最新投影定理及投影作图方法

1、 2.1 2.1 从属问题从属问题2.2 2.2 平行问题平行问题2.3 2.3 相交问题相交问题2.4 2.4 垂直问题垂直问题2.5 2.5 最大斜度线最大斜度线2.6 2.6 线段实长与倾角的求法线段实长与倾角的求法 一一. .线上取点定理（线上取点定理（线上点的投影线上点的投影）线上点的投影必在线的各同面投影上；线上点的投影必在线的各同面投影上；点分割线段之比在各投影中保持不变。点分割线段之比在各投影中保持不变。2.1 2.1 从属问题从属问题 点属于线、点或线属于面点属于线、点或线属于面xobbaakvabbaabhkkkk 例例1 1：判断点：判断点c c是否在线段是否在线段aba

2、b上。上。c abca b abca b c 在在不在不在2.1 2.1 从属问题从属问题 点属于线、点或线属于面点属于线、点或线属于面 例例2 2：已知点：已知点k k在线段在线段abab上，求点上，求点k k正面投影。正面投影。解法一：解法一：解法二：解法二：aa b bka b k k aa b bkk （应用第三投影）（应用第三投影）（应用定比定理）（应用定比定理）2.1 2.1 从属问题从属问题 点属于线、点或线属于面点属于线、点或线属于面 二二. .属于平面上的点和线属于平面上的点和线 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后

3、再在该直线上确定点的位置。然后再在该直线上确定点的位置。 面上取点的方法：面上取点的方法：首先面上取线首先面上取线m mn n 若一直线过平面上的若一直线过平面上的两点，则此直线必在该两点，则此直线必在该平面内。平面内。位于平面上的直线应满足的条件：位于平面上的直线应满足的条件：a ab bm m 若一直线过平面上的一点且平若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线，则此行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。直线在该平面内。 2.1 2.1 从属问题从属问题 点属于线、点或线属于面点属于线、点或线属于面 abcb c a 例例3 3：已知平面由直线：已知平面由直线abab、acac

4、所确定，试在平面内任作一条直线。所确定，试在平面内任作一条直线。解法一：解法一：解法二：解法二：有多少解？有多少解？有无数解！有无数解！n m nmabcb c a d d2.1 2.1 从属问题从属问题 点属于线、点或线属于面点属于线、点或线属于面 例例4 4：在平面：在平面abcabc内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到h h面的距离为面的距离为10mm10mm。n m nm10c a b cb 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？2.1 2.1 从属问题从属问题 点属于线、点或线属于面点属于线、点或线属于面a 在给定平面上取投影面的平行线在给定平面上取投影面的平行线 根据面上取点

5、取线的作图法，可在给定平面上任意取各投影面的平行线。 2.1 2.1 从属问题从属问题 点属于线、点或线属于面点属于线、点或线属于面 例例5 5：已知：已知k k点在平面点在平面abcabc上，求上，求k k点的水平投影。点的水平投影。baca k b c d d利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解kabca b k c k2.1 2.1 从属问题从属问题 点属于线、点或线属于面点属于线、点或线属于面 bckada d b c k 例例6 6：已知：已知acac为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形abcdabcd的水平投影。的水平投影

6、。解法二：解法二：cada d b c 解法一：解法一：b2.1 2.1 从属问题从属问题 点属于线、点或线属于面点属于线、点或线属于面 一一. . 两线平行定理（线与线平行）两线平行定理（线与线平行） 平行二线的各同面投影均平行；平行二线的各同面投影均平行； 平行二线的线段长之比在各投影中保持不变。平行二线的线段长之比在各投影中保持不变。bcdh had accv vadbbacdbcdabo ox x2.2 2.2 平行问题平行问题 线与线、线与面、面与面线与线、线与面、面与面 例例1 1：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。 对于一般位置直线，只要对于一般位置直线，只要

7、有两组同名投影互相平行，空有两组同名投影互相平行，空间两直线就平行。间两直线就平行。abab与与cdcd平行。平行。a b c d abcdc a b d abab与与cdcd不平行。不平行。 对于特殊位置直线，只有对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相平行，空间两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行。直线不一定平行。cbadd b a c b d c a 2.2 2.2 平行问题平行问题 线与线线与线、线与面、面与面、线与面、面与面 二二. .线与面平行线与面平行 线面平行作图法：线面平行作图法：若空间有一直线与某一平面平行，若空间有一直线与某一平面平行，则该平面必需包含有一条与空间直线平

