考研数学二分类模拟221

考研数学二分类模拟221一、选择题1.

设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是______A.λ1≠0B.λ2≠0C（江南博哥）.λ1=0D.λ2=0正确答案：B[解析]方法一：令k1α1+k2A(α1+α2)=0，则

k1α1+k2λ1α1+k2λ2α2=0，(k1+k2λ1)α1+k2λ2α2=0。

由于α1，α2线性无关，于是有

当λ2≠0时，显然有k1=0，k2=0，此时α1，A(α1+α2)线性无关；反过来，若α1，A(α1+α2)线性无关，则必然有λ2≠0(否则，α1与A(α1+α2)=λ1α1线性相关)。故选B。

方法二：由于[α1，A(α1+α2)]=(α1，λ1α1+λ2α2)=可见α1，A(α1+α2)线性无关的充要条件是故选B。

与特征值、特征向量相关的问题中，如果出现了特征向量，一般可以考虑先写出或从题目的条件中凑出特征值、特征向量的定义式Aα=λα。

2.

已知α=(1，-2，3)T是矩阵的特征向量，则______A.a=-2，b=6B.a=2，b=-6C.a=2，b=6D.a=-2，b=-6正确答案：A[解析]设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，按定义有

即有所以λ=-4，a=-2，b=6。故选A。

3.

设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是______A.P-1αB.PTαC.PαD.(P-1)Tα正确答案：B[解析]设β是矩阵(PTAP)T属于λ的特征向量，并考虑到A为实对称矩阵AT=A，有

(P-1AP)Tβ=λβ，即PTA(P-1)Tβ=λβ。

把四个选项中的向量逐一代入上式替换β，同时考虑到Aα=λα，可得选项B正确，即

左端=PTA(P-1)T(PTα)=PTAα=PTλα=λPTα=右端。

故选B。

4.

已知三阶矩阵A与三维非零列向量α，若向量组α，Aα，A2α线性无关，而A3α=3Aα-2A2α，那么矩阵A属于特征值λ=-3的特征向量是______A.αB.Aα+2αC.A2α-AαD.A2α+2Aα-3α正确答案：C[解析]因为A3α+2A2α-3Aα=0，故(A+3E)(A2α-Aα)=0=0(A2α-Aα)。

因为α，Aα，A2α线性无关，必有A2α-Aα≠0，所以A2α-Aα是矩阵A+3E属于特征值λ=0的特征向量，即A2α-Aα是矩阵A属于特征值λ=-3的特征向量。故选C。

5.

设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中

①A2；

②p-1AP；

③AT；

④

α肯定是其特征向量的矩阵个数为______A.1B.2C.3D.4正确答案：B[解析]由Aα=λα，α≠0，有A2α=A(λα)=λAα=λ2α，即α必是A2属于特征值λ2的特征向量。由

知α必是矩阵属于特征值的特征向量。

关于②和③则不一定成立。这是因为

(P-1AP)(P-1α)=P-1Aα=λP-1α，

按定义，矩阵P-1AP的特征向量是P-1α。因为P-1α与α不一定共线，因此α不一定是P-1AP的特征向量，即相似矩阵的特征向量是不一样的。

线性方程组(λE-A)x=0与(λE-AT)x=0不一定同解，所以α不一定是第二个方程组的解，即α不一定是AT的特征向量。故选B。

6.

设A为四阶实对称矩阵，且A2+A=O，若A的秩为3，则A相似于______

A．

B．

C．

D．正确答案：D[解析]设A的特征值为λ，因为A2+A=O，所以λ2+λ=0，即λ(λ+1)=0λ=0或λ=-1。

又因r(A)=3，则A必可相似对角化，对角阵的秩也是3。故λ=-1是三重特征根。

因此

故选D。

设f(x)为任意多项式，如果矩阵A满足f(A)=O，则A的任一特征值λ满足f(λ)=0。

7.

