八年级数学下册 4.5 一次函数的应用 一次函数的专题复习导航素材 新版湘教版

1、一次函数的专题复习导航一、课标要求1了解常量与变量的意义，函数的概念及三种表示方法，能用适当的方法刻画某些实际问题中的函数关系，并结合图象对函数关系分析.2.能确定简单的整式、分式和简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求出函数值.3.理解一次函数和正比例函数的概念，了解一次函数和正比例函数的关系 4知道一次函数和正比例函数的一般形式，会用待定系数法求一次函数和正比例函数的解析式，会画一次函数和正比例函数的图象5会求一次函数图象与坐标轴的交点坐标，会求两个一次函数图象的交点坐标6掌握一次函数的性质，会用一次函数的图象的性质研究函数的增减性等问题7能利用一次函数的性质解决一些实际问题二、探索知识

2、结构网络a三、重点、难点、中考命题趋势 重点：理解函数、一次函数的概念，掌握一次函数的图象、性质及其应用 难点：对函数概念的理解及对函数思想的应用学会利用函数图象解决简单的实际问题，发展数学应用能力，并能从中体会函数与方程的关系，构建良好的知识网络 中考命题趋势：随着中考重心由“二次”向“一次”的转移，许多设计新颖、贴近生活，反映时代特点的应用题及图表信息题大都需要构建一次函数模型来解决，同时对数学思想方法：待定系数法、数形结合的思想、分类讨论的思想等考查与知识有机融合在一起.三个“一次”综合命题也应运而生，这些方面都应引起同学们的高度重视.四、知识要点1函数的概念 在某变化的过程中有两个变量

3、x和y，如果对于x的每一个值，y都有惟一确定的值与它对应，那么称x是自变量，y是x的函数2函数的表达式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数的解析式或函数关系式，用数学式子来表示的函数方法叫做解析法3自变量取值范围的确定 必须考虑自变量的取值使解析式有意义，具体地，整式型的自变量的取值范围是全体实数，分式型的自变量的取值范围是使分母不为零的实数，二次根式型的自变量的取值范围是被开方数为非负数，复合型的自变量的取值范围由所列不等式的解集确定，应用型的自变量的取值范围还应考虑实际意义4函数值 对于自变量在取值范围内的一个确定的值，如当*=n时，函数有惟一确定的对应值，这个对应值叫做x=o的函数值5一

4、次函数的图象及性质 正比例函数y=kx(k0)的图象是经过点(0，0)，(1，k)的一条直线，一次函数y=kx+b(k，b为常数，k0)的图象是经过点(0，b)，(，0)的一条直线 当k>0时，直线从左向右上升，即y随x的增大而增大，若b>0，直线y=kx+b经过第一、二、三象限；若b<0，直线y=kx+b经过第一、四、三象限；当k<0时，直线从左向右下降，即y随x的增大而减小.若b>0，直线y=kx+b经过第一、二、四象限；若b<0，直线y=kx+b经过第二、三、四象限；6一次函数与正比例函数的联系与区别 若两个变量x，y之间的关系可以表示成y=kx+b(

5、k，b为常数，k0)的形式，则称y是x的一次函数，特别地当b=0时，称y是x的正比例函数，显然正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数，正比例函数是一次函数的特殊情况若从图象的角度观察：y=kx+b(k，b为常数，k0)可以看作由y=kx(k0)平移|b|个单位长度而得到的，b>0时向上平移；b<0时，向下平移.7一次函数表达式的确定通常有下列几种情况： (1) 通过分析数量（等量）关系得出函数关系式 (2)通利用函数图象，由待定系数，根据直线上两点坐标列出方程组确定k，b的值，求出一次函数表达式 (3)从己知条件出发，通过数学建模得出一次函数表达式五、思想方法1、数形结

6、合思想著名的数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，数形分离万事休”.这句名言道出“数形结合思想”的重要性. 函数图形可直观形象地表示出两个变量的相互关系，我们知道一次函数的图象是坐标（x，y）满足解析式y=kx+b(k，b为常数，k0)的所有点的集合，这样就将数与式的关系同点与线的位置关系紧密地融合在一起，实现了形数的完美结合.由一次函数的图象探索的其性质就是一个由“形”向“数”转化的例证.2、待定系数法待定系数法是一项重要的数学方法，要结合它在确定一次函数表达式中的应用，理解它的基本思想，并注意在以后学习中应用.3化归思想求两个函数图象交点的坐标可以转化为求方程

