因式分解法解一元二次方程典型例题

1、典型例题一例 用因式分解法解下列方程：(1) y27y 6 0；(2)t (2 t 1) 3(2 t 1) ； (3)(2x1)( x 1) 1解：（1）方程可变形为 ( y 1)( y 6) 0y10 或 y60y1 1， y2 6(2) 方程可变形为 t (2 t 1) 3(2 t 1) 0 (2 t 1)( t 3) 0， 2t 10 或 t 301t 1，t 23(3) 方程可变形为 2x2 3x 0x(2 x3) 0，x0 或 2x 3 0 x1 0，x2 32说明： (1) 在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，

2、而右边为零时， 则可令每一个一次因式为零， 得到两个一元一次方程， 解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了(2) 应用因式分解法解形如 ( x a)( x b) c 的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如 ( x e)( x f ) 0 的形式，这时才有x1 e， x2 f ，否则会产生错误，如 (3) 可能产生如下的错解：原方程变形为： 2x 1 1 或 x11 x1 1， x2 2(3)在方程 (2)中，为什么方程两边不能同除以(2t 1)，请同学们思考典型例题二例 用因式分解法解下列方程6x233x22x6解：把方程左边因式分解为：( 2x3)(3x2)

3、0 2x3 0 或 3x20 x13 , x2223说明 : 对于无理数系数的一元二次方程， 若左边可分解为一次因式积的形式，均可用因式分解法求出方程的解。典型例题三例 用因式分解法解下列方程。2 y2y15解: 移项得： 2 y2 y 15 0把方程左边因式分解得： (2 y5)( y3)0 2 y 50 或 y 30 y15, y23.2说明 : 在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积， 而右边为零时， 则可令每一个一次因式都为零， 得到两个一元一次方程， 解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。典型例题四例用因

4、式分解法解下列方程（1） 6x2 13x2 0 ；（2） 3(2x 1) 29( 3x 2) 20 ；分析：一元二次方程化为一般形式后，在一般情况下，左边是一个二次三项式，右边是零 .二次三项式，通常用因式分解的方法，可以分解成两个一次因式的积，从而可求出方程的根 .但有些问题，可直接用因式分解法求解，例如（ 2）符合平方差公式的结构特征 .解：（1）原方程可变形为(6x1)( x2)0,6x 10 或 x20 ， x11 , x22.6（2）原方程可化为(2 3x3)2(3 3x 6)20 ，即(2 3x3 3 3x 6)(2 3x3 3 3x 6) 0 ， (53x 36)(3 63x)0

5、 ， 53x360 或363x0 ， x12 31 , x2 1 2 3 .5说明：因式分解将二次方程化为一次方程求解， 起到了降次的作用 .这种化未知为已知的解题思想，是数学中的“化归思想” .事实上，将多元方程组化为一元方程，也是此法 .典型例题五例 用因式分解法解方程：（1） x25x360；（2） 2(2 x 3) 23( 2x3) 0；（3） x2(22 2 ) x 3 2 2 0 ；（4） y2(2 3 3 2 )x66 0.分析：用因式分解法解一元二次方程时，应将方程化为A B 0 的形式，然后通过 A0 或 B0，求出 1 2x , x .解：（1） ( x9)( x4)0 ，

6、x 90或 x40 .x19, x24.（2） (2x3)( 4x6 3)0 ，即 (2x 3)( 4x 9) 0 . 2x30 或 4x 9 0 ， x13 , x2 9.24（3） ( x1) x (3 2 2 ) 0 ，即 x10 或 x (3 2 2 )0 . x11,x2 3 2 2 .（4） ( y2 3)( y 3 2 ) 0，即y 2 3 0 或 y 3 20 ， y12 3, y2 3 2 .说明：有些系数或常数是无理数的一元二次方程，只要熟悉无理数的分解方法，也可将之和因式分解法求解 .典型例题六例用适当方法解下列方程：（1）2250；（ ）21；x2(1 x) x( x

7、)25x 22（3） 2(x3)22(x21)4x1；（）4x243x100（5） 3x27x40 （用配方法）解：（1）移项，得2x25 ，方程两边都除以2，得x25 ，2解这个方程，得x 5 ，2x 1 10，2即x1110 ， x2110.22（2）展开，整理，得4 x2x0.方程可变形为x(4x1)0x0或 4x 10 ，x10, x21 .（3）展开，整理，得44 x216x 150 ，方程可变形为(2x3)( 2x5)02x30 或 2x50x1 3 , x25.22（4）a1, b43, c10,b24ac(43)241108 0， x( 43)84322232.212x12 3