设n阶矩阵A与B相似，E为n阶单位矩阵，则______A.λE-A=λE-BB.A与B有相同的特征值和特征向量C.A和B都相似于一个对角矩阵D.对任意常数t，tE-A与tE-B相似正确答案：D[解析]因为由A与B相似不能推得A=B，所以选项A不正确。

相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量，故选项B也不正确。

对于选项C，因为根据题设不能推知A，B是否相似于对角阵，故选项C也不正确。

综上可知选项D正确。事实上，因A与B相似，故存在可逆矩阵P，使

P-1AP=B。

于是

P-1(tE-A)P=tE-P-1AP=tE-B，

可见对任意常数f，矩阵tE-A与tE-B相似。故选D。

8.

n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的______A.充分必要条件B.必要而非充分条件C.充分而非必要条件D.既非充分也非必要条件正确答案：B[解析]由A～B，即存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，故

|λE-B|=|λE-P-1AP|=|P-1(λE-A)P|=|P-1||λE-A||P|=|λE-A|，

即A与B有相同的特征值。

但当A，B有相同特征值时，A与B不一定相似。例如

虽然A，B有相同的特征值λ1=λ2=0，但由于r(A)≠r(B)，A，B不可能相似。

所以，相似的必要条件是A，B有相同的特征值。故选B。

二、填空题1.

设α=(1，-1，a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是______。正确答案：k(1，-1，1)T，k≠0[解析]令B=αβT，则矩阵B的秩是1，且βTα=a+1，由此可知矩阵B的特征值为a+1，0，0。那么A=E+B的特征值为a+2，1，1。

因为λ=3是矩阵A的特征值，所以a+2=3，即a=1。于是

Bα=(αβT)α=α(βTα)=2α，

即α=(1，-1，1)T是矩阵B属于特征值λ=2的特征向量，所以矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是k(1，-1，1)T，k≠0。

2.

设x为三维单位列向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E-xxT的秩为______。正确答案：2[解析]由题设知，矩阵xxT的特征值为0，0，1，故E-xxT的特征值为1，1，0。又由于实对称矩阵是可相似对角化的，故它的秩等于其非零特征值的个数，即r(E-xxT)=2。

3.

设α，β为三维列向量，βT为β的转置，若矩阵αβT相似于则βTα=______。正确答案：2[解析]因为αβT相似于

根据相似矩阵有相同的特征值，得到αβT的特征值是2，0，0，而βTα是一个常数，是矩阵αβT的对角元素之和，则

βTα=2+0+0=2。

对n阶矩阵A，如果r(A)=1，则A有n-1个特征值为0(n-1重根)[设A=αβT，则tr(A)=βTα]。

4.

设α=(1，-1，a)T是的伴随矩阵A*的特征向量，其中r(A*)=3，则a=______。正确答案：-1[解析]α是A*的特征向量，设对应于α的特征值为λ0，则有A*α=λ0α，该等式两端同时左乘A，即得AA*α=|A|α=λ0Aα，即

展开成方程组的形式为

因为r(A*)=3，|A*|≠0，因此λ0≠0，根据方程组中的前两个等式，解得a=-1。

5.

已知α=(a，1，1)T是矩阵的逆矩阵的特征向量，则a=______。正确答案：-1[解析]设α是矩阵A-1属于特征值λ的特征向量，则A-1α=λα，即α=λAα，于是

解得a=-1。

6.

设A是三阶矩阵，且各行元素的和都是5，则矩阵A一定有特征值______。正确答案：5[解析]已知各行元素的和都是5，即

化为矩阵形式，可得

满足故矩阵A一定有一个特征值为5。

7.

若三阶矩阵A的特征值为2，-2，1，B=A2-A+E，其中E为三阶单位阵，则行列式|B|=______。正确答案：21[解析]由于A的特征值为2，-2，1，所以B=A2-A+E的特征值为

22-2+1=3，(-2)2-(-2)+1=7，12-1+1=1，

故|B|=21。

假设α为可逆矩阵A属于特征值λ的特征向量，即Aα=λα，则α仍然是矩阵f(A)，A-1，A*，f(A-1)的特征向量，特征值依次为f(λ)，λ-1，|A|λ-1，f(λ-1)。也就是说，A与f(A)，A-1，A*，f(A-1)的特征值不同，但特征向量是相同的。

8.

