高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.5 空间向量运算的坐标表示学案 新人教A版选修21

1、3.1.5空间向量运算的坐标表示学习目标：1.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直(重点)2.掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题(重点，难点)自 主 预 习·探 新 知1空间向量运算的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：运算坐标表示加法ab(a1b1，a2b2，a3b3)减法ab(a1b1，a2b2，a3b3)数乘a(a1，a2，a3)，r数量积a·ba1b1a2b2a3b32.空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b

2、(b1，b2，b3)，则平行(ab)ab(b0)ab垂直(ab)aba·b0a1b1a2b2a3b30(a，b均为非零向量)模|a|夹角公式cosa，b思考：若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab一定有成立吗？提示当b1，b2，b3均不为0时，成立3向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，则(1)(a2a1，b2b1，c2c1)；(2)dab|.基础自测1思考辨析(1)若a(1，2,1)，ab(1,2，1)，则b(2,4，2)()(2)若a(1,2,0)，b(2,0,1)，则|a|b|.()(3)若a(0,0

3、,1)，b(1,0,0)则ab.()(4)在空间坐标系中，若a(1,2,3)，b(4,5,6)，则(3，3，3)()答案(1)(2)(3)(4)×2已知向量a(3，2,1)，b(2,4,0)，则4a2b等于()a(16,0,4)b(8，16,4)c(8,16,4)d(8,0,4)d4a(12，8,4)，2b(4,8,0)，4a2b(8,0,4)3已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k() 【导学号：46342154】a1 b cddkab(k1，k,2)，2ab(3,2，2)，且(kab)·(2ab)3(k1)2k40，解得k.4若点a(

4、0,1,2)，b(1,0,1)，则_，_.(1，1，1)(1，1，1)，|.合 作 探 究·攻 重 难空间向量的坐标运算(1)若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)满足条件(ca)·(2b)2，则x_.(2)已知o是坐标原点，且a，b，c三点的坐标分别是(2，1,2)，(4,5，1)，(2,2,3)，求适合下列条件的点p的坐标；()；()解析(1)ca(0,0,1x)，2b(2,4,2)，由(ca)·2b2得2(1x)2，解得x2.答案2(2)(2,6，3)，(4,3,1)()(6,3，4)，则点p的坐标为.设p(x，y，z)，则(x2，y1，

5、z2)()，解得x5，y，z0，则点p的坐标为.规律方法1.一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标2在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(ab)2a22a·bb2；(2)(ab)·(ab)a2b2.跟踪训练1已知a(2，1，2)，b(0，1,4)求：(1)ab；(2)ab；(3)a·b；(4)2a·(b)；(5)(ab)·(ab)解(1)ab(2，1，2)(0，1,4)(20，11，24)(2，2,2)(2)ab(2，1，2)(0，1,

6、4)(20，1(1)，24)(2,0，6)(3)a·b(2，1，2)·(0，1,4)2×0(1)×(1)(2)×47.(4)2a(4，2，4)，(2a)·(b)(4，2，4)·(0,1，4)4×0(2)×1(4)×(4)14.(5)(ab)·(ab)a2b2414(0116)8.利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题已知空间三点a(2,0,2)，b(1,1,2)，c(3,0,4)设a，b.(1)若|c|3，c，求c；(2)若kab与ka2b互相垂直，求k.思路探究(1)根据c，设c，则向

7、量c的坐标可用表示，再利用|c|3求值；(2)把kab与ka2b用坐标表示出来，再根据数量积为0求解解(1)(2，1,2)且c，设c(2，2)(r)|c|3|3.解得±1.c(2，1,2)或c(2,1，2)(2)a(1,1,0)，b(1,0,2)，kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)(kab)(ka2b)，(kab)·(ka2b)0，即(k1，k,2)·(k2，k，4)2k2k100，解得k2或k.规律方法向量平行与垂直问题主要有两种题型：(1)平行与垂直的判断；(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.解题时要注意：适当引入参数(比

