二重积分对称性定理的证明及应用

1、目 录摘 要.1关键词.1Abstract .1Keywords.1前言.11预备知识.12二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用.2 2.1 积分区域关于坐标轴对称.2 2.2 积分区域关于坐标区域内任意直线对称.5 2.3 积分区域关于坐标原点对称.9 2.4 积分区域关于坐标区域内任意一点对称.11 2.5 积分区域同时关于坐标轴和坐标原点对称.12结束语.12参考文献.13二重积分对称性定理的证明及应用摘 要：本文归纳利用对称性来计算二重积分的方法，给出了二重积分对称性定理的证明并举出了相应例题关键词：对称性；积分区城；被积函数The Application of Symmetr

2、y in Double Integral CalculatingAbstract：It is introduced in the thesis some ways of how to calculate double integral with the application of symmetry. It is also put forward in it how to simplify the calculating methods with symmetry. Keywords：Symmetry; Integral region; Integrated function前言利用对称性计算

3、二重积分，不但可以使计算简化，有时还可以避免错误在一般情况下，必须是积分区域具有对称性，而且被积函数对于区域也具有对称性，才能利用对称性来计算在特殊情况下，虽然积分区域没有对称性，或者关于对称区域被积函数没有对称性，但经过技巧性的处理，化为能用对称性来简化计算的积分这些都是很值得我们探讨的问题1 预备知识对于二重积分的计算，我们总是将其化为二次定积分来完成的，而在定积分的计算中，若遇到对称区间，则有下面非常简洁的结论：当在区间上为连续的奇函数时，当在区间上为连续的偶函数时，这个结论，常可简化计算奇、偶函数在对称于原点的区间上的定积分在计算二重积分时，若积分区域具有某种对称性，是否也有相应的结论

4、呢？回答是肯定的下面，我们将此结论类似地推广到二重积分2 二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用定理1 若二重积分满足(1) 区域可分为对称的两部分和，对称点，；(2) 被积函数在对称点的值与相同或互为；则 其中的坐标根据的对称性的类型而确定2.1 积分区域关于坐标轴对称2.1.1 积分域关于轴对称，为上的连续函数定理2 如果积分域关于轴对称，为的奇偶函数，则二重积分，其中为在轴的上半平面部分证明 (1)若区域对称于轴图，对任意，其对称点，令 ，则变换为坐标面上的，且雅可比行列式 故 ，于是，代入（1）式得：例1 计算，其中区域：解 是关于的奇函数且关于轴对称，所以例2 计算，其中区域：

5、解 因为是关于的偶函数，且关于轴对称，所以2.1.2 积分域关于轴对称，为上的连续函数定理3 如果积分域关于轴对称，为的奇偶函数，则二重积分 ，其中为在轴的右半平面部分证明 若区域对称于轴图2，对任意，对称点，类似定理2的证明可得例3 计算，其中：解 ，且区域D关于轴对称，所以 例4 计算，其中区域：解 是关于的偶函数，且区域关于轴对称，所以2.2 积分区域D关于坐标区域内任意直线对称将积分区域关于坐标轴对称的情况推广到积分区域关于坐标区域内任意直线对称，则有下面定理：定理4 如果积分域关于直线对称，则二重积分其中为在以直线为轴的右半平面部分图3证明 若区域对称于直线，不妨设，即倾斜角为锐角首

6、先，平移坐标轴，得坐标系,如图3 ，即 （2）其次，将坐标系沿逆时针方向旋转，旋转角为，使轴与直线重合得新坐标系： （3）由得，即坐标面内对称于直线的区域，在新坐标系内对应的区域关于轴对称面内任意点，在面内对应点，点关于轴对称点，在面内对应点为，将代入，化简得：因此，面内点关于直线的对称点为，雅可比行列式为 ，于是由定理2知即 例5 计算二重积分，其中是抛物线，及直线所围成的区域 图4解 由于积分区域关于直线对称，被积函数中在区域上关于为奇函数，在区域上关于为偶函数，见图4,由定理4，得：当积分域关于直线轴对称时，有下面推论：推论1 如果积分域关于直线轴对称，则二重积分例6 设为恒正的连续函数

7、，计算积分 解 由于积分区域关于对称，所以由推论2，可得：，于是故 当积分区域关于对称时，被积分函数的两个变量可以互换位置的特殊性质可以使二重积分计算化简类似的，若积分区域关于直线对称且满足，则 ，或满足，则有 （其中为的一半）2.3 积分区域关于坐标原点对称定理5 如果积分域关于原点对称，同时为，的奇偶函数，则二重积分，其中为的上半平面部分 图5证明 若区域对称于原点图5，对任意，对称点，, ,令，则区域变换为坐标平面内区域，雅可比行列式 ，所以，代入，得例7 计算其中是由，以及所围成的闭区域图6解 如图6， ，、关于原点对称，但被积函数不满足,也不满足,故不能直接用定理来计算，但若记， 对

8、和分别应用定理5，则 ， ，故 2.4 积分区域关于坐标区域内任意一点对称将积分区域关于原点对称的情况推广到积分区域关于坐标区域内任意一点对称，则有下面定理：定理6 如果积分域关于点对称，则二重积分，其中为以为对称点的右半平面部分 图7证明 若区域对称于点 图7 ，平移坐标轴，即 坐标面内区域在坐标面内对应的区域关于其坐标原点对称面内任意点，对应面内点，它关于对称点为面内点对应面内点由此，面内点关于点的对称点为雅可比行列式为，于是由定理5的证明知即2.5 积分区域同时关于坐标轴和坐标原点对称推论2 若区域关于坐标轴、原点全对称，则二重积分，其中为位于第一象限部分例8 计算二重积分，其中区域：解 由于积分区域关于坐标轴、原点全对称， 由上述定理得结束语本文给出了二重积分对称性定理在不同条件下的证明以及应用，利用二重积分积分域的对称性及被积函数的奇偶性，一方面可减少计算量，另一方面可避免出差错，仅当积分域的对称性与被积函数的奇偶性两者兼得时才能用对称性定理 当对称区域位于平面上任意位置时，对称点的坐标往往比较复杂，导致定理中某些条件难以检验但如果，那么无论对称区域位于何处，总有，定理恒成立这就是为什么在求面积、体积时，总可以用对称性化简的原因参考文献1 隋梅真对称区域上二重积分可以简化的条件和方法J山东：山东建筑工程学院学报，1