7、组的解即将函数问题转化为方程的问题，当然求方程组的解也可以将二元一次方程转化为一次函数画出图象，求交点坐标即可.4分类讨论的思想：研究一次函数的图象和性质的时候，对k、b进行了讨论，体现了分类讨论的思想六、学法指导 1由函数关系式画出函数图象，再由函数图象比较“数”，这是“数”与“形”的相互转化，是函数解题的重要手段 2要注意体会方程与函数的关系，加强“数”与“形”的联系，两函数图象的交点坐标就是两函数图象对应的两函数表达式组成的方程组的解，反之，以两函数表达式组成的方程组的解为坐标的点就是两函数图象的交点3.图象信息题解答指要：数学中表格、图象和图形是一种最直观、最形象和最集中的语言交流渠道

8、，其中包含着大量丰富的有价值的信息资源.图象信息题，是指由函数图象提供已知条件的试题包括由图象的形状特点，变化趋势，相关位置，交点（包括特殊点）的情况、相关数据给出的信息，充分体现了数形结合的特点，要求同学们学会观察、分析图象的特点，从而获取有效的数学信息.中考中常见有1、实际问题的函数图象问题；2、一次函数图象与其它函数图象综合问题等等.典型例题展示：一、自变量的取值范围，函数值计算.例1、（1）函数的自变量x的取值范围是。（2）函数的自变量的取值范围是_ （3）根据流程右边图中的程序，当输入数值x为2时，输出数值y为a4 b6 c8 d10分析：（1）由于函数关系式是二次根式，要求x+20

9、，故x2；（2）由算术平方根的意义可知x10，由分式有意义的条件需x10，故自变量的取值范围是x1>0，即x>1.（3）因为输入数值x为2，符合x<1，它应该满足函数y =x+5，所以y=×（2）+5=6，故选b.二、根据提供的实际情景，选择相吻合描绘图象.例2、解放军某部接到上级命令，乘车前往四川地震灾区抗震救灾前进一段路程后，由于道路受阻，汽车无法通行，部队通过短暂休整后决定步行前往若部队离开驻地的时间为（小时），离开驻地的距离为（千米），则能反映与之间函数关系的大致图象是（ ）图2-2（2）如图2-2，乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，

10、且瓶口又小，乌鸦喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水在这则乌鸦喝水的故事中，设从乌鸦看到瓶的那刻起向后的时间为，瓶中水位的高度为，下列图象中最符合故事情景的是（）（1）分析：观察坐标系的横纵坐标轴，横轴表示部队行驶的时间，纵轴为行驶的路程，显然开始乘车的速度快，由于中间短暂休息，说明路程未变，时间在增加，休息后步行，速度相对汽车变小，反映在图象上比开始时要陂，观察图象可知a符合要求.（2）分析：要选择出符合问题情景的图象必须透彻分析乌鸦的衔石与喝水过程. 从乌鸦看到瓶的那刻起到衔石放入瓶中，时间再增加，而瓶中水位的高度没有发生变化，因而可排除图象c

11、；当乌鸦不断衔来一个个小石子放入瓶中的过程中，水位不断上升，据此可排除图象a；乌鸦喝水的过程中，瓶中水位的高度逐渐下降，但其水位不能低于开始的水的高度，而图象b确是低于的，故排除b；所以选d .三、定性（量）探究一次函数的图象23图3-2yxo例3、（1）一次函数的图象不经过（ ） a 第一象限 b 第二象限 c 第三象限 d 第四象限（2）一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ）abcd（3）如图3-3，某电信公司提供了两种方案的移动通讯费用（元）与通话时间（元）之间的关系，则以下说法错误的是（ ）a若通话时间少于120分，则方案比方案便宜20元b若通话时间超过200分，则方案比方案