设A为二阶矩阵，α1，α2为线性无关的二维列向量，Aα1=0，Aα2=2α1+α2，则A的非零特征值为______。正确答案：1[解析]根据题设条件，得

记P=(α1，α2)，已知α1，α2线性无关，故P=(α1，α2)是可逆矩阵。由可得则A与B相似，从而有相同的特征值。

因为

所以A的非零特征值为1。

9.

已知矩阵只有一个线性无关的特征向量，那么A的三个特征值是______。正确答案：2，2，2[解析]因为矩阵A只有一个线性无关的特征向量，所以A的特征值必定是三重根，否则A至少应该有两个不同的特征值，同时也会有两个线性无关的特征向量。

由主对角元素的和等于所有特征值的和可知1+2+3=3λ，故λ1=λ2=λ3=2。

三、解答题1.

已知矩阵相似。

(Ⅰ)求x与y的值；

(Ⅱ)求一个满足P-1AP=B的可逆矩阵P。正确答案：解：(Ⅰ)相似矩阵有相同的特征值，由矩阵B的特征值为2，y，-1可知矩阵A的特征值也为2，y，-1，故

|A|=2×y×(-1)=-2，tr(A)=2+0+x=2+y+(-1)，

解得y=1，x=0。

(Ⅱ)A的特征值为λ1=2，λ2=1，λ3=-1。由(λiE-A)x=0(i=1，2，3)解得矩阵A的属于特征值λ1=2，λ2=1，λ3=-1的特征向量分别为

α1=(1，0，0)T，α2=(0，1，1)T，α3=(0，-1，1)T，

令可逆矩阵则P-1AP=B。

2.

设矩阵当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵?并求出矩阵P和相应的对角矩阵。正确答案：解：矩阵A的特征多项式为

则A的特征值为λ1=λ2=-1，λ3=1。

矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是属于特征值λ=-1的线性无关的特征向量有两个，即线性方程组(-E-A)x=0有两个线性无关的解向量，则r(A+E)=1。对矩阵A+E作初等行变换得

当k=0时，r(A+E)=1。此时，由(-E-A)x=0解得属于特征值-1的两个线性无关的特征向量为α1=(-1，2，0)T，α2=(1，0，2)T；由(E-A)x=0解得属于特征值1的特征向量为α3=(1，0，1)T。

令可逆矩阵P=(α1，α2，α3)，则

3.

设矩阵相似，求x，y的值，并求一个正交矩阵P，使P-1AP=Λ。正确答案：解：A与A相似，相似矩阵有相同的特征值，故λ=5，λ=-4，λ=y是A的特征值。

因为λ=-4是A的特征值，所以

解得x=4。

又因为相似矩阵的行列式相同，

解得y=5。

当λ=5时，解方程(A-5E)x=0，得两个线性无关的特征向量将它们正交化、单位化得

当λ=-4时，解方程(A+4E)x=0，得特征向量单位化得

则有

所以P-1AP=Λ。

4.

设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3。

(Ⅰ)求矩阵A的特征值；

(Ⅱ)求可逆矩阵P使得P-1AP=Λ。正确答案：解：(Ⅰ)由已知可得

记P1=(α1，α2，α3)，则有AP1=P1B。

由于α1，α2，α3线性无关，即矩阵P1可逆，所以，因此矩阵A与B相似，则

矩阵'B的特征值是1，1，4，故矩阵A的特征值为1，1，4。

(Ⅱ)由(E-B)x=0，得矩阵B对应于特征值λ=1的特征向量β1=(-1，1，0)T，β2=(-2，0，1)T；由(4E-B)x=0，得对应于特征值λ=4的特征向量β3=(0，1，1)T。

即当时，有

5.

