导, 且定理定理9.2.2 设三维向量值函数设三维向量值函数 同样，对于可导的二维向量值函数有类似的结论.的二阶导数为三维向量值函数( )( )( )( )tf tg th trijk(1)( ) cos , sin ;tat btr(2)

5、( ) cos , sin ,.tat bt ctr(1)( )sin , cos ,tat bt r( )(cos ,sin ).tatbt r(2)( )sin , cos , ,tat bt c r( )(cos ,sin ,0).tatbt r例例1 计算以下向量值函数的一阶及二阶导数：计算以下向量值函数的一阶及二阶导数：解这里, (1)中的二维向量值函数对应的图形是二维平面上的椭圆曲线; (2)中的三维向量值函数对应的图形是三维空间上的螺旋曲线( ) tr0,且在区间 I 内光滑的( ) trI( ) t r 假设一个向量值函数在区间上满足延续， 例如，例1中的椭圆曲线与螺旋曲线都是

6、光滑的I我们就称在区间上是( ) tr 一条曲线假设由多个光滑的片段组成，那么就称这条曲线为分段光滑曲线2( )(3 ,2 ),tttr(0)(0,0),r解解 由于由于 光滑的曲线在点(1, 0) (对应t = 0)忽然改动了方向，在曲线上出现了尖点的特征所以，该曲线不是32( )1, tt tr能否为光滑曲线？ 例2 判别曲线xyo 尖点1( )(1,2 , 2sin2 ),tttr22( )1 44sin 2 ,tttr( )(0,2, 4cos2 ).ttr解解 质点的速度为质点的速度为 质点的速率为质点的加速度为 2( )( ,cos2 ),tt ttr例例3 一个质点的位置向量为一

7、个质点的位置向量为 求质点的速度、加速度与速率d( )d .t trr可导的向量值函数 r = r (t) 的微分定义为dd ( )d ( )( )d( )d.f tg tfttg ttrijijdd ( )d ( )d ( )( )d( )d( )d.f tg th tf ttg tth ttrijkijk( )( )( ) ,tf tg trij对于可导的二维向量值函数( )( )( )( ) ,tf tg th trijk对于可导的三维向量值函数对于二维向量值函数与三维向量值函数，dr 是一个与( ) t r与切向量同向；( )( )ttTr平行的向量，曲线的切向量当 dt 0 时, d

8、r与反向.当dt 0 时, dr与切向量( ) t r数值函数，设u(t), v(t)为可导的向量值函数，常数，那么有定理定理9.2.1 C 为常向量为常向量 (即即 C的各分量都为常数的各分量都为常数), k 为为f (t)为可导2向量值函数的求导法那么向量值函数的求导法那么d(1)dtC0;d(2)( )( )( )( )dtttttuvuv;d(3)( )( )dktkttuu; ( 7 ) 链式法那么：设 u (s)为可导的向量值函数，s = f (t)为可导的数值函数，那么d(4)( )( )( )( )( )( )dfttfttftttuuu;d(5)( )( )( )( )( )

9、( )dtttttttuvuvuv;d(6)( )( )( )( )( )( )dtttttttuvuvuv;ddd( )( )( )( ).dddssftftfttstuuuu例例4 ( ) tr0,设 r(t) 是可导的向量值函数，且假设| ( )|,tCr( ) tr( ) t r(C为常数)，证明：与垂直22( )( ) | ( )|,tttCrrrd0 ( )( )( )( )( )( )2 ( )( ).dtttttttttrrrrrrrr证证 由于由于那么由求导法那么 (5) 知( )( )0,ttrr 因此，几何意义几何意义: 假设一条曲线位于一个以原点为球心的假设一条曲线位于

10、一个以原点为球心的也就是说( ) tr( ) t r与垂直垂直于位置向量球面上, 那么它的切向量( ) t r( ).tr( )( )( ),tmttLrv( )( )( ),tmttMra 例5 假设质量为 m 的质点的位置向量为r(t), 角动量转动力矩为 证明：( )( ),( )( ),ttttvrav( )( ( )( )( )( )( )( )( ),tmttttmtttLvvraraM( ),tL0证证 由求导法那么由求导法那么6，知，知留意到 那么特别，当 M(t) = 0 时,从而L(t)为常向量.这就是物理学中的角动量守恒定律( )( ).ttLM( )( ( )( )(

11、)( ),tmttttLrvrv0000( )( ),( ),( ),tf tg th tT000000()()(),()()()xftyg tzh tftgtht:( ),( ),( )xf tyg tzh t空间曲线在点 t0 处的切线向量为000(),(), ()P f tg th t空间曲线 在点的切线方程为000000( )( )( )( )( )( )0.f txf tg tyg th tzh t称过点 P 且与向量 T (t) 垂直的平面为空间曲线 的法平面，其方程为9.2.2 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面切线方程与法平面方程且点(1,1,1) 与 t = 1对应,( )(1,2,3),t T所以，在点(1, 1, 1)处曲线的切线向量为因此，所求切线方程为23:,xt ytzt例例6 求空间曲线求空间曲线在点(1, 1, 1)处的21,2 ,3 ,xyt zt解解 由于由于111,123xyz(1)2(