几种参数方程确定的函数的导数ppt课件

1、定义定义: :.)(0),(称为隐函数称为隐函数所确定的函数所确定的函数由方程由方程xyyyxF .)(形式称为显函数形式称为显函数xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.?0; 101222 yyxexyyxxy例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程解解,求导求导方程两边对方程两边对x0 dxdyeedxdyxyyx解得解

2、得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 yeexyyyeyyy )(),(, 为中间变量，为中间变量，例例2 2.)1 , 0(, 144处的值处的值在点在点求求设设yyxyx 解解求求导导得得方方程程两两边边对对 x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求导得求导得两边再对两边再对将方程将方程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代入代入.16110 yxy例例3 3.)323, 2(191622处的切线方程在点求椭圆yx解解1613)(2

3、xy法一求导得两边对（法二）将方程x43)2(0928yyyx).2(43323xy方程为例例4 4：上上点点，求求过过的的方方程程为为设设曲曲线线CxyyxC333 解：解：,求求导导方方程程两两边边对对 xyxyyyx 333322),(),(2323222323 xyxyy 。1 所求切线方程为所求切线方程为)23(23 xy。即即03 yx2323 xy法线方程为法线方程为。即即xy 故曲线通过原点。故曲线通过原点。，时时，当当00 yx，xyxyy 22 在在该该点点的的法法并并证证明明曲曲线线的的切切线线方方程程C,),(2323。线线通通过过原原点点。，求，求：例例222255d

4、xyd dxdyxyy sin解：解：两边对两边对x求导数得求导数得xyyyy210 cosyyxycos 102的的表表达达式式两两边边求求导导数数得得对对y 210102102)cos()sin()cos(yyyyyxyyy 。32210104102)cos()sin()cos(yyyxyy 观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :.)()(的情形的情形数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu

5、 .1 ln xx 例：例： ,1 ln0 xxx 时，时，当当 ,1)1(1 ln0 xxxx 时，时，当当 .1 ln xx 总有总有例例4 4解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy 4ln21ln311lnln求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设例例5 5解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求求导导得得上上式式两两边边对对 xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxx

6、xyy )sinln(cossinxxxxxx 求求导导法法求求导导：也也可可直直接接根根据据复复合合函函数数)ln(sinlnsin xxexx1sinlncossinxxxxxx )()(lnsinsin xxxexy一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 适用范围适用范围: :.)()(的情形的情形数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu练习练习.),0(yxxyx求设.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确

7、称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?t),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都可导都可导再设函数再设函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx .)(1是中

8、间变量是中间变量xt ,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即dtdxttdtd)()( dxdtdtdxdyd .)(1是中间变量是中间变量xt 例例解：解：dtdxdtdydxdy ，ttcossin 1taatacossin 212 2 cossin tdxdy。1 处处的的切切线线方方程程。在在求求摆摆线线21 ttayttax)cos()sin(。，时时，当当ayaxt )(122 所求切线方程为所求切线方程为)12( ax

9、ay。即即)(22 axy例例7 7解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 dxdtttdtd)()( dxdtdtdxdyd dtdxttdtd)()( 例例解解.的速度大小炮弹在时刻)2(;的运动方向炮弹在时刻)1(求,21sin,cos其运动方程为,发射炮弹发射角,以初速度,不计空气的阻力002000ttgttvytvxvxyovxv

10、yv0v.可由切线的斜率来反映,时刻的切线方向轨迹在时刻的运动方向即在)1(00tt)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt轴方向的分速度为轴方向的分速度为时刻沿时刻沿炮弹在炮弹在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 时刻炮弹的速度为时刻炮弹的速度为在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv .,)(:),(,)()(化率称为相关变化率化率称为相关变化率这样两个相互依赖的变这样两个相互依赖的变之

11、间也存在一定关系之间也存在一定关系与与从而它们的变化率从而它们的变化率之间存在某种关系之间存在某种关系与与而变量而变量都是可导函数都是可导函数及及设设dtdxxfdtdydtdydtdxxfyyxtyytxx 相关变化率问题相关变化率问题: :已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?dtdxxfdtdyxfy)(),( 即即可可得得建建立立关关系系求法：求法：例例9 9解解?,500./140,500率率是是多多少少观观察察员员视视线线的的仰仰角角增增加加米米时时当当气气球球高高度度为为秒秒米米其其速速率率为为上上升升米米处处离离地地面面铅铅直直一一汽

12、汽球球从从离离开开观观察察员员则则的仰角为的仰角为观察员视线观察员视线其高度为其高度为秒后秒后设气球上升设气球上升, ht500tanh 求导得求导得上式两边对上式两边对tdtdhdtd 5001sec2 ,/140秒秒米米 dtdh2sec,5002 米时米时当当h)/(14. 0秒秒弧度弧度 dtd 仰角增加率仰角增加率 米米500米米500例例1010解解?,20,120,4000,/803水水面面每每小小时时上上升升几几米米米米时时问问水水深深的的水水槽槽顶顶角角为为米米形形状状是是长长为为水水库库秒秒的的体体流流量量流流入入水水库库中中米米河河水水以以则则水库内水量为水库内水量为水深为水深为设时刻设时刻),(),(tVtht234000)(htV 求导得求导得上式两边对上式两边对tdtdhhdtdV 38000,/288003小时小时米米 dtdV小时小时米米/104. 0 dtdh水面上升之速率水面上升之速率0604000m,20米时米时当当 h 22232212:hhhh 截截面面积积小结隐函数求导法则隐函数求导法则: : 直接对方程两边求导直接对方程两边求导;对数求导法对