简单的三角恒等变换考点与提醒归纳

1、简单的三角恒等变换考点与提醒归纳考点一三角函数式的化简典例sin 180 °+ 2 a 1 + COS 2 aCOS a /等于(COS 90 °+ aB . COS aC. sin aD . COS asin 2 a+ 3 c ，.化间：2cos( a+ 3 .Sin asin 2 a - cOa解选D原式=厂2COS2 a sin a2sin acos a - COs2COS s2COS2 a sin a(2)原式=sin 2 a+ 3 2sin acos a+ 3sin asin a+ a+ 3 2sin acos a+ 3sin asin acos a+ 3 + c

2、os asin a+ 3 2sin acos a+ 3sin acos asin a+ 3 sin acos a+ 3sin asin a+ 3 _ a sin 3sin a sin a解题技法题组训练sin 2 a 2cos a1.化简：=nsin a 4解析:原式=22sin acos a 2cos a=2 ,2COS a亚i2 sin a COS a2.化简：22COS a1n2 n2tan J a COS2 a44答案：2 . 2COS aCOS 2 a解:原式=n2sin 4a COSCOS 2 asin q 2 aCOS 2 a COS 2 a=1.考点二三角函数式的求值考法（一）

3、给角求值典例的值是cos 10 1 + , 3tan 10 cos 50 °解析原式=cos 10 + V3si n 10cos 50 °2sin 10 °+ 30 ° cos 50 °2sin 40sin 40答案2解题技法三角函数给角求值问题的解题策略利用三角变换转化为正负项相消、分子分一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，求特殊角的三角函数值问题，另外此类问题也常通过代数变形（比如:母相约等）的方式来求值.考法(二)给值求值典例已知sin a+n =警,a n n .求：(1)COS a的值；(2)sin 2 a n

4、的值.”,n x/2解(1) 由 Sin a+ 4 = 10,/nn 2得 sin acos4 + cos asi门=百,1化简得Sin a+ cos a=,5又 sin a+ cos a= 1，且 a ?, n 由解得cos a= 5.n(2) Ta 2,COSa= 5,'sin a= 5,.2 'COS 2 a= 1 2sin a=725，sin 2 a= 2sin acos a=2425,n'sin 2 a 4n=sin 2acoss7tcos 2csin4=17,250解题技法三角函数给值求值问题的基本步骤(1) 先化简所求式子或已知条件；(2) 观察已知条件与

5、所求式子之间的联系(从三角函数的名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值.考法(三)给值求角5 10n3 n典例若 sin 2 a= "y, sin( 3- %)=冷0，且 a 4,n,共 n ，则 a+ B 的值是9 nB.y7 nA.7T57 nC.?或 4解析T an4,n 2 a 2, 2 n ,sin 2 a=¥,5.2 an n a 4, 2 且 COs 2 a= 2.55n,3n2 ,3 .'1010 ,n 5 n 3 a 2, 4 , cos( 3 cos( a+ 3) = cos( 3 a) + 2 a=cos( X ©co

6、s 2 a sin( 3 a)sin 2 a3伍X 3=105105 2 ,5 n7n又 a+ 34 , 2 n, a+ 3= 4 .答案A解题技法三角函数给值求角问题的解题策略(1)根据已知条件，选取合适的三角函数求值.已知正切函数值，选正切函数；7T0, 2，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0, n)选余弦函数较好;若角的范围是n2，选正弦函数较好.已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是(2)注意讨论所求角的范围，及解题过程中角的范围.题组训练1.求值:cos 20cos 351 sin 20C. 2解析:选C 原式=cos 35cos 20O|sin 1 cos 10 &#

7、176;cos210 ° sin 210 °cos 10 半 sin 10cos 35 cos 10 sin 10cos 352.已知a为第二象限角，解析：选A法一：因为又因为a为第二象限角且sin a+ cos a=¥>0，.2 -cos 10 半 sin 10cos 35,2cos 45° 10° 2cos 35 cos 35 °= cos 35 °V3山sin a+ cos a=言，贝U cos 2 a=(B.-庚2 1sin a+ cos a= ，所以(sin a+ cos a) = 3，即 2sin acos

8、 a= 2 即 sin 2 a= 3.所以 sin a>0 , cos a<0, cos a sin a<0, cos 2a= cos2 a sin2a= (cos a+ sin a)(cos a sin a)<0.cos法二：由 cos 2a= cos2a sin2 a= (cos a+ sin a)(cos a sin a,且 a为第二象限角, a sin a<0 ,因为sin a+ cos a= 3 ,2 1所以(sin a+ cos a) = 3 = 1 + 2sin acos a,25得 2sin acos a= 3,从而(cos a sin a2= 1