8、行的直线；反之，则该平面必需包含有一条与空间直线平行的直线；反之，若平面上有一条与空间直线平行的直线，则该面与空间若平面上有一条与空间直线平行的直线，则该面与空间直线平行。直线平行。abefp2.2 2.2 平行问题平行问题 线与线、线与面、面与面线与线、线与面、面与面 hhgffgeebacacbxo1.1.过已知点作线平行已知面过已知点作线平行已知面 eg/ac eg/abc ef/ab ef/abc eh/bc eh/abc2.2 2.2 平行问题平行问题 线与线、线与线、线与面线与面、面与面、面与面 gffgeeababxo2.2.过已知点作面平行已知线过已知点作面平行已知线efg/a

9、beg/ab2.2 2.2 平行问题平行问题 线与线、线与线、线与面线与面、面与面、面与面 二面平行作图法：二面平行作图法：若要使平面与平面之间互相平行，若要使平面与平面之间互相平行，则此两平面上必须分别有不平行的两直线对应平行。反之，则此两平面上必须分别有不平行的两直线对应平行。反之，若两平面上分别有不平行的两直线对应平行，则此两平面若两平面上分别有不平行的两直线对应平行，则此两平面必平行。必平行。三三. .面与面平行面与面平行pacbqegf2.2 2.2 平行问题平行问题 线与线、线与面、面与面线与线、线与面、面与面 gacbxbaceeogff过已知点作面平行已知面过已知点作面平行已知

10、面eg / abef / acefg/abc2.2 2.2 平行问题平行问题 线与线、线与面、线与线、线与面、面与面面与面 一一. .两线相交定理两线相交定理 相交二线的各同面投影均相交；相交二线的各同面投影均相交； 且有一共有的线上点（交点）。且有一共有的线上点（交点）。交点是两直交点是两直线的共有点线的共有点ac v vx xb h hdacdkcakkd bo obcabd b a c d kk 2.3 2.3 相交问题相交问题 线与线、线与面、面与面线与线、线与面、面与面 d k kd先作正面投影先作正面投影cabb a c 例例1 1：过：过c c点作水平线点作水平线cdcd与与ab

11、ab相交。相交。2.3 2.3 相交问题相交问题 线与线、线与面、面与面线与线、线与面、面与面 例例2 2：判断直线：判断直线abab、cdcd的相对位置。的相对位置。c abdabcd相交吗？不相交！不相交！为什么？为什么？ 交点不符合空交点不符合空间点的投影特性。间点的投影特性。判断方法？判断方法？应用定比定理应用定比定理利用侧面投影利用侧面投影2.3 2.3 相交问题相交问题 线与线线与线、线与面、面与面、线与面、面与面 两线交叉两线交叉cacabddbo ox xaccaacv vbh hdddbb为什么？为什么？两直线相交吗？两直线相交吗？不相交！不相交！交点不符合点的投影规律！交点

12、不符合点的投影规律！ accaacv vbh hdddbbcacabddbo ox x1(2)21 同名投影可能相交，但交点同名投影可能相交，但交点不符合点的投影规律不符合点的投影规律。 交点是两直线上的一对交点是两直线上的一对重影点的投影重影点的投影，用其可判断，用其可判断两线的空间位置。两线的空间位置。211(2)43(4 )33(4 )34 投影特性：投影特性： 两线交叉两线交叉 二二. .线与面相交线与面相交直线与平面直线与平面相交，必有一共相交，必有一共有点，即交点。有点，即交点。 要在这个平要在这个平面上求得这一交面上求得这一交点，必需先在平点，必需先在平面上取一包含交面上取一包含

13、交点的直线点的直线2.3 2.3 相交问题相交问题 线与线、线与面、面与面线与线、线与面、面与面 n后前cbcaefoxeafn一般位置线与垂直面相交一般位置线与垂直面相交垂直线与一般位置面相交垂直线与一般位置面相交kkae(f)bckxoabcefk2.3 2.3 相交问题相交问题 线与线、线与线、线与面线与面、面与面、面与面 一般位置线与一般位置面相交一般位置线与一般位置面相交1 1）包含已知线）包含已知线efef作辅助平面作辅助平面r r（垂直于某一投影面）；（垂直于某一投影面）；三三步步求求交交法法2 2）求此辅助平面）求此辅助平面r r与已知平面与已知平面abcabc的交线的交线mn

14、mn；3 3）求此交线）求此交线mnmn与已知直线与已知直线efef的交点的交点k k。2.3 2.3 相交问题相交问题 线与线、线与线、线与面线与面、面与面、面与面 可见性判断可见性判断2.3 2.3 相交问题相交问题 线与线、线与线、线与面线与面、面与面、面与面 可见性判断可见性判断重影点法重影点法+ +逻辑推理逻辑推理 线面相交时，可由重影区段的端部重影点进行；线面相交时，可由重影区段的端部重影点进行； 面面相交时，可由重影区域的某一对重影点进行。面面相交时，可由重影区域的某一对重影点进行。2.3 2.3 相交问题相交问题 线与线、线与面、面与面线与线、线与面、面与面 nn一般位置线与一

