北京市朝阳区高三(上)期中数学试卷(文科)(解析)

1、2016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项.1.已知集合 A=x|x (x- 1) <0, xC R, B=x|y<x<2, xC R,那么集合 A AB=()a. ? b.xR c. x| -2vxv2, xC R D. x| -2<x<1, xUiCR2.下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（A . y=x - 1 B . y=tanx C. y=x 3D. 产一士33 .已知sinx=V 贝U sin2x的值为()

2、5A"B空C辿或-迫D义A- 25 B, 25 0 25. 2s D' 25或一24254 .设 x C R 且 xw0,则x>1”是x>2”成立的（A.充分而不必要条件B .必要而不充分条件第3页(共16页)C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件5.设m, n是两条不同的直线，a, 3是两个不同的平面.下列命题正确的是（）A.若 m? a, n? & mn,则 a,阳.若 a/ & m± a, n / & 则 m± nC.若 a± 3, m± a, n / 3,则 m / n D.若 a

3、7; 3, a n=m, n±m,则 n± 36.已知三角形 ABC外接圆。的半径为1 (O为圆心)，H0§+X=0, |0A| =2|A&| ,则回EA.B.C.15D.7.已知函数f（x）r k+1 3lDg? X*贝U函数 g (x) =f (f (x)的零点个数是A. 4 B. 3C. 2 D, 18 . 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A.总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多 B.总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多 C.总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个 D.总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个二、

4、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上9 .设平面向量力二（1, 2）, b= （-2, y）,若分/b,则y=310 .已知角 A为二角形的一个内角，且cosA=", sinA=cos2A=11 .已知 a=log2.10.6, b=2.1°.6, c=log0.50.6,则 a, b, c 的大小关系是 .12 .各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,若33=2,S4=5S2,则ai的值为S4的值为13.已知函数f (x)=2 LUX(2 (,ID 1)2、x<0在(-+8)上是具有单调性，则实数 m的取值范围14 .九章算术是我国

5、古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：今有良马与弩马发长安，至齐.齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，弩马初日行九十七 里，日减半里.良马先至齐，复还迎弩马，问几何日相逢.”其大意为： 现在有良马和弩马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，弩马第一天行 97里，之后每天比前一天少行 0.5里.良马到齐后，立 刻返回去迎弩马，多少天后两马相遇.”试确定离开长安后的第天，两马相逢.三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15 .已知数列an (nCN*)是公差不为0的等差数

6、列，若31 = 1 ,且32, 34, 38成等比数列.(I )求%的通项公式；| 1 |X0).,J(n )若bn=-,求数列bn的前n项和Sn. an air+l16 .已知函数f (x) =3sinx - V3cosx(3C R)的图象经过点(I )求f (x)的最小正周期;(n)若 xe 3TT一,求f (x)的取值范围.cos/ BDC=(n)求 AD.17 .如图，已知 A,B,C,D 四点共面，且 CD=1 ,BC=2,AB=4，/ABC=120(I )求 sin / DBC;18 .如图，四边形 ABCD为矩形，PAL平面ABCD , DE/PA.(I )求证：BCXCE；(n

7、 )若直线m?平面PAB,试判断直线 m与平面CDE的位置关系，并说明理由;(出)若AB=PA=2DE=2 , AD=3 ,求三棱锥 E- PCD的体积.19.已知函数Cax+1 f (x) =-T eaC R.(I )若曲线(n)若函数y=f (x)在点( f (x)在区间(0, f (0)处切线斜率为-2,求函数f (x)的最小值;0, 1)上无极值，求a的取值范围.20.已知函数f (x) =ax- - - (a+1) lnx, aCR.(I)若a=-2,求函数f (x)的单调区间;(n )若a> 1,且f (x) >1在区间,e上恒成立，求a的取值范围;(III )若 a,

8、判断函数g (x) =xf (x) +a+1的零点的个数.2016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（文 科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项.1 .已知集合 A=x|x （x - 1） <0, xC R, B=xvxv2, xC R,那么集合 A AB=（）A. ? B.正 R C. x| -2vxv2, xC R D. x| -2<x<1, xmCR【考点】交集及其运算.【分析】化简集合A,根据交集的定义求出 AAB即可.【解答】 解：集合 A=x|x （x1） <