8、如向量a，b平行，可设ab)，建立关于参数的方程；最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.跟踪训练2已知a(1,1,2)，b(6,2m1,2)(1)若ab，分别求与m的值；(2)若|a|，且与c(2，2，)垂直，求a. 【导学号：46342155】解(1)由ab，得(1,1,2)k(6,2m1,2)，解得实数，m3.(2)|a|，且ac，化简，得解得1.因此，a(0,1，2).空间向量夹角与长度的计算探究问题1已知a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则线段ab的中点p的坐标是多少？提示：p2设异面直线ab，cd所成的角为，则cos cos，一定成立吗？提示：当cos，0时，cos

9、cos，当cos，<0时，cos cos，如图3­1­38所示，在直三棱柱abc­a1b1c1中，cacb1，bca90°，棱aa12，m，n分别为a1b1，a1a的中点图3­1­38(1)求bn的长；(2)求a1b与b1c所成角的余弦值；(3)求证：bn平面c1mn.思路探究解(1)如图所示，建立空间直角坐标系cxyz.依题意得b(0,1,0)，n(1,0,1)，|，线段bn的长为.(2)依题意得a1(1,0,2)，c(0,0,0)，b1(0,1,2)，(1，1,2)，(0,1,2)，·1×0(1)

10、5;12×23.又|，|.cos，.故a1b与b1c所成角的余弦值为.(3)证明：依题意得a1(1,0,2)，c1(0,0,2)，b(0,1,0)，n(1,0,1)，m，(1,0，1)，(1，1,1)，·×1×(1)0×10，·1×10×(1)(1)×10.，bnc1m，bnc1n，又c1mc1nc1，c1m平面c1mn，c1n平面c1mn，bn平面c1mn.规律方法 向量夹角的计算步骤(1)建系：结合图形建立适当的空间直角坐标系，建系原则是让尽可能多的点落到坐标轴上(2)求方向向量：依据点的坐标求出方向

11、向量的坐标(3)代入公式：利用两向量的夹角公式将方向向量的坐标代入求出夹角跟踪训练3如图3­1­39所示，已知空间四边形abcd的各边和对角线的长都等于a，点m，n分别是ab，cd的中点图3­1­39(1)求证：mnab，mncd；(2)求异面直线an与cm所成角的余弦值解(1)证明：设p，q，r.由题意可知，|p|q|r|a，且p，q，r三个向量两两夹角均为60°.()(qrp)，·(qrp)·p(q·pr·pp2)(a2cos 60°a2cos 60°a2)0.，即mnab同理可证

12、mncd(2)设向量与的夹角为.()(qr)，qp，·(qr)·.又|a，·|cos a×a×cos .cos .向量与的夹角的余弦值为，从而异面直线an与cm所成角的余弦值为.当 堂 达 标·固 双 基1已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，则|3ab|为()a b4c5 dd3ab3(1,1,0)(1,0,2)(3,3,0)(1,0,2)(2,3,2)，故|3ab|.2已知a(3,3,3)，b(6,6,6)，o为原点，则与的夹角是()a0 bcd2b(3,3,3)，(6，6，6)则·bo3×3×

13、(6)54，|3，|6所以cos，1，所以，.3已知a(1，x,3)，b(2,4，y)，若ab，则xy_.4ab，ba.xy4.4若a(2,3，1)，b(2,1,3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为_. 【导学号：46342156】6a·b2×(2)3×1(1)×34，|a|，|b|，cosa，b.sina，b.因此以a，b为邻边的平行四边形的面积为|a|b|sina，b××6.5在棱长为1的正方体abcd­a1b1c1d1中，e，f分别是d1d，bd的中点，g在棱cd上，且cgcd，h是c1g的中点利用空间向量解决下列问题：(1)求ef与b1c所成的角；(2)求ef与c1g所成角的余弦值；(3)求f，h两点间的距离解如图所示，以da，dc，dd1为单位正交基底建立空间直角坐标系dxyz，则d(0,0,0)，e，f，c(0,1,0)，c1(0，1,1)，b1(1,1,1)，g.(1)，(1,0，1)，··(1,0，1)×(1)×0×