15、般位置面相交一般位置线与一般位置面相交cbcaefoxeafbmmkkrh三步求交法三步求交法1)作辅助面rh2）求rh面与abc 面的交线mn3）求mn与ef的交点k2.3 2.3 相交问题相交问题 线与线、线与线、线与面线与面、面与面、面与面 三三. .面与面相交面与面相交1 1）两平面的交线是一条直线。它是双方的共有部分。）两平面的交线是一条直线。它是双方的共有部分。 2 2）只要求得交线上的两个共有点，或一点一已知方向，问题就解决。）只要求得交线上的两个共有点，或一点一已知方向，问题就解决。 3 3）求解方法有：）求解方法有：三步求交法和三面共点法。三步求交法和三面共点法。 （一）用（

16、一）用 “ “三步求交法三步求交法”求两平面交线求两平面交线1 1）用）用“三步求交法三步求交法”作出一个平面上的任一直线与另一平面的交作出一个平面上的任一直线与另一平面的交点。点。 2 2）用）用“三步求交法三步求交法”再作出一个平面上另一直线与另一平面的交再作出一个平面上另一直线与另一平面的交点。点。 3 3）将这两点连线即为所求的交线。）将这两点连线即为所求的交线。2.3 2.3 相交问题相交问题 线与线、线与面、面与面线与线、线与面、面与面 特位面与一般位置面相交特位面与一般位置面相交mnmn交线的水平投影交线的正面投影gbeafcaefcbgxo2.3 2.3 相交问题相交问题 线与

17、线、线与面、线与线、线与面、面与面面与面 gbcfeaxoaefgcbqhpv求eg与abc面的交点m求fg与abc面的交点n连mn即为交线判断可见性mnmn2.3 2.3 相交问题相交问题 线与线、线与面、线与线、线与面、面与面面与面 三面共点法：三面共点法：人为地设立第三面与之相交。三平面交人为地设立第三面与之相交。三平面交于一点，此点就是共有点，属三方共有。第三面应是特于一点，此点就是共有点，属三方共有。第三面应是特殊位置平面。殊位置平面。 2.3 2.3 相交问题相交问题 线与线、线与面、线与线、线与面、面与面面与面 用三面共点法求解用三面共点法求解pvqh 2.4 2.4 垂直问题垂

18、直问题 线与线、线与面、面与面线与线、线与面、面与面一一. .两线垂直两线垂直 直角投影定理：直角投影定理：互相垂直的两直线，若一直线平行于投影面，则这两直线在该投影面的投影，反映直角。反之，若两直线的某一投影呈直角，且其中一直线平行于该投影面，则此两线必垂直。2.4 2.4 垂直问题垂直问题 线与线、线与面、面与面线与线、线与面、面与面 若直线垂直于平面，则该线必垂直于平面上的一切直线。二二. .直线垂直于平面直线垂直于平面线面垂直作图法：线面垂直作图法：若一直线与一平面垂直，则该线的水平投影必垂直于该面的投影面水平线的水平投影；正面投影必垂直于该面的投影面正平线的正面投影；侧面投影必垂直于

19、该面的投影面侧平线的侧面投影 。2.4 2.4 垂直问题垂直问题 线与线、线与面、面与面线与线、线与面、面与面 1.1.过已知点作线垂直于已知面过已知点作线垂直于已知面llxobackabck2.4 2.4 垂直问题垂直问题 线与线、线与面、面与面线与线、线与面、面与面 2.2.过已知点作面垂直于已知线过已知点作面垂直于已知线hhggxobaeabe2.4 2.4 垂直问题垂直问题 线与线、线与面、面与面线与线、线与面、面与面 三三. .平面垂直于平面平面垂直于平面若一直线垂直于一平面，则包含该线所作的一切平面均若一直线垂直于一平面，则包含该线所作的一切平面均与该平面垂直。反之，若二平面互相垂

20、直，则过第一平面与该平面垂直。反之，若二平面互相垂直，则过第一平面内的任一点，向第二平面所作的垂线，必在第一平面上。内的任一点，向第二平面所作的垂线，必在第一平面上。2.4 2.4 垂直问题垂直问题 线与线、线与面、面与面线与线、线与面、面与面 四四. .双垂直问题双垂直问题 所谓所谓“双垂直双垂直”，是指直线与平面，或平面与平面，是指直线与平面，或平面与平面，在互相垂直的同时，其中一方又垂直于某投影面。这样，在互相垂直的同时，其中一方又垂直于某投影面。这样，与投影面垂直的一方，必然在该投影面上产生积聚投影；与投影面垂直的一方，必然在该投影面上产生积聚投影；与此同时，另一方则必与该投影面平行。与此同时，另一方则必与该投影面平行。2.4 2.4 垂直问题垂直问题 线与线、线与面、面与面线与线、线与面、面与面 2.