设A是三阶方阵，α1，α2，α3是三维线性无关的列向量组，且Aα1=α2+α3，Aα2=α3+α1，Aα3=α1+α2。

(Ⅰ)求矩阵A的全部特征值；

(Ⅱ)矩阵A是否可对角化?正确答案：解：(Ⅰ)α1，α2，α3线性无关，则α1+α2+α3≠0，α2-α1≠0，α3-α1≠0，且由

A(α1+α2+α3)=2(α1+α2+α3)，

A(α2-α1)=-(α2-α1)，

A(α3-α1)=-(α3-α1)

可知矩阵A的特征值为2和-1。又由α1，α2，α3线性无关可知α2-α1，α3-α1也线性无关，所以-1是矩阵A的二重特征值，即A的全部特征值为2，-1，-1。

(Ⅱ)因为α1，α2，α3线性无关，而

且|P|=3≠0，所以α2-α1，α3-α1，α1+α2+α3线性无关，即矩阵A有三个线性无关的特征向量，所以矩阵A可相似对角化。

6.

已知矩阵A与B相似，其中求a，b的值及矩阵P，使P-1AP=B。正确答案：解：由A～B，得解得a=7，b=-2。

由矩阵A的特征多项式得A的特征值是λ1=5，λ2=-1。它们也是矩阵B的特征值。

分别解齐次线性方程组(5E-A)x=0，(-E-A)x=0，可得到矩阵A的属于λ1=5，λ2=-1的特征向量依次为α1=(1，1)T，α2=(-2，1)T。

分别解齐次线性方程组(5E-B)x=0，(-E-B)x=0，可得到矩阵B的属于λ1=5，λ2=-1的特征向量分别是β1=(-7，1)T，β2=(-1，1)T。

7.

设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3。

(Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关；

(Ⅱ)令P=(α1，α2，α3)，求p-1AP。正确答案：解：(Ⅰ)方法一：假设α1，α2，α3线性相关。因为α1，α2是属于不同特征值的特征向量，故α1，α2线性无关，则α3可由α1，α2线性表示。不妨设α3=l1α1+l2α2，其中l1，l2不全为零。(若l1，l2同时为0，则α3=0，由Aα3=α2+α3可知α2=0，而特征向量都是非零向量，矛盾)

由于Aα1=-α1，Aα2=α2，则

Aα3=α2+α3=α2+l1α1+l2α2。

又Aα3=A(l1α1+l2α2)=-l1α1+l2α2，那么

-l1α1+l2α2=α2+l1α1+l2α2，

整理得2l1α1+α2=0。则α1，α2线性相关，矛盾。所以α1，α2，α3线性无关。

方法二：设存在数k1，k2，k3，使得

k1α1+k2α2+k3α3=0，

(1)

用A左乘(1)的两边并由Aα1=-α1，Aα2=α2得

-k1α1+(k2+k3)α2+k3α3=0，

(2)

(1)～(2)得

2k1α1-k3α2=0，

(3)

因为α1，α2是A的属于不同特征值的特征向量，所以α1，α2线性无关，从而k1=k3=0，代入(1)得k2α2=0，又由于α2≠0，所以k2=0，故α1，α2，α3线性无关。

(Ⅱ)记P=(α1，α2，α3)，则P可逆，

8.

若矩阵相似于对角阵A，试确定常数a的值，并求可逆矩阵P，使P-1AP=Λ。正确答案：解：矩阵A的特征多项式为

故A的特征值为λ1=λ2=6，λ3=-2。

因为A相似于对角矩阵Λ，所以对应λ1=λ2=6应有两个线性无关的特征向量，即

3-r(6E-A)=2，

即

r(6E-A)=1。

由

知a=0。于是对应于λ1=λ2=6的两个线性无关的特征向量可取为

当λ3=-2时，有

解方程组

得对应于λ3=-2的特征向量

令则P可逆，且有P-1AP=Λ。[解析](1)n阶矩阵A可相似对角化的充要条件是对任意特征值λ，属于特征值λ的线