9、 2sin acos a= 3 贝U cos a sin a=所以 cos 2 a= #x.15.5T =_ 亍.3.已知锐角a,3 满足 sin a=¥cos 3=!#0，贝U a+ 3等于()A 3 nA.3Tn_p- 3 nB.4或 3fnC.4nD . 2kn+ 4(k Z)解析：选Csin %=普,cos 3= 號°,且 a, 3为锐角,可知COS a=¥,sin片老, z.2/5、, 3莎翻、，品曇故 cos(a+ 3 = cos acos 3 sin csin 3= x-5 x=牙,又 0< a+ 仟 n 故 a+ 3= n考点三三角恒等变换的

10、综合应用典例(2018北京高考)已知函数f(x)= sin2x+ . 3sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期；n3若f(x)在区间 3, m上的最大值为2，求m的最小值.解(1)因为 f(x)= sin2x+ , 3sin xcos x11_3=2 ，cos 2x+ 芬 sin 2xn 1=sin 2x 6 + ,所以f(x)的最小正周期为 T= = n.n 1(2)由(1)知 f(x)= sin 2x -石 + n由题意知一3wxw m,5 nnn所以一2x2m 6 66n3要使f(x)在区间一3, m上的最大值为,nn即sin 2x 6在区间一3, m上的最大值为1,所以2m

11、 n,即mn所以m的最小值为n解题技法三角恒等变换综合应用的解题思路(1)将 f(x)化为 asin x+ bcos x 的形式；ab构造 f(x)= a2+ b2 _玄2 * b2 six+_a2+ b2, cox ；和角公式逆用，得f(x)= ,a2+ b2sin(x+妨(其中$为辅助角);利用f(x)= ,a2+ b2sin(x+ 研究三角函数的性质；反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.题组训练1 .已知3>0，函数f(x)= sin 3 x0s 3x+Q3cos23x当的最小正周期为n,则下列结论正确的是()a .函数f(x)的图象关于直线x=n对称b .函数f(x)在区间芸

12、，気上单调递增n一C.将函数f(x)的图象向右平移6个单位长度可得函数g(x) = cos 2x的图象D .当x 0, n时，函数f(x)的最大值为1,最小值为一三3解析： 选 D 因为 f(x)= sin axcos 3x+：.j3 cos2wx -23 = gsin 2wx+ -2cos 2 wx =n2 nnnsin 2 wx+ 3，所以 T = 2W= n,所以 w= 1，所以 f(x)= sin 2x+ 3 .对于 A，因为 f 3 = 0,所,n 7 nn n 3 nn 7 n以不正确；对于 B,当x 12，12时，2x+ 3 2空，所以函数f(x)在区间12，12上单调递减，故不

13、正确；对于C，将函数f(x)的图象向右平移n个单位长度所得图象对应的函数ynnnnnn 4 n=f x 6 = sin 2 x 6 + 3 = sin 2x,所以不正确；对于 D，当 x 0，-时，2x+3 ， 所以f(x) 于，1，故正确.故选 D.n2.已知函数 f(x) = 4sin xcos x 3 3.(1)求函数f(x)的单调区间；求函数f(x)图象的对称轴和对称中心.n解：(1)f(x) = 4sin xcos x 3 31x/3=4sin x qcos x + ysin x=2sin xcos x+ 2 . 3sin2x , 3=sin 2x+ , 3(1 cos 2x) ,

14、3=sin 2x , 3cos 2xn=2sin 2x 3 .令 2k n n 2x n 2kn+ n(k Z)，zn ,5 n得 k nxw k n+ 12(k Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为kn ：n，kn+気你 Z).令 2kn+ 齐 2x 3W 2knt+Z)，5 n ”, 11 n得 k n+ 石三 x< kn+i2(k Z)，5 n 11 n所以函数f(x)的单调递减区间为kn+12，kn+石(k Z).nn,口 k n 5 n令 2x 3= k n 2（k Z），得 x= - + I2（k Z）,k n 5所以函数f（x）的对称轴方程为x= 2 + 12（k Z）.