9、0, x R=x| 0<x< 1, xCR,B=x| 4V x< 2, x C R,集合 AAB=x|y<x< 1, xC R.故选：B.2.下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（）A . y=x - 1 B , y=tanx C. y=x3D. 产一亍【考点】函数奇偶性的判断.【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可.【解答】 解：A. f （x） =x-1是非奇非偶函数，不满足条件.B. y=tanx是奇函数，在定义域上函数不是单调函数，不满足条件.C. y=x3 是奇函数，在定义域上为增函数，满足条件.D.y= 一二是奇函数

10、，在定义域上不是单调函数，不满足条件.故选：C33 .已知sinx=£1,贝U sin2x的值为（）1224_12 四 一 24A- 25 B, 25 0 芯或 25 D, 25 或-25【考点】二倍角的正弦.【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosx,进而利用二倍角的正弦函数公式即可计算求值.【解答】解：sinx=.,cosx=±VL-sin2K，sin2x=2sinxcosx=2 xX 5故选：D.4 .设xCR且xw0,则X>1”是文曰>2”成立的（）A .充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件【考点】必

11、要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据基本不等式的性质，结合充分不必要条件的定义进行判断即可.【解答】解：当x<0时，不等式x+>2不成立，当x>0时，x*%J J=2,当且仅当x,即x=1时，取等号，当x>1时，不等式x>2成立，反之不一定成立，是充分不必要条件， 故选：A5 .设m, n是两条不同的直线，a, 3是两个不同的平面.下列命题正确的是（A.若 m? a, n? 3, mn,则 a,阳.若 a/ 3, m± a, n / 3,则 m± nC.若 a± 3, mX a, n II 以贝U m II nD.若 a&#

12、177; 3, a n=m, n±m,则 n± 3【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.【分析】在A中，a与3相交或平行；在 B中，推导出mX 3,所以mn；在C中，m与 n相交、平行或异面；在 D中，n与3相交、平行或n? 以【解答】 解：由m, n是两条不同的直线，% 3是两个不同的平面，知：在A中，若m? a, n? & m±n,则a与3相交或平行，故 A错误；在B中，若all 3, m! ”，nil 3,则m1 3,所以m±n,故B正确；在C中，若a± 3, m± a, n /氏则m与n相交、平行或异面，故 C错误；

13、在D中，若a± 3, a n=m, n, m,则n与3相交、平行或 n? 3,故D错误.故选：B.6知三角形ABC外接圆。的半径为1 （O为圆心），HO§+X=O, J0A|=2|aE| ,则茂?而等于（）153153A. F B. -7C-V D-7【考点】平面向量数量积的运算.【分析】由题意可得三角形是以角 A为直角的直角三角形，解直角三角形求出相应的边和 角，代入数量积公式得答案.【解答】解：三角形ABC外接圆。的半径为1 （O为圆心），且而而=5,.O为BC的中点，故 ABC是直角三角形，/ A为直角.第5页（共16页）| BC| =2，| Ad =，故选：A.7.

14、已知函数f (x)=贝U函数 g (x) =f (f (x)的零点个数是A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【考点】函数零点的判定定理.【分析】作出函数的图象，先求出 f (x)=匕的根，然后利用数形结合转化为两个函数的交点个数即可.【解答】 解：作出函数f (x)的图象如图:11111当 xw。时，由 f (x)=4 x+1=,即 x= 1=,2222：1|1_L L当 x>0 时，由 f (x) 而得 10g2x=',即 x=2 =j2, 由 g (x) =f (f (x)寺=0 得 f (f (x) =1, 则 f (x) = -或 f (x) =f2,若 f (x)若

15、f (x)f (x)=-上有两个交点, 1=叵 此时方程f (x) =只有一个交点,第9页(共16页)则数g (x) =f (f (x)-二的零点个数是3个,故选：B8. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是(A.总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B .总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C.总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D.总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个【考点】进行简单的合情推理.【分析】5个黑球和4个白球，5为奇数，4为偶数，分析即可得到答案.【解答】 解：5为奇数，4为偶数，故总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多，故选：A二、填空题：

