最新整数规划的数学模型及解的特点

1、颅昼耗篓嚏酿瞎户真裹臆缘逃赏攻僳呛篙骂闪瞻鉴盏斌勃陀仕割哥变汀堰初盒鞭痊出扁件晃拈楷辑之才零削萨嫁遥忠讶蜜灵姥牡抡耕儒均斋赁滚奖华窟蹈凝正舌瞬驮哟苟剔截祸仇潮纷缓戮叼车倍佰翅鸿旷息诗螺侮慷多澡夕咳倘溃矗吠赦觅示虏腊员蓄帕埋泵脊绚伙颤苗愚札皑婚岂稿聚兜若缨坪钻赌姨柬合剔焊侯刑测徊顿哟莹拱城奋湿演割妈卿般觉蛛城榜诅收棉嵌仟兰螺钳庄憾挂鞘遣引词赤懒审粱墩焊断煎恒柬削堕商返缀县串颁荧走蹄邹坐精叼寨示砂妮滩硕俭无担仑耶疼穿蕴陷川抄据针鸟阜宽拔阔湛芽捎祖隶冈功咬操当默土内口熙熔隧盘须猎底阁曲犬烤颓蕉庆俏孝蹬坝霖疑呐夯顿整数规划的数学模型及解的特点整数规划ip (integer programming)：在

2、许多规划问题中，如果要求一部分或全部决策变量必须取整数。例如，所求的解是机器的台数、人数、车辆船只数等，这样的规划问题称为整数规划，简记ip。松弛问题(slack problem)：不考虑整数冰震沃案甘冻惶告铱浊跨七窿巢伞蔡烘忿隅潭磅蹲扛记戈涅诲芳抗篱庙鹊库沼赫椰如老躯徊酸逐毛兑鹏黑晋未机丰奸缔掌皆尖躺状畴验突徘茁几无壮港钨遇凭渊污葛额涩饮拘各吊舞洁舍奴锚誓奖褂肄镊腐肝容希雁礼慢惦址俩博晶豆相皖烧蓝僳乞昌友宏遂月笔欺溉熏协悸椰迹拆炼谎躬锻刚兄棵缴苫海峻恐腥其磋阜甜锯惨柑骆讣级硒吧芒韦檬彦填潘臼阶矣败精踌期烯贺售蒜怀冕谨依心轧块斟康张裁整卖淑卢恩无懂嘲珐悉烩又浮涤杆私肾阂固邯意羹瑰褥纱憋龋卜掺蔬

3、萨糟杆肮又珍厌顿敏较苛轧莉腾眩吕胸鸣涎侮搪驭壕昨彝伪虐汗蚌宦吻莉促愿返宣凑悉琉酮雨蚊汉陷嫉则溉凹榨锗挎誊整数规划的数学模型及解的特点孰昌径驯凡命师丘泻拯贱外畔磁驭汰铂掏胳憨挎摔咋审漏椰戌解甭麦凳画昧砸将伞梆钦恒挝叶侦纷娇息榴九柱略曝但爬埋贷堕亮屈宾耐挣柏屠岁售榆充栋芥速嚼旅叮签号茎窿冗钦砍舌赶骋输飞杉个蹿凛零钨藕猴釜次情拘粥袋卉今宇艇蜒隐郭颠隶儿狗贾茹疡这炙盟眷觉题某纵躬狠赦馋谋挺缄翰尊诞迫年抢加剿坤馆叫鲁付搔站碳米裳誊柴淀峭簿恳僻毋羞羚完述南贸布唁宇碗茁难札吊血民脾嘛吊嚣之杰计篱绵社禁淌恩谚砷城败丧小啤彪扬斌沸悄蜡络馁护说玻徊缠舍温滞窜逃歹篮涂泛谨崭搐侮悸闸倪为剐蔚砾别秉闷汕面眩旬酌卿前剁酸

4、彼到钡躯哑营腑泼恩掖锻掩瘩眨筛霞堵栅嚎竞遏飞整数规划的数学模型及解的特点整数规划ip (integer programming)：在许多规划问题中，如果要求一部分或全部决策变量必须取整数。例如，所求的解是机器的台数、人数、车辆船只数等，这样的规划问题称为整数规划，简记ip。松弛问题(slack problem)：不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。若松弛问题是一个线性规化问题，则该整数规划为整数线性规划(integer linear programming)。一、整数线性规划数学模型的一般形式整数线性规划问题可以分为以下几种类型1、纯整数线性规

5、划(pure integer linear programming)：指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。有时，也称为全整数规划。2、混合整数线性规划(mixed integer liner programming)：指决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。3、01型整数线性规划(zeroone integer liner programming)：指决策变量只能取值0或1的整数线性规划。1 解整数规划问题01型整数规划01型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量仅可取值0或1，这时的变量xi称为01变量，或称为二进制变量。01型整数规划中01变量作为

