高考数学二轮复习 组合增分练5 解答题组合练A 理

1、组合增分练5解答题组合练a1.(2017河北保定二模,理17)已知数列an是等差数列,且a1,a2(a1<a2)分别为方程x2-6x+5=0的两根.(1)求数列an的前n项和sn;(2)在(1)中,设bn=snn+c,求证:当c=-12时,数列bn是等差数列.(1)解 解方程x2-6x+5=0得其两根分别为1和5,a1,a2(a1<a2)分别为方程x2-6x+5=0的两根,a1=1,a2=5,等差数列an的公差为4,sn=n·1+n(n-1)2×4=2n2-n.(2)证明 当c=-12时,bn=snn+c=2n2-nn-12=2n,bn+1-bn=2(n+1)-

2、2n=2,bn是以2为首项,公差为2的等差数列.2.数列an的前n项和为sn,且a1=1,an+1=2sn+1,数列bn为等差数列,且b3=3,b5=9.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)若对任意的nn*,sn+12·kbn恒成立,求实数k的取值范围.解 (1)由an+1=2sn+1,可知当n2时,an=2sn-1+1,-得an+1-an=2(sn-sn-1),an+1=3an(n2).又a2=3,a1=1也满足上式,an=3n-1.由b5-b3=2d=6,可得d=3,bn=3+(n-3)×3=3n-6.(2)sn=a1(1-qn)1-q=1-3n1-3=3n-12,

3、3n-12+12k3n-6对nn*恒成立,k6n-123n对nn*恒成立.令cn=3n-63n,cn-cn-1=3n-63n-3n-93n-1=-2n+73n-1,当n3时,cn>cn-1,当n4时,cn<cn-1,(cn)max=c3=19,k2×19=29.实数k的取值范围是29,+.3.(2017河北石家庄二中模拟,理19)已知五边形abcde是由直角梯形abcd和等腰直角三角形ade构成,如图所示,abad,aede,abcd,且ab=2cd=2de=4,将五边形abcde沿着ad折起,且使平面abcd平面ade.(1)若m为de中点,边bc上是否存在一点n,使得

4、mn平面abe?若存在,求bnbc的值;若不存在,说明理由;(2)求二面角a-be-c的平面角的余弦值.(1)证明 取bc中点为n,ad中点为p,连接mn,np,mp.mpae,ae平面abe,mp平面abe,mp平面abe,同理np平面abe.又mpnp=p,mn平面abe.边ab上存在这样的点n,且bnbc=12.(2)解 以a为原点,以ad为y轴,以ab为z轴建立空间直角坐标系.则a(0,0,0),b(0,0,4),c(0,22,2),d(0,22,0),e(2,2,0).deae,deab,de平面abe.平面abe的一个法向量为de=(2,-2,0).设平面bce的一个法向量为n=(

5、x,y,z),bc=(0,22,-2),be=(2,2,-4),n·bc=22y-2z=0,n·be=2x+2y-4z=0,令y=1,则x=3,z=2,n=(3,1,2),cos<de,n>=de·n|de|n|=222×23=66,由图知二面角a-be-c的平面角的余弦值为-66.4.(2017吉林三模,理19)已知在四棱锥p-abcd中,底面abcd为矩形,pa底面abcd,pa=bc=1,ab=2,m为pc中点.(1)在图中作出平面adm与pb的交点n,并指出点n所在位置(不要求给出理由).(2)在线段cd上是否存在一点e,使得直线ae

6、与平面adm所成角的正弦值为1010,若存在,请说明点e的位置;若不存在,请说明理由.(3)求二面角a-md-c的余弦值.解 (1)过m作mnbc,交pb于点n,连接an,如图,则点n为平面adm与pb的交点(在图中画出).由m为pc中点,得n为pb的中点.(2)因为在四棱锥p-abcd中,底面abcd为矩形,pa底面abcd,以a为坐标原点,以直线ab,ad,ap所在直线建立空间直角坐标系如图所示.则a(0,0,0),p(0,0,1),d(0,1,0),c(2,1,0),m1,12,12.设在线段cd上存在一点e(x,1,0),则ae=(x,1,0),设直线ae与平面amd所成角为,平面am

7、d的法向量为u=(x,y,z),则uam,uad,即x+12y+12z=0,y=0,令z=2,则u=(-1,0,2).因为直线ae与平面adm所成角的正弦值为1010,所以sin =|ae·u|ae|u|=1010,所以x=1.所以在线段cd上存在中点e,使得直线ae与平面amd所成角的正弦值为1010.(3)设平面cmd的法向量v=(x',y',z'),则vcm,vcd,即-x'-y'2+z'2=0,2x'=0,令z'=-1,则y'=-1,所以v=(0,-1,-1).所以cos =v·u|v|u|=-

8、105,由图形知二面角a-md-c的平面角是钝角,所以二面角a-md-c的平面角的余弦值为-105.5.设>0,点a的坐标为(1,1),点b在抛物线y=x2上运动,点q满足bq=qa,经过点q与x轴垂直的直线交抛物线于点m,点p满足qm=mp,求点p的轨迹方程.解 由qm=mp知q、m、p三点在同一条垂直于x轴的直线上,故可设p(x,y),q(x,y0),m(x,x2),则x2-y0=(y-x2),即y0=(1+)x2-y,再设b(x1,y1),由bq=qa,即(x-x1,y0-y1)=(1-x,1-y0),解得x1=(1+)x-,y1=(1+)y0-,将式代入式,消去y0,得x1=(1

9、+)x-,y1=(1+)2x2-(1+)y-.又点b在抛物线y=x2上,所以y1=x12.再将式代入y1=x12,得(1+)2x2-(1+)y-=(1+)x-)2,(1+)2x2-(1+)y-=(1+)2x2-2(1+)x+2,2(1+)x-(1+)y-(1+)=0.因>0,两边同除以(1+),得2x-y-1=0.故所求点p的轨迹方程为y=2x-1.导学号168042456.已知抛物线c1:x2=y,圆c2 :x2+(y-4)2=1的圆心为点m.(1)求点m到抛物线c1的准线的距离;(2)已知点p是抛物线c1上一点(异于原点),过点p作圆c2的两条切线,交抛物线c1于a,b两点,若过m,

10、p两点的直线l垂直于ab,求直线l的方程.解 (1)由题意可知,抛物线的准线方程为:y=-14,所以圆心m(0,4)到准线的距离是174.(2)设p(x0,x02),a(x1,x12),b(x2,x22),由题意得x00,x0±1,x1x2.设过点p的圆c2的切线方程为y-x02=k(x-x0),即y=kx-kx0+x02.则|kx0+4-x02|1+k2=1,即(x02-1)k2+2x0(4-x02)k+(x02-4)2-1=0.设pa,pb的斜率为k1,k2(k1k2),则k1,k2是上述方程的两根,所以k1+k2=2x0(x02-4)x02-1,k1k2=(x02-4)2-1x02-1.将代入y=x2,得x2-kx+kx0-x02=0,由于x0是此方程的根,故x1=k1-x0,x2=k2-x0,所以kab=x12-x22x1-x2=x1+x2=k1+k2-2x0=2x0(x02-4)x02-1-2x0,kmp=x02-4x0.由mpab,得kab·kmp=2x0(x02-4)x02-1-2x0·x02-4x0=-1,解得x02=235,即点