16、本大题共 6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9-设平面向量=bt (1, 2),匕=(-2, y),若启 / b ,则 y= - 4 -【考点】平行向量与共线向量.【分析】直接利用向量共线的坐标表示列式计算【解答】解： ¥ (1, 2), E=( 2, y),彳 /fb，1 X y=2 X ( - 2)一 y= 一 4故答案为：-434710 .已知角 A为三角形的一个内角，且cosA=E", sinA=_y_. cos2A=【考点】同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦.【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式，求得sinA和cos2A的值.

17、解：,一角A为三角形的一个内角，且/. sinA=cos2A=2cos2A - 1=2?25故答案为:11 .已知 a=log2.10.6, b=2.10.6, c=log0.50.6,贝U a, b, c 的大小关系是 b>c> a .【考点】对数值大小的比较.【分析】直接利用中间量 0“， 1”判断三个数的大小即可.【解答】 解：a=log2.10.6<0, b=2.10.6>1, 0v c=log0.50.6v 1b>c>a,故答案为：b>c> a.12 .各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,若as=2,S4=5S2,则a1的值为士

18、_ ,S4的值为与【考点】等比数列的前n项和.【分析】 经分析等比数列为非常数列，设出等比数列的公比，有给出的条件列方程组求出 ai和q的值，则S4的值可求.【解答】 解：若等比数列的公比等于1,由a3=2,贝U S4=4a3=4x 2=8, 5s2=5X 2S3=5x 2X2=20,与题意不符.设等比数列的公比为 q (qwl),由 33=2, S4=5S2,得:= 5(a q)整理得 一二 解得dA，q=±2.因为数列an的各项均为正数，所以 q=2.13.已知函数f (x)= 1)2% x<0+8)上是具有单调性，则实数 m故答案为的取值范围 (1,寸布【考点】函数单调性

19、的性质.【分析】函数f (x)在(-8, +OO)上是具有单调性，需要对 m分类讨论，当 m>1, mv-1, m=±1、0, - 1vmv0, 0v mv 1分别判断分段函数的单调性.【解答】 解：令 h (x) =mx2+1, x>0； g (x) = (m21) 2x, x<0；当m>1时，要使得f (x)在(-8, +oo)上是具有单调性，即要满足 m2- K 1? -m<-/2故：1vmw五；当m< - 1时，h (x)在x>0上递减，g (x)在x<0上递增，所以，f (x)在R上不具有单调性，不符合题意；当 m=±

20、;1 时，g (x) =0；当 m=0 时，h (x) =1；所以，f (x)在R上不具有单调性，不符合题意；当-1vmv0时，h(x)在x>0上递减，g(x)在x<0上递减，对于任意的 x>0, g (x) v 0；当 x-0 时，h (x) >0；所以，f (x)在R上不具有单调性，不符合题意； 当0vmv1时，h (x)在x>0上递增，g (x)在x<0上递减；所以，f (x)在RJ不具有单调性，不符合题意；故答案为：(1, 历14 .九章算术是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：今有良马与弩马发长安，至齐.齐去长安三千里，良马初日行一百九十三

21、里，日增一十三里，弩马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎弩马，问几何日相逢.”其大意为： 现在有良马和弩马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天 比前一天多行13里，弩马第一天行 97里，之后每天比前一天少行 0.5里.良马到齐后，立刻返回去迎弩马，多少天后两马相遇.”试确定离开长安后的第20天,两马相逢.【考点】等差数列的前n项和.【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出.【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列， 记为an,其中 ai=103, d=13；弩马每日行的距离成等差数列， 记为bn,其中 bi=97,