15、 令 2x n= k n k Z），得 x= kn+ gk Z）, 所以函数f（x）的对称中心为 kn+ 6，0（k Z）.课时跟踪检测1.已知nn汀sin a = cos -+ a，则66tana=（1C.1解析：nn选 B 5 6-a= cos6+1 'cosa-于sina=cos a知a,即孑1 sin a=1 二2 一 2 cos a，sin aa n a= = 1. cos a2.化简:cos 40cos 251 sin 40oJB. 3C. 2coE20。一 si n220 °解析：选C原式=cos 25 °os 20 sin 20cos 20 + si

16、n 20° Jcos 25 ° 厂- cos 25 °=2.cos 253.n(2018唐山五校联考)已知a是第三象限的角，且tan a= 2，贝U sin a+ ：=().1010C.310103 '10DF解析：选C 因为a是第三象限的角，tan a= 2,_ sin a所以 cosa=2，2I2sin a+ cosa= 1 ,所以 cos a一罟，sin a=攀,55n贝U sin a+ 4 = sinn0COS4+ cos.n価口4=2/5应史x返=迥- -一 -=10 .4. (2019咸宁模拟)已知tan(a+ ®= 2,tan 3=

17、 3,贝V sin 2 a=(7A.2514B.257C. 2514D. 25解析：选C 由题意知tan a= tan（ a+tan a+ 3 tan3 3 =1 + tan a+ 3tan 317,严2sin acos a 2tan a 所以sin 2 a=2 2 2sin a+ cos a tan a+ 1725.5.已知cos尹-2 0= 9，贝y sinn6+0的值为（）ia3C.解析:2 n7cos 亍-20= 9,7t cosTtn3+ 2 0 = cos 3+ 2 0n=cos 2 6+ 0n1 2sin2 6+解得sin2nn+1n10= 9，心 6+ 0= ±3.6

18、.右 sin( a43)sin 3- cos(a 3)cos 3= 5，且 a 为第二象限角，则ntan a+;=()C.解析：选B44sin( a 3sin 3 cos(a 3cos 3= 5，即cos( a 3+ 3)= cos a= 5,7化简:2sin n a + sin 2 a2 acos 2解析:2sin n a + sin 2 a2sin a+ 2sin acos acos2a212 1 + cos a4si n a 1 + cos a=4sin a1 + cos a答案:4sin a&(2018 洛阳第一次统考)已知 sin a+ cos a=2，贝y cos 4a=解

19、析：先Z55由 sin a+ cos a= ，得 sin2 a+ cos2 a+ 2sin acos a= 1 + sin 2 a= 4,所以 sin 2 a=121 274，从而 cos 4 a= 1 2sin 2 a= 1 2 x 4 = g.答案：79. 若锐角 a, B 满足 tan a+ tan p=V3Q3tan aan 伏贝U a+ 3=,tan a+ tan 3_解析：由已知可得=3,1 tan aan 3即 tan( a+ 3= .3.n又因为a+ 3 (0, n )所以a+ 3= 3.n10. 函数y= sin xcos x+3的最小正周期是n解析：y= sin xcos

20、x+ 31.3212Sin xcos x 2 sin x= qSin 2x ?23 1 cos 2x 1=?sin 2x+ 3 7t"73-4，故函数f(x)的最小正周期3ta n 12 3答案：n11. 化简:(1)sin 12 4cos212°22COS2 atan 2tan a a 2° 3cos 12解：(1)原式=22 2cos212。 1 sin 12.：3sin 12 3cos 12° cos 122sin 12cos 242 ；3 sin 12sin 24cos 60cos 12 ° sin 60cos 244 ；3sin 12

21、。一 60 °sin 48=牛：*3:原式=2cos a2cos aaacos§ sinq2 a 2 acos 2 sin 2asinqacosa asinqcos2 . - 2 . -cos2 as in cos cos2 as in gcosqcos2 扌sincos aa_a=sincoscos1 . 1 . a= sin acos a= 4sin 2 a.2 acos2 aan 1 法二：原式=cos2a2ta n2 a1 tan2 刁or2 a1 tan21= 4sin 2 a1 2 1=2cos a taa= ?cos osinn12. 已知函数 f(x)= 2

22、sin xsin x+6 .(1)求函数f(X)的最小正周期和单调递增区间;n当x 0, 2时，求函数f(x)的值域.%/31r 1 cos 2x 1n J3解：(1)因为 f(x)= 2sin x -ysin x+ cos x = , 3X 2+ 0sin 2x= sin 2x? +三,所以函数f(x)的最小正周期为T = n.由?+ 2k2x 2 + 2 k n, k Z,解得12+ kn< x< 1n+ kn, k Z,n5 n所以函数f(x)的单调递增区间是一12+ kn 12+ kn , k乙当x 0,n rn2 时，2x nsin 2x 3 1+ -32故f（x）的值域为0, 1 +中1.（2018大庆中学期末）已知tan a,tan1-是关于x的方程x2 kx+ k2 3 = 0的两个实根, acos a+ Sin a=()A. 3C. .2B. 2D. .3解析：选C1/tan a硏是关于X的方程x2 kx+ k2 3 = 0的两个实根,1-tan a+ tana=k, tan aa = k2 3.7 n'3 n<<2,k>0,.k= 2,na n