12、便宜12元c若通讯费用为60元，则方案比方案的通话时间多d若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分分析：（1）本题主要考查一次函数的图象。函数y=kx+b中，k0，b0，则图象经过一、三、四象限，故选b.（2）本题主要考查一次函数的性质，观察图象当x=2时y=0，又y随x的增大而减小，所以当时，x>2，故选c.（3）观察图象：a方案当通话时间不超过120分时需话费30元，b方案当通话时间不超过200分时需话费50元，因此选择支a是正确的.超过120分时，a方案的费用（元）与通话时间之间的关系=x18, 超过200分时，b方案的费用（元）与通话时间之间的关系： =x30

13、,故通话时间超过200分时，=12，所以选择支b是正确的. 当通讯费用为60元时，图中的红线与方案a、b的交点分别为点m、n，显然点n的横坐标大于点m的横坐标，说明方案b通话时间长. 所以选择支c是正确的.由选择支b可知，当通话时间超过200分时，两种方案通讯费用相差12元，不可能是10元，观察图象当通话时间在120分170分时，b方案的费用高于a方案的费用10元时，即a方案的费用为40元时，40=x18,解之得x=145；当通话时间在170分200分时，a方案的费用高于b方案的费用10元时，即a方案的费用为60元时，60=x18,解之得x=195，所以选择支d是错误的.四、与几何知识牵手综合

14、问题图4-1c例4、（1）如图4-1，点a的坐标为(1，0)，点b在直线上运动，当线段ab最短时，点b的坐标为a（0，0） b（，）c（，） d（，）（2）如图：在平面直角坐标系中，有a（0，1），b（，0），c（1，0）三点坐标（1）若点与三点构成平行四边形，请写出所有符合条件的点的坐标；（2）选择（1）中符合条件的一点，求直线的解析式分析：（1）根据点到直线的距离可知，过点a到直线的垂线段ac最短，因此点b运动到与点c重合时符合条件.由aoc=45°，acoc，aoc是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得点c（，），故选b.yxacb2112o（2）（1）根据平行四边形的判

15、定可知，d点与另一点所形成的线段必须与另一条线段平行，如果以ab和bc为邻边时，则当abcd，adbc时，可得；如果以bc和ca为邻边时，则当acbd，adbc时，可得d点坐标为；如果以ab和ac为邻边时，则当abcd，acbd时，可得d点坐标为，故符合条件的点的坐标分别是，（2）选择点时，设直线的解析式为，由题意得 解得 直线的解析式为 选择点时，类似的求法，可得直线的解析式为 选择点时，类似的求法，可得直线的解析式为五、利用二元一次方程与一次函数的关系求交点坐标（本题满分6分）已知直线：和直线：，求两条直线和 的交点坐标，并判断该交点落在平面直角坐标系的哪一个象限上.分析：两条直线和 的交

16、点坐标就是由两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解，解之得，故交点坐标为（2，-3），该交点落在平面直角坐标系的第四象限.六、利用表格信息建立一次函数的数学模型例6依法纳税是每个公民应尽的义务从2008年3月1日起，新修改后的中华人民共和国个人所得税法规定，公民每月收入不超过2000元，不需交税；超过2000元的部分为全月应纳税所得额，都应纳税，且根据超过部分的多少按不同的税率纳税，详细的税率如下表：级别全月应纳税所得额税率(%)1不超过500元的52超过500元至2 000元的部分103超过2 000元至5 000元的部分154超过5 000元至20 000元的部分20（1）某工厂一名工人

17、2008年3月的收入为2 400元，问他应交税款多少元？（2）设x表示公民每月收入（单位：元），y表示应交税款（单位：元），当2500x4000时，请写出y关于x的函数关系式；（3）某公司一名职员2008年4月应交税款120元，问该月他的收入是多少元？分析：解决本题的关键是读懂纳税的具体情况，即月收入超过2000元的部分才纳税，而且纳税的税率是分段给出的（表格中）。（1）该工人3月的收入2 400元中，应纳税的部分是400元，按纳税的税率表，他应交纳税款（元）；（2）当时，其中2 000元不用纳税，应纳税的部分在500元至2 000元之间，其中500元按交纳，剩余部分按交纳，于是，有；即关于的函数关系式为（3）根据（2）可知，当收入为2 500元至4 000元之间时，纳税额在25元至175元之间，于是，由该职员纳