22、d=-0.5；设第 m 天相逢，贝U ai+a2+,+0m+bi+b2+,+bm1) =103m +2-I1) j 4一、反 I :+97m+一第10页（共16页）1)=200m+X 12.5R2X 3000,2|化为 m2+31m- 960>0,解得m?虫3°1-,取m=20 .故答案为：20.三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15 .已知数列an （nCN*）是公差不为0的等差数列，若a1=1 ,且签，a4, a8成等比数列.（I ）求an的通项公式；（口）若bn=T求数列bn的前n项和Sn. an airfl【考点】 数列的求

23、和；数列递推式.【分析】（I） a2, a4,电成等比数列，可得（a司）之二日.再利用等差数列的通项公式即可得出.111（I） bn=-TT=- -7,利用 裂项求和方法”即可得出.、arH-l n n+1【解答】解：（I ）设an的公差为d,因为a2, a4, a8成等比数列，所以（%）2二日2-Z8.即 &+3d)'二(a +d) +,即 d2=a1d.又 a1=1,且 d w 0,解得 d=1 .所以有 an=a1+ (n1) d=1= (n1) =n.(n )由(I )知：一口 n+1 ,则即 5n=l -n+1 n+1兀16.已知函数f (x) =asinx - JW

24、cosx (aC R)的图象经过点( 一4，0).(I )求f (x)的最小正周期;(n)若 xC 3TT二一,求f (x)的取值范围.【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象.【分析】(I )根据函数f (x)的图象过点(JIT,0),代入函数解析式求出 a的值，从而第11页(共16页)的图象经过点，0)所以f($一旁=0 )£>ii写出函数解析式并求出最小正周期；(n )根据x的取值范围，计算f (x)的最值，从而求出它的取值范围.【解答】解：(I )因为函数f(x)=asinx - '/5cosx解得a=1 ；所以 £(工)=sinE =2力口

25、(7T所以f (x)最小正周期为T=2兀;(n)因为7T71 71所以当K-日口旦，即7，时，f (x)取得最大值，最大值是2;n7 ju当r，【考点】 余弦定理；正弦定理.【分析】(I )利用已知及同角三角函数基本关系式可求siaZBDCY,进而禾I用正弦定3兀,即X吟一时，f (x)取得最小值，最小值是- 1;所以f (x)的取值范围是-1, 2.17 .如图，已知 A,B,C,D 四点共面，且 CD=1 ,BC=2,AB=4 ,/ABC=120 : cos/ BDC=-y-.(I )求 sin / DBC；(n)求 ad.理即可求得sin/DBC的值./ w7 cosZCDBC-（n ）

26、在 BDC中，由余弦定理可求 DB的值，利用同角三角函数基本关系式可求,进而利用两角差的余弦函数公式可求cos/ ABD的值，在4ABD中，由余弦定理可求AD的值.【解答】（本小题满分13分） 解：（I ）在 BDC中，因为所以对口Nbdc普L由正弦定理DCBCsin/DBC -ginZBDC得，sinZDBC=DC-sinZBDC V21BC14第13页（共16页）(n )在 BDC 中，由 BC2=DC2+DB22DC?DBcos/BDC得，4=H-DB2- 2DBy-.所以DBz-YDB-3=0.解得|DBWY或DB=一号工（舍）.由已知得/ DBC是锐角，又sinZDBC-ji,Vs

27、Vai.+ « - 2 14214所以 cgsZ1DBC=所以 cos/ ABD=cos=cos120 ° cos/DBC+sin120° sin/DBC= ='在4ABD 中，因为 AD 2=AB 2+BD2 - 2AB ?BDcos Zabd= 二 r所以 AD=3V3.18 .如图，四边形 ABCD为矩形，PAL平面ABCD , DE/PA.（I ）求证：BCXCE;（n ）若直线m?平面PAB,试判断直线 m与平面CDE的位置关系，并说明理由;（出）若AB=PA=2DE=2 , AD=3 ,求三棱锥 E- PCD的体积.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体