8、2 ,x22 32（5）移项，得3x27x4 ，方程各项都除以 3，得x27 x4 .配方，得33x27 x ( 7 )24 ( 7)2，3636( x7 )21636解这个方程，得x71 ,66即x14 ， x21.3说明 : 当一元二次方程本身特征不明显时，需先将方程化为一般形式ax 2bx c 0 ( a0 )，若 b0 ，a、c 异号时，可用直接开平方法求解，如（l）题若 a 0 ， b0 , c0时，可用因式分解法求解，如（2）题若 a、b、 c均不为零，有的可用因式分解法求解， 如（ 3）题；有的可用公式法求解， 如（4）题配方法做为一种重要的数学方法也应掌握，如（5）题而有些一元

9、二次方程有较明显特征时，不一定都要化成一般形式，如方程2( x3)40 可 用 直 接 开 平 方 法 或 因 式 分 解 法 求 解 又 如 方 程( x2)( 4x1)(x1)(x2) 也不必展开整理成一般形式，因为方程两边都有，移项后提取公因式，得( x2)( 4x1)( x1)0，用因式分解法求解，得x12, x22 ，对于这样的方程，一定注意不能把方程两边都除以3( x2) ，这会丢掉一个根 x2 也就是方程两边不能除以含有未知数的整式典型例题七例解关于 x 的方程 202x2113 20（ m0 ）mmnx n解法一：原方程可变形为(5mxn)(4mx3n)05mxn0 或 4mx

10、3n0 m 0 ，x1n, x23n .5m4m解法二：a20m2，b 11mn ， c3n2，b24ac(11mn)2420m2( 3n2 )361m2 n20 ，又 m0 ， x11mn36m2 n211mn19mn .220m240m2x1n , x23n .5m4m说明 解字母系数方程时，除了要分清已知数和未知数，还要注意题目中给出的条件，要根据条件说明方程两边除以的代数式的值不等于零对于字母系数的一元二次方程同样可以有几种不同的解法， 也要根据题目的特点选用较简单的解法，本题的解法一显然比解法二要简单典型例题八例 已知 m21，试解关于 x 的方程 mx( x2) 2 (x 1)(

11、x1).分析由 m21 ，容易 得到 m 3 或 m1 整理 关干 x 的方程，得(m 1) x22mx 3 0 题目中没有指明这个方程是一元二次方程，因此对二次项系数要进行讨论，当 m-1 0时，方程是一元一次方程；当 m 10 时，方程是一元二次方程。解：由 m 21 ，得m 21,m13, m2 1.整理 mx( x 2) 2 (x 1)( x1)，得(m1) x22mx30.当 m3 时，原方程为 2x 26x30 ，解得x133 , x23322当 m1时，原方程为 2x30，解得3x.2 当 m 3 时， x13 3 , x23 322当 m 1时， x3 .2填空题1方程 ( x

12、2) 2( x2)的根是2方程 ( x 3)( x1)6x4 的解是3方程 (2 y1)23( 2y1) 20 的解是答案： 1 x12， x232 x11 2， x2 1 2 3 y11，y23 .2解答题1用因式分解法解下列方程：（ 1） (x 2)22x4 ；（2） 4( x 3)2x( x 3) 0 ；（ 3） 10x 211x60 ；（4） 9( x 2)24( x 1)2 。（ 5） x2x 0 ；（6） x22x35 0；（ 7） x27 x 10 0 ；（8） x29x 18 0 ；（ 9） 10x 211x60 ；（10） 6x211x 7 0 .2. 用因式分解法解下列方程

13、：（ 1） (x 3)( x 1)5 ；（2）14( x 4)29( x 4) 65 0 ；（3） 3( 1x)25( x1)20。223用因式分解法解下列关于x 的一元二次方程：（ 1）x2x2x0；（）x22mxm2n20；k2（ 3）235420；（ ）22；xmxm15m x17mx18 0 (m 0)4（ 5） abx2 ( a2 b2 )x ab 0 (ab 0)4用适当的方法解下列方程：（ 1） 4x 249 0 ；（2） 4 x29x 0 ；（ 3） x2x2 ；（4） x22x624 ；（ 5） x2x1 0 ；（ 6） x22 5x 2 0 .5已知三角形的两边分别是1 和 2，第三边的数值是方程 2x25x30 的根，求这个三角形的周长 .答案：1（1） x12， x20 ；（ 2） x13， x24 ；（3） x13， x22 ；（4） x18，x24 .255（ 5）0（ ），（ ）x1，x21 6 x15 ，x2 7（7）x1 2x2 5 8 x13， x26（ 9） x13 ， x22 （ 10） x11 ， x27 .25232. （1） x12， x24 ；（ 2） x13 ，x241 ；（ 3） x