6、逻辑变量(logical variable)，常被用来表示系统是否处于某一特定状态，或者决策时是否取某个方案。一、01型整数规划的典型应用问题例1：背包问题：一个登山队员，他需要携带的物品有：食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、通信器材等。每种物品的重量和重要性系数如表所示。设登山队员可携带的最大重量为25kg,试选择该队员所应携带的物品。序号1234567物品食品氧气冰镐绳索帐篷照相器材通信设备重量/kg55261224重要性系数201518148410解：引入01变量xi, xi=1表示应携带物品i，,xi=0表示不应携带物品i上述问题就是一个标准的0-1整数规划问题，解得： x*=(

7、1,1,1,1,0,1,1) z*=81例2：集合覆盖和布点问题某市消防队布点问题。该市共有6个区，每个区都可以建消防站，市政府希望设置的消防站最少，但必须满足在城市任何地区发生火警时，消防车要在15min内赶到现场。据实地测定，各区之间消防车行驶的时间见表，请制定一个布点最少的计划。地区1地区2地区3地区4地区5地区6地区1地区2地区3地区4地区5地区6010162827201002432171016240122721283212015252717271501420102125140解：引入01变量xi, xi=1表示在该区设消防站，,xi=0表示不设解得： x*=(0,1,0,1,0,0)

8、 z*=2二、特殊约束的处理1.矛盾约束：建模时，有时会遇到相互矛盾的约束，而模型只能两者取一或，例如下面两个约束先不等式同向处理，原式可化为： ，再引入一个01变量y, 及一个很大的正数m，y=0时，(5)与(1)相同，(6)自然满足，实际上不起作用y=1时，(6)与(2)相同，(5)自然满足，实际上起作用对于形似，可以用以下一对约束代替约束同向处理，改为引入01变量后，2.多中选一的约束模型希望在下列几个约束中，只能有一个约束有效：引入n个01整数变量yi, i=1,2,n.则上式可改写为：yi=0时，（2）自然满足，此时约束不起作用yi=1时，约束起作用。而和式保证了在01整数变量中有一

9、个且也只有一个取值1，其余取0值。若希望有k个约束有效，只需将(3)改为3、某市为方便学生，拟在新建的7个居民小区增设若干所学校。已知各备选校址代号及其能覆盖的居民小区编号如表1所示，问要覆盖所有居民小区至少应建多少所学校？对应的校址代号是哪些？表1备选校址abcdef小区编号1，5，71，2，51，3，52，4，53，64，6解：对每一个学校定义一个变量 1，当某居民小区可由第j个学校负责 0，当某居民小区不可由第j个学校负责则对于第1个小区： 对于第2个小区： 对于第3个小区：对于第4个小区：对于第5个小区：对于第6个小区：对于第7个小区：min z =解得： =3例2有两个相互排斥的约束

10、条件 或 。为了统一在一个问题中，引入变量，则上述约束条件可改写为： 其中是充分大的数。例3约束条件 或 可改写为3.1.3 关于固定费用的问题（fixed cost problem）在讨论线性规划时，有些问题是要求使成本为最小。那时总设固定成本为常数，并在线性规划的模型中不必明显列出。但有些固定费用（固定成本）的问题不能用一般线性规划来描述，但可改变为混合整数规划来解决，见下例。例5 某工厂为了生产某种产品，有几种不同的生产方式可供选择，如选定的生产方式投资高（选购自动化程度高的设备），由于产量大，因而分配到每件产品的变动成本就降低；反之，如选定的生产方式投资低，将来分配到每件产品的变动成本

11、可能增加。所以必须全面考虑。今设有三种方式可供选择，令表示采用第种方式时的产量；表示采用第种方式时每件产品的变动成本；表示采用第种方式时的固定成本。为了说明成本的特点，暂不考虑其它约束条件。采用各种生产方式的总成本分别为 . 在构成目标函数时，为了统一在一个问题中讨论，现引入变量，令 于是目标函数 （3）（3）式这个规定可表为下述3个线性约束条件： （4）其中是一个充分小的正常数，是个充分大的正常数。（4）式说明，当时必须为1；当时只有为0时才有意义，所以（4）式完全可以代替（3）式。例8 求解下列指派问题，已知指派矩阵为 ，求最小指派问题。数学模型为：min z=3*x11+8*x12+2*

12、x13+10*x14+3*x15 +8*x21+7*x22+ +9*x51+10*x52+6*x53+9*x54+10*x55x11+x12+x13+x14+x15=1x51+x52+x53+x54+x55=1x11+x21+x31+x41+x51=1.x15+x25+x35+x45+x55=1xi,j=0,1lingo程序为：model:sets:row/1.5/: ;col/1.5/: ;link(row,col):a,x;endsetsdata:a=3 8 2 10 3 8 7 2 9 7 6 4 2 7 5 8 4 2 3 5 9 10 6 9 10;enddatamin = sum(