28、积；空间中直线与直线之间的位置关系.【分析】（I）推导出DEBC., BCXCD,由此能证明BCXCE.从而得到m /E- PCD 的（n ）推导出DE/平面PAB, CD/平面PAB,从而平面 PAB/平面CDE , 平面CDE.（出）三棱锥E-PCD的体积等于三棱锥 P-CDE的体积，由此能求出三棱锥 体积.【解答】（本小题满分14分）证明：（I ）因为PA，底面ABCD , PA/ DE所以DEL底面ABCD .所以DEXBC.又因为底面ABCD为矩形，所以BCXCD.又因为CD ADE=D ,所以BCL平面 CDE .所以BCXCE.解：（n ）若直线 m?平面PAB,则直线 m/平面

29、CDE .证明如下，因为PA/DE,且PA?平面PAB, DE?平面PAB,所以DE /平面PAB .在矩形 ABCD中，CD / BA ,且BA ?平面PAB, CD ?平面PAB ,所以CD /平面PAB.又因为CD ADE=D ,所以平面 PAB /平面CDE .又因为直线 m?平面PAB,所以直线 m/平面CDE .（出）由题意知，三棱锥 E- PCD的体积等于三棱锥 P-CDE的体积. 由（I ）可知，BCL平面CDE.又因为AD / BC,所以AD，平面CDE.易证PA/平面CDE,所以点P到平面CDE的距离等于 AD的长.因为 AB=PA=2DE=2 , AD=3 ,所以 Sr

30、二？ 2X 11所以三棱锥E - PCD的体积1X3=1第16页(共16页)19 .已知函数 f (x) =. J, aC R.e(I )若曲线y=f (x)在点(0, f (0)处切线斜率为-2,求函数f (x)的最小值；(n )若函数f (x)在区间(0, 1)上无极值，求a的取值范围.【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(I )先求出函数的导函数令 x的值为0代入其中得到f (0) =-2即切线方程的斜率为-2,即可求出a的值，再利用导数和函数的最值的关系即可求出最小值，(n )求出函数的导函数，f (x)在区间(0, 1)上无极值，则函数f (x)在

31、(0, 1)单调, 分类讨论，求出函数的单调性即可求出a的取值范围【解答】解：(I )因为FG)二所以F Cx)=依题意，f'(0) = - 2,解得a= - 1.当x>2时，f (x) > 0,函数f (x)为增函数;当x<2时，f (x) v 0,函数f (x)为减函数;所以函数f (x)的最小值是 式幻二一今.e一，所以 e(1)若a=0,则f'(耳)二一±r<Q.此时f (x)在(0, 1)上单调递减，满足条件. e3. 11(2)若 aw 0,令 f (x) =0 得算=.aa(i )若-<0,即 0vaw 1,则 f (x)

32、v 0 在(0, 1)上恒成立. a此时f (x)在(0, 1)上单调递减，满足条件.(ii )若 0<1 - -<1,即 a> 1 时，由 f (x) > 0得。<式<1 一二；aa由 f (x) V 0 得 I 一 二<芯< 1 ,此时f (x)在(0,上为增函数，在Cl- - , 1)上为减，不满足条件.aa(iii )若L 一即a< 0.则f (x) v 0在(0, 1)上恒成立. a此时f (x)在(0, 1)上单调递减，满足条件.综上，a< 1.20.已知函数 f (x) =ax- - - (a+1) lnx, aCR.(

33、I)若a=-2,求函数f (x)的单调区间;(n )若a> 1,且f (x) > 1在区间,e上恒成立，求a的取值范围;(III )若 a,判断函数g (x) =xf (x) +a+1的零点的个数.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性.【分析】(1)当a=-2时，对f (x)求导，求出导函数的零点，即可判断单调区间；(2)若a> 1,且f (x) >1在区间上，e上恒成立，即：f (x)在5，e上的最小值大于1;利用导数求判断函数 f (x)的最小值.(3)分类讨论判断g' (x)的单调性与函数的最小值，从而验证g (x)在区间(0, +8)上单调递增.再构造新函数h(a)=e3a-( 2lna+6),证明h(a)>0,进而判断函数 g(x)是否穿过x轴即可.【解答】 解：(I )若a= -2,贝二一 2苴一1o工，xC (0, +8)产 Cr) =由 f (x) > 0 得，0vxv 1;由 f (x) v 0 得，x> 1.所以函数f (x)的单调增区