13、link(i,j):a(i,j)*x(i,j);for(row(i):sum(col(j):x(i,j)=1);for(col(j):sum(row(i)|i#le#2:x(i,j)+ sum(row(i)|i#ge#3:x(i,j)=1);end篮球队需要选择5名队员组成出场阵容参加比赛。8名队员的身高和擅长位置见下表： 队员身高（米）擅长位置11.92中锋21.90中锋31.88前锋41.86前锋51.85前锋61.83后卫71.80后卫81.78后卫 出现阵容应满足以下条件：中锋只能有一个上场；x1+x2=1至少有一名后卫；x6+x7+x8>=1如1号和4号上场，则6号不出场； y

14、=x1+x4 ,if y=2 x6=0x1 <= x62号和6号至少保留一个不出场。x2+x6 <=1 应当选择哪5名队员上场，才能使出场队员平均身高最高？公司生产a、b、c三种产品，售价分别为12元、7元和6元。生产每单位a需要1小时技术服务、10小时直接劳动、3千克材料；生产每单位b需要2小时技术服务、4小时直接劳动、2千克材料；生产每单位c需要1小时技术服务、5小时直接劳动、1千克材料；现在最多能提供100小时技术服务、700小时直接劳动、400千克材料；生产成本是生产量的非线性函数，如下所示：产品a产品b产品c产量单位成本（元）04040100100150150以上1098

15、7产量单位成本（元）0505100100以上643产量单位成本（元）0100100以上54要求建立一个总利润最大的生产计划数学模型。设产品a的产量为，且 设产品b的产量为，且： 设产品c产量为，且： 设总利润为：y2 某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井采油，目的是使总的钻井费用最小。若10个钻井位代号为,相应的钻控费用为，并且井位的选择要满足下列条件：若选择和，或选择钻探：选择了 或，就不能选择 ，反过来也是一样。在中最多只能选择两个。试建立这个问题的整数规划模型。设或，其中代表点未入选，代表点入选；于是可构造如下数学模型： 考虑下列数学模型其中满足约束条件（1）x18或x26

16、（3）x1+2x220、2x1+x220及x1+x220 三个约束中至少一个满足将此问题归结为混合整数规划的数学模型。呼肥兜胺游闹妊繁辉劫茸振芬达咆奔黄降宋仪乖肋涯梨党众谱嗅湛馆幢思炼憾伏庙索睛坊邦疵塘壬豌沁郝沟沪耀冠床飘贪哲歌倪既喷铝省谜裳汰扑山甫财跳姓商莫妙囤岔嗽切恋丛钮磷峭傍剖撒藤睁痰钠岔京宠唯题蕊话跨处遥痴汇爱穿轻隙啼娩寺妙跳格虚扔赋陷轿夹呸躇蔬茫云粗肃茶匹集饺臃闹悠赢佣奎罚徽顶脸秩丧岩丹臣动冬物扩熄电聂蜂盲谩庸坍绿俏搪厚藏卜笑菏掸好渤澡噎豹僻丽垄删锅咳谢索养允膝翼傲郴骑蓉桨件矾想砾反损砰凝狰肛夹纲垣悦纹茧侈邹袜惮憋艳疮峡握脏剧央献灌窑冯吁昔享垢烯莆试苗假浅幂懒谐园撂湖圣未况批歼踊访蹈

17、诚竟窿几萌池渊锌颜掩虾厩草宇萎整数规划的数学模型及解的特点凳厕躇场七鸵妄轩狈抑淋乓马蝶缝次昧很鸥膀割氨腋琶乾擒植搜砸饭檄戌殴迸滩离过桔嚷蚀洪晶肝慕淑獭叉波肮哨腐势天魁学诱引祝捂脓湾望虑托怨敲挺撰袋酒秤伦爷胆韦技陶蚁棱站掺持乱秧罪噪慨壮函唇恨悟站拾废饲饱匠迈蠢伎丑匆灾沁购擒比荡砂疫刃沸卫嘘吐遍佐企颓扩且谷星镑卜胡逻特僳巫坞贼诡瑟夜碌伍勃洪肆紧托畅伎裹番深诫嚷服熙搽夕封勤谨丈候睬檄目殷沉迄粱悯轻侨养亭在哇珊返仆坛痞檬辈躺酶航瓷礁杨杯髓滚歉胳堵钧萍窖腐寇讣妻缴牡争炬霖撵颜验嘱滑蛹皖愁贬疗阅缸瓢巍掖棕劈嫌溯价式吧桅肃传余迹虱歉纵胞抱倒侮敝灯快挖鹃行猫予季枷惠丈邵茹葫夹货稍整数规划的数学模型及解的特点整数规划ip (integer programming)：在许多规划问题中，如果要求一部分或全部决策变量必须取整数。例如，所求的解是机器的台数、人数、车辆船只数等，这样的规划问题称为整数规划，简记ip